2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第7讲）——反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第7讲）——反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数的定义 1 【知识点二】反比例函数的图象与性质 2 【知识点三】k的几何意义（高频考点） 2 【知识点四】待定系数法求反比例函数解析式 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】判断反比例函数及求参数取值 3 【题型 2】反比例函数图象与象限、增减性判断 4 【题型 3】利用k的几何意义求面积 6 【题型 4】待定系数法求解析式 11 【题型 5】函数值大小比较（易错题型） 13 三.经典题型精析（综合提升） 15 【题型 6】比例系数K值与面积综合 15 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 20 【题型 8】反比例函数与二次函数图象与性质综合 24 四.同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.教材知识梳理 【知识点一】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 解析式三种等价形式： （1）一般型：（最常用） （2）乘积型：（可快速判断点是否在函数图象上） （3）负指数型：（多用于判断函数类型） 3. 关键注意点： （1）是核心条件，时函数无意义； （2）自变量，函数值，图象永远不与坐标轴相交； （3）的次数必须是，否则不是反比例函数。 【知识点二】反比例函数的图象与性质 反比例函数 的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成。 参数取值 图象分布象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 图象特征 两支曲线分别位于一、三象限，无限靠近坐标轴，永不相交 两支曲线分别位于二、四象限，无限靠近坐标轴，永不相交 对称性 关于原点中心对称、关于直线轴对称 关于原点中心对称、关于直线轴对称 易错警示：不能说“整个定义域内随增大而减小/增大”，必须强调在每个象限内！ 【知识点三】k的几何意义（高频考点） 过反比例函数图象上任意一点，分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为：。 连接该点与原点，所得直角三角形面积为：。 核心结论：同一反比例函数图象上所有点，对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 【知识点四】待定系数法求反比例函数解析式 步骤（四步法）： 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点的坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出的值； 4. 写：写出完整的函数解析式。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断反比例函数及求参数取值 【例题1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点代入解析式即可求解． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 解：由反比例函数的定义得，，． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握反比例函数的定义是关键． 解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 方法总结：反比例函数次数固定为-1，系数非零，缺一不可。 【题型 2】反比例函数图象与象限、增减性判断 【例题2】（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． （1）这个函数的图像位于哪些象限？ （2）若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【答案】（1）这个函数的图像位于二、四象限；（2）． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 解：（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【变式2】（2023·甘肃白银·二模）已知点，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先求出，进而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴反比例函数（m为常数，且）的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∵，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． （1）求的最小整数值． （2）判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】（1）的最小整数值为0；（2）有交点，理由见分析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 解：（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）解：有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点 方法总结：的符号直接决定象限和增减性，先定符号，再解不等式。 【题型 3】利用k的几何意义求面积 【例题3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提，掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义可得，再根据同底等高的三角形面积相等，可求出答案 解：如图，连接， 由反比例函数系数k的几何意义得， ， 又∵轴， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N． （1）若点M（，3），求点N的坐标； （2）若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不变，5 【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标； （2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变． 解：（1）∵MNy轴， ∴点M、N的y值相等， 将y=3代入， 得， ∴； （2）不变， 如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H， ∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上， ∴， ∴， ∴S△PMN=5， ∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5． 【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等． 拓展：若为坐标轴围成的矩形，面积直接等于。 【题型 4】待定系数法求解析式 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 解：（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断随的变化规律，结合确定的最大值和最小值，再根据差值为列方程求解即可． 解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：． 【变式2】（2026·山西朔州·模拟预测）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 【变式3】（11.2反比例函数的图像与性质（1）八年级数学下册苏科版）已知反比例函数的图象过点和．求此反比例函数表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，熟练掌握相关知识是解题的关键； 设反比例函数的关系式为，再将两个点的坐标代入关系式，求出解即可． 解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 所以反比例函数关系式为． 【题型 5】函数值大小比较（易错题型） 【例题5】（25-26八年级下·重庆·期中）已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的值，比较大小即可. 解：（1）解：与成反比例， ∴设， 将代入解析式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵点在该反比例函数图象上， ∴将代入得，将代入得， ∵， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 【变式2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 【变式3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式； （2）将点代入函数中，求出a，b，c的值进行比较． 解：（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴； （2）解：∵点，，都在图象上， ∴， ∴． 易错提醒：跨象限比较大小，优先判断正负，再比较同象限数值！ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】比例系数K值与面积综合 【例题6】（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】（1）；（2）点D的坐标为，点为“等和积点” 【分析】（）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． 解：（1）解：由题意，得， 解得， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设点的纵坐标为， 四边形为正方形， ． 点的横坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式2】（2026·新疆·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． 解：（1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． （1）求a，b的值； （2）若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】（1），；（2）点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 解：（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求出的符号，再根据时，反比例函数的单调性判断和的大小关系． 解：∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称 ∴， 代入 得： ， ∵在反比例函数上， ∴， ∴，即 ∵时，反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 【答案】或 【分析】先求出点A，点B坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数的解析式，进而求出点C的坐标，根据坐标求出三角形面积，从而求出点P坐标． 