专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理其性质定理及逆定理，通过表格呈现性质、图示与数学语言，构建从基础题型（求值、证明）到综合培优（多定理综合）的学习支架，助力知识逐步深化。 资料以结构化知识呈现培养几何直观，梯度化题型设计（例题+变式）提升推理能力，结合多地真题变式强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，有效巩固知识与提升解题能力。

专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 1 【题型 1】利用线段垂直平分线性质求值 2 【题型 2】利用线段垂直平分线性质证明 4 【知识点二】线段垂直平分线性质定理的逆定理 7 【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理逆定理证明 8 【知识点三】角平分线性质定理 11 【题型 4】利用角平分线性质定理求值 12 【题型 5】利用角平分线性质定理证明 15 【知识点三】角平分线性质定理的逆定理 20 【题型 6】利用角平分线性质定理的逆定理证明 20 二.综合培优题型精析 24 【题型 7】线段垂直平分线性质定理和逆定理综合 24 【题型 8】角平分线性质定理和逆定理综合 28 【题型 9】线段垂直平分线和角平分线性质定理和逆定理综合 32 三.同步检测 37 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 37 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 42 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 47 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 性质 图示 数学语言 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 直线是线段的垂直平分线，是直线是上一点， 【题型 1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 【答案】 【分析】根据题意得到垂直平分，由周长的计算得到，根据线段中点即可求解． 解：∵为的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为21，即， ∵的周长为13， ∴，则， ∴， ∵为的中点， ． 【变式1】（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质把的长替换成的长求解即可． 解：由题意得垂直平分， ， ，， 的周长为． 【变式2】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 【答案】 【分析】根据垂直平分得，则计算即可． 解：垂直平分， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，，求的周长． 【答案】（1）；（2）22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 解：（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 【题型 2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，平分交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）试说明：． 请根据下列解答思路完成填空： 解：∵平分， ∴①__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴②__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴③__________________， ∴． 【答案】（1）解：分别以为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点E、O、F，连接，如图： （2），， 【分析】（1）按照垂直平分线的画法画，再连接即可． （2）根据垂直平分线的性质可得，，即可证明，得出，即可证明，据此填空即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是_________． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 利用线段的垂直平分线的性质，直角三角形的判定方法一一判断即可． 解：由作图可知垂直平分线段， ，故①正确， 由作图可知垂直平分线段， ，故②正确， 由作图可知， ，故③正确， ，， ∴的周长，故④正确． 故答案为：①②③④． 【变式3】（重庆市奉节县2025-2026学年下学期期末八年级数学质量监测卷）如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）的条件下，若平分．求证：． 证明：为的垂直平分线， ， ① ， ， ② ， 平分， ③ ， 在和中， ④ ， 为的垂直平分线， ， ． 【答案】（1）；（2）；；；， 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）证明，即可解答． 解：（1）略 （2）略 【知识点二】线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 性质 图示 数学语言 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ， 点在线段的垂直平分线上。 【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理逆定理证明 【例题3】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 解：（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河北·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 解：， ，，，， ，故①正确，符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 与不一定相等， ∴不一定垂直平分．， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）已知：如图，，与相交于点P． （1）求证：． （2）连接，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，再根据“角角边”得出答案； （2）根据全等三角形的性质得，即可得点P在线段的垂直平分线上．再根据，进而得出点A在线段的垂直平分线上，则此题可解． 解：（1）证明：∵, ∴， ∴， 即． ∵， ∴； （2）解：连接，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即． 【知识点三】角平分线性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 性质 图示 数学语言 角平分线上的点到角两边的距离相等. 平分的垂直平分线，，，垂直分别为 【题型 4】利用角平分线性质定理求值 【例题4】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上取一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交、于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，连接点B与该点并延长，交于点D，即为的角平分线；以点D为圆心，的长度为半径画弧，该弧与边的交点即为点E，最后连接即可； （2）过点作于点，根据证明，得，求出，再证明，得，从而可求出的长． 解：（1）略 （2）解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，且 （即）， ， 在和中， ∴， ， ∵， ∴， 在和中， ∴ , ∴． 【变式1】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 解：过点作， 则：， ， 点为直线上的一个动点， 当时，最短， 是的平分线， 当时，， 线段的长不可能是4． 【变式2】（重庆市南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题七年级数学）如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明即可求解． 解：∵是直角三角形， ∴． ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，中，． （1）基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）若，求的周长． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【分析】（1）由尺规作图-作角平分线的方法步骤求解即可； （2）先由角平分线性质得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得出，求出，数形结合即可求得到的周长． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【题型 5】利用角平分线性质定理证明 【例题5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接． （1）①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____． （2）求证：． 【答案】（1）①②④；（2）证明见分析 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质． （1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，④正确；现有已知条件无法得出； （2）由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出． 解：（1）解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 过点P作，，， ∵、分别是与的角平分线， ∴是的角平分线，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③不正确． 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得，， ∵， ∴． 【变式1】（重庆市南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题七年级数学）如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明与全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：∵是平分线上的一点，，， ， 故B选项成立； 在和中， ， ， ，， 故A、C选项成立； 无法证明，不一定成立． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①；②AC垂直平分BD；③AC平分，；④BD平分，；⑤四边形ABCD的面积．正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据题意由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠ABC=∠ADC，由全等三角形的性质可判断②③④，由面积和差关系可判断⑤． 解：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC=∠ADC，①正确； ∴即AC平分，，③正确； 又∵； ∴， ∴，即AC垂直平分BD，②正确； ∵AC垂直平分BD， ∴BO=DO， ∴四边形ABCD的面积， ⑤正确； 综上①②③⑤正确，④BD平分，，无法判断； 故答案为：①②③⑤. 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质依据三角形面积公式，熟练运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 解：略 【知识点三】角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 性质 图示 数学语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 是内一点，，，垂直分别为，且 平分. 【题型 6】利用角平分线性质定理的逆定理证明 【例题6】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京密云·期末）已知：． 求作：点P，使点P在的平分线上． 作法： ①在边上任取一点A，过点A作的垂线，垂足为A； ②以O为圆心，长为半径作弧交于点B； ③以点B为圆心，小于长为半径作弧，交于C、D两点； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，点E在射线上方； ⑤作直线交于点P； 所以点P为所求作． （1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． （2）完成下列证明． 证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ． 又∵， ∴点P在的平分线上（ ）（填推理依据）． 【答案】（1）见分析；（2）；到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线的判定定理是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）证明得到，再由到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上可证明结论． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点P在的平分线上（到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上） 二.综合培优题型精析 【题型 7】线段垂直平分线性质定理和逆定理综合 【例题7】（2022·山东青岛·模拟预测）请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上 【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证． 解：证明：连接，，，． 由作法可知，∵， ∴点在线段的垂直平分线上； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上） ∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线） ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：是的中点． 【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析． 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点． 【题型 8】角平分线性质定理和逆定理综合 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】见分析 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 解：证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【变式1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 【变式2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，点是的外角、的平分线的交点，连接，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，作于点，作于点，则有，，所以，得到点在的平分线上，然后通过角平分线定义即可求解，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 解：如图，过点作于点，作于点，作于点， ∵分别是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 故答案为：． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 解：（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 【题型 9】线段垂直平分线和角平分线性质定理和逆定理综合 【例题9】（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）如图，为三角形的角平分线，于点，于点，连接交于点．求证：是线段的垂直平分线．请补全证明过程． 证明：∵平分，∴___________=___________（1） ∵， ∴ ____________=____________（2） 在和中，又∵___________=__________，（3） ∴（_______________）（4） ∴，___________=___________（5） ∴点、点在线段的垂直平分线上（____________）（6） ∴是线段的垂直平分线． 【答案】见分析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平分，得，结合垂直以及公共边，可证明，即得，，由此可证出是线段的垂直平分线． 解：证明：∵平分，∴， ∵， ∴， 在和中，又∵， ∴， ∴，， ∴点、点在线段的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∴是线段的垂直平分线． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】D 【分析】首先连接，，过点作于点，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 解：连接，，过点作，交延长线于点，如图， ∵是的平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请从下面A，B两题中任选一题作答； A．