解：因为， 在反比例函数的图象上， 所以，， 解得，， 所以， ， 将， 代入得：， 解得：， 所以一次函数解析式为：， 因为一次函数的图象与 y 轴交于点 C， 所以点C坐标为， ， 因为， 所以， 设点P坐标为， 所以， 解得，， 所以点P坐标为或． 【变式3】（2026·河南漯河·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． （2） 若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）1 【分析】（1）①把点代入反比例函数，求出n的值，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入正比例函数即可求解； ②由图象可得，不等式的解集为正比例函数的图象在反比例函数的图象上方对应的自变量x的取值，即可解答； （2）设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到，把，代入反比例函数，即可求解． 解：（1）解：①∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得． ②∵反比例函数与正比例函数交于点， ∴由图象可得，当时，不等式的解集为． （2）解：∵点是线段上（不与点重合）的一点， ∴设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到， ∵点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上， 即，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 【题型 8】反比例函数与二次函数图象与性质综合 【例题8】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）二次函数． （1）求出二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）如图，二次函数的图象与x轴的其中一个交点是B，与y轴的交点是C，直线与反比例函数的图象交于点D．且，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为；（2） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象与坐标轴的交点，相似三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，综合运用相关知识是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，即可解答； （2）对于二次函数，分别，，得到点B，C的坐标，过点D作轴于点E，则，根据相似三角形的性质求出，，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求出反比例函数解析式． 解：（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为． （2）解：对于二次函数， 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴，， 过点D作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵该反比例函数过点， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为． 【变式1】（2022·天津河西·模拟预测）在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 【变式2】（2026·湖南岳阳·二模）令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【答案】 ①②/②① 【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可； （2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立． 解：（1）当时，， ∵是反比例函数， ∴， 解得； （2）①若是关于的一次函数， ∵， ∴， ∴， 当时，即时，， ∴函数恒过定点，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若是关于的二次函数， ∴， ∴， 当时，， ∴函数过点， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，， 整理得：， ∴当时，，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 【变式3】（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 解：∵， ∴， 、∵， ∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， 点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 故选：． 3．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数变量随变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的增减性，根据两种函数的性质逐一判断各选项即可． 解：A选项 是反比例函数 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B选项 是反比例函数 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C选项 是正比例函数 y随x的增大而减小，故C正确； D选项 是正比例函数 y随x的增大而增大，故D错误． 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 解：∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 6．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可． 解：设反比例函数解析式为． ∵反比例函数图象经过点． ∴． 又∵点也在反比例函数图象上． ∴． 解得． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 解：解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 9．（23-24九年级下·四川自贡·期中）若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解． 解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 解：将给定的函数变形为，由此可得比例系数， 由于分式的分母不能为0，所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 13．（2023·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．若某函数图像上不存在“同号点”，其函数表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据新定义可得函数图像不在第一，第三象限，从而可得答案． 解：∵对于点，若，则称点P为“同号点”． 而某函数图像上不存在“同号点”， ∴函数图像不在第一，第三象限， ∴其函数表达式可以是； 故答案为：． 【点拨】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的分别是解本题的关键． 14．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第______象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 【答案】一 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 解：， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故答案为：一． 15．（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先判断出函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，然后结合求解． 解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，， ∴． 16．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 17．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 18．（2025·安徽六安·一模）若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识． （1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值； （2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 解：（1）解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个不动点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 解：（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 20．（本小题满分8分）（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． （1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； （2）若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查反比例的性质， 根据反比例函数得性质得，求解不等式即可； 将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式． 解：（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小， ∴， 解得； （2）∵点在反比例函数图象上， ∴， 则， 故反比例函数解析式为． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 【答案】（1）；（2）（-1，3） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据中心对称的性质即可求解． 解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣3x的图象上， ∴代入得：n＝（﹣3）×（﹣1）＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝（﹣1）×3＝﹣3． ∴反比例函数的解析式为． （2）与y＝﹣3x的图象关于原点对称轴，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为 ∴另一个交点C的坐标是（-1，3）． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（专题22《反比例函数》重难考点-2024-2025学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版））如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 【答案】 【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案. 