如图1，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点F．若AE＝5，EF=3,则线段EC的长为___； B．如图2，∠ABC的平分线交AC于点D，AB边的垂直平分线交AC于点E，AC=8,BC＝6，线段DE的长为___． 【答案】 【分析】A.由EF是AB的垂直平分线可得EF⊥AB，AF=BF=AB，BE=AE=5，根据勾股定理求出AF的值，设CE=x，则AC=5+x，然后根据BC2=AB2-AC2=BE2-CE2列方程求解； B. 过点D作DM⊥AB于点M，连接BE．证明△BDM≌△BDC，可得BM=BC=6，求出AM的长，根据AM2+DM2=AD2求出CD的长，再根据CE2+BC2=BE2，求出CE的长即可； 解：A．连接BE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴EF⊥AB，AF=BF=AB，BE=AE=5． 在Rt△AEF中， AF==4， ∴AB=8． 设CE=x，则AC=5+x， ∵BC2=AB2-AC2=BE2-CE2， ∴82-（5+x）2=52-x2， ∴x=， 故答案为：； B.过点D作DM⊥AB于点M，连接BE． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBM=∠DBC， 在△BDM和△BDC中 ， ∴△BDM≌△BDC， ∴BM=BC=6． ∵∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6， ∴AB=， ∴AM=10-6=4． ∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB＝90°， ∴DM=CD． ∵AM2+DM2=AD2， ∴42+CD2=（8-CD）2， ∴CD=3． ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE=AE=8-CE． ∵CE2+BC2=BE2， ∴CE2+62=（8-CE）2， ∴CE=， ∴DE=CD-CE=3-=， 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性子，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 解：（1）证明：略； （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 4．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵平分， ∴点到的距离， 故选：A． 6．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，则的周长，即可求解． 解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 7．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知是的垂直平分线可得，再根据的周长得，进而完成解答． 解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长 ， ∴ ， ∵ ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【答案】6 【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于． 解：∵的中垂线交于点F， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的周长， ∵， ∴的周长． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是__________（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 11．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 【答案】10 解：∵点是平分线上一点，且，， ∴， 又∵， ∴． 12．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 【答案】55° 【分析】本题考查了角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 根据，，，可得为的角平分线． 解：∵，，， ∴为的角平分线， ∴， 故答案为： ． 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 14．（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    【答案】6 【分析】先求出，再根据线段的性质可得． 解：∵，， ∴， 又是的垂直平分线， ∴． 15．（25-26八年级上·河北·单元复习）如图，在中，，，为的中点，，将沿折叠，使点落在外部点处，连结，则线段的长为____________． 【答案】7.2 【分析】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 解：连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.2． 16．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，为锐角三角形． 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在的平分线上确定一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点D即为所求： 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，两线的交点即为点D． 解：略 18．（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解； （2）证得，结合可得即可求解． 解：（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 19．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，平分，于点E，交的延长线于点F，且． （1）证明：； （2）若，求的长度； 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】（1）由角平分线的性质得到，则可证明，进而证明； （2）由角平分线的性质得到，则可证明得到，根据（1）求出的长，进而求出的长，推出的长，据此可得答案． 解：（1）证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·广西·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据三角形内角和性质，求得，再根据轴对称的性质，求得，最后根据三角形的外角性质，即可求得答案； （2）由筝形的定义可知，，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论． 解：（1）解：如图①， ，， ， 对折，使点落在边上的点处， ， ； 故答案为：． （2）证明：如图②， 四边形是筝形， ，， 点A，点D都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 1 【题型 1】利用线段垂直平分线性质求值 2 【题型 2】利用线段垂直平分线性质证明 3 【知识点二】线段垂直平分线性质定理的逆定理 5 【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理逆定理证明 5 【知识点三】角平分线性质定理 6 【题型 4】利用角平分线性质定理求值 7 【题型 5】利用角平分线性质定理证明 8 【知识点三】角平分线性质定理的逆定理 9 【题型 6】利用角平分线性质定理的逆定理证明 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 7】线段垂直平分线性质定理和逆定理综合 11 【题型 8】角平分线性质定理和逆定理综合 13 【题型 9】线段垂直平分线和角平分线性质定理和逆定理综合 13 三.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 性质 图示 数学语言 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 直线是线段的垂直平分线，是直线是上一点， 【题型 1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，周长为，为的中点，且，连接．已知周长为13，求的长． 【变式1】（2026·湖北·中考真题）如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，，求的周长． 【题型 2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，平分交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）试说明：． 请根据下列解答思路完成填空： 解：∵平分， ∴①__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴②__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴③__________________， ∴． 【变式1】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是_________． ①；②；③； ④的周长等于线段的长． 【变式3】（重庆市奉节县2025-2026学年下学期期末八年级数学质量监测卷）如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）的条件下，若平分．求证：． 证明：为的垂直平分线， ， ① ， ， ② ， 平分， ③ ， 在和中， ④ ， 为的垂直平分线， ， ． 【知识点二】线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 性质 图示 数学语言 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ， 点在线段的垂直平分线上。 【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理逆定理证明 【例题3】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【变式1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【变式2】（25-26八年级上·河北·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点O，，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是______． 【变式3】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）已知：如图，，与相交于点P． （1）求证：． （2）连接，求证：． 【知识点三】角平分线性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 性质 图示 数学语言 角平分线上的点到角两边的距离相等. 平分的垂直平分线，，，垂直分别为 【题型 4】利用角平分线性质定理求值 【例题4】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上取一点E，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（重庆市南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题七年级数学）如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，中，． （1）基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）若，求的周长． 【题型 5】利用角平分线性质定理证明 【例题5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接． （1）①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____． （2）求证：． 【变式1】（重庆市南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题七年级数学）如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①；②AC垂直平分BD；③AC平分，；④BD平分，；⑤四边形ABCD的面积．正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【知识点三】角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 性质 图示 数学语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 是内一点，，，垂直分别为，且 平分. 【题型 6】利用角平分线性质定理的逆定理证明 【例题6】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 【变式3】（25-26八年级上·北京密云·期末）已知：． 求作：点P，使点P在的平分线上． 作法： ①在边上任取一点A，过点A作的垂线，垂足为A； ②以O为圆心，长为半径作弧交于点B； ③以点B为圆心，小于长为半径作弧，交于C、D两点； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，点E在射线上方； ⑤作直线交于点P； 所以点P为所求作． （1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． （2）完成下列证明． 证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ． 又∵， ∴点P在的平分线上（ ）（填推理依据）． 二.综合培优题型精析 【题型 7】线段垂直平分线性质定理和逆定理综合 【例题7】（2022·山东青岛·模拟预测）请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：是的中点． 【题型 8】角平分线性质定理和逆定理综合 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【变式1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，点是的外角、的平分线的交点，连接，则______度． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【题型 9】线段垂直平分线和角平分线性质定理和逆定理综合 【例题9】（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）如图，为三角形的角平分线，于点，于点，连接交于点．求证：是线段的垂直平分线．请补全证明过程． 证明：∵平分，∴___________=___________（1） ∵， ∴ ____________=____________（2） 在和中，又∵___________=__________，（3） ∴（_______________）（4） ∴，___________=___________（5） ∴点、点在线段的垂直平分线上（____________）（6） ∴是线段的垂直平分线． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【变式2】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请从下面A，B两题中任选一题作答； A．如图1，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点F．若AE＝5，EF=3,则线段EC的长为___； B．如图2，∠ABC的平分线交AC于点D，AB边的垂直平分线交AC于点E，AC=8,BC＝6，线段DE的长为___． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 3．（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 6．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 7．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．1 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是__________（填序号） 11．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 12．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 14．（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    15．（25-26八年级上·河北·单元复习）如图，在中，，，为的中点，，将沿折叠，使点落在外部点处，连结，则线段的长为____________． 16．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，为锐角三角形． 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在的平分线上确定一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 18．（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，平分，于点E，交的延长线于点F，且． （1）证明：； （2）若，求的长度； 20．（25-26八年级上·广西·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 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