解： 【点拨】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系. 23．（本小题满分10分）（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将点代入求出，得出反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出，最后将，代入一次函数解析式利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质得出，，再根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：， ∴代入得，即，     ， 将点代入可得， 解得：， ∴， 将，代入得， 解得：，， ． （2）解：根据平移可得轴， ∴，， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． （1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； （2）如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 解：（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第7讲）——反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】反比例函数的定义 1 【知识点二】反比例函数的图象与性质 2 【知识点三】k的几何意义（高频考点） 2 【知识点四】待定系数法求反比例函数解析式 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】判断反比例函数及求参数取值 3 【题型 2】反比例函数图象与象限、增减性判断 3 【题型 3】利用k的几何意义求面积 4 【题型 4】待定系数法求解析式 5 【题型 5】函数值大小比较（易错题型） 6 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 6】比例系数K值与面积综合 6 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 8 【题型 8】反比例函数与二次函数图象与性质综合 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.教材知识梳理 【知识点一】反比例函数的定义 1. 定义：一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。 2. 解析式三种等价形式： （1）一般型：（最常用） （2）乘积型：（可快速判断点是否在函数图象上） （3）负指数型：（多用于判断函数类型） 3. 关键注意点： （1）是核心条件，时函数无意义； （2）自变量，函数值，图象永远不与坐标轴相交； （3）的次数必须是，否则不是反比例函数。 【知识点二】反比例函数的图象与性质 反比例函数 的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成。 参数取值 图象分布象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 图象特征 两支曲线分别位于一、三象限，无限靠近坐标轴，永不相交 两支曲线分别位于二、四象限，无限靠近坐标轴，永不相交 对称性 关于原点中心对称、关于直线轴对称 关于原点中心对称、关于直线轴对称 易错警示：不能说“整个定义域内随增大而减小/增大”，必须强调在每个象限内！ 【知识点三】k的几何意义（高频考点） 过反比例函数图象上任意一点，分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为：。 连接该点与原点，所得直角三角形面积为：。 核心结论：同一反比例函数图象上所有点，对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 【知识点四】待定系数法求反比例函数解析式 步骤（四步法）： 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点的坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出的值； 4. 写：写出完整的函数解析式。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断反比例函数及求参数取值 【例题1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 方法总结：反比例函数次数固定为-1，系数非零，缺一不可。 【题型 2】反比例函数图象与象限、增减性判断 【例题2】（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． （1）这个函数的图像位于哪些象限？ （2）若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·甘肃白银·二模）已知点，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，则，，的大小关系是______． 【变式3】（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． （1）求的最小整数值． （2）判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 方法总结：的符号直接决定象限和增减性，先定符号，再解不等式。 【题型 3】利用k的几何意义求面积 【例题3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N． （1）若点M（，3），求点N的坐标； （2）若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由． 拓展：若为坐标轴围成的矩形，面积直接等于。 【题型 4】待定系数法求解析式 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西朔州·模拟预测）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【变式3】（11.2反比例函数的图像与性质（1）八年级数学下册苏科版）已知反比例函数的图象过点和．求此反比例函数表达式． 【题型 5】函数值大小比较（易错题型） 【例题5】（25-26八年级下·重庆·期中）已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【变式3】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列． 易错提醒：跨象限比较大小，优先判断正负，再比较同象限数值！ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】比例系数K值与面积综合 【例题6】（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2026·新疆·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 【变式3】（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． （1）求a，b的值； （2）若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，与y轴交于点 C，P是x轴上一点，且 ， 则点 P的坐标为 ________ ． 【变式3】（2026·河南漯河·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． （2） 若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 【题型 8】反比例函数与二次函数图象与性质综合 【例题8】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）二次函数． （1）求出二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）如图，二次函数的图象与x轴的其中一个交点是B，与y轴的交点是C，直线与反比例函数的图象交于点D．且，求反比例函数的解析式． 【变式1】（2022·天津河西·模拟预测）在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南岳阳·二模）令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【变式3】（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数变量随变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 9．（23-24九年级下·四川自贡·期中）若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 13．（2023·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．若某函数图像上不存在“同号点”，其函数表达式可以是__________． 14．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第______象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 15．（25-26八年级下·海南·期中）已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 16．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 17．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 18．（2025·安徽六安·一模）若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 20．（本小题满分8分）（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． （1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； （2）若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣3x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n） （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）若两函数图象的另一交点为C，直接写出C的坐标． 22．（本小题满分10分）（专题22《反比例函数》重难考点-2024-2025学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版））如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 23．（本小题满分10分）（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）求的面积． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． （1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； （2）如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $