专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线的性质、判定及综合应用，系统梳理从基础知识点（性质与判定）到基础题型精析，再到综合培优题型（两者性质与判定综合），最后通过同步检测巩固的完整学习支架。 资料特色在于知识点与题型紧密结合，每个知识点配例题及变式题覆盖不同难度与地区考题，综合题型培养综合运用能力，同步检测全面考察。通过证明题培养推理意识，图示强化几何直观，不同地区考题提升应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】线段垂直平分线的性质 1 【题型 1】利用线段垂直平分线的性质求值证明 2 【知识点二】线段垂直平分线的判定 5 【题型 2】利用线段垂直平分线的判定求值证明 5 【知识点三】角平分线的性质 8 【题型 3】利用角平分线的性质求值证明 8 【知识点四】角平分线的判定 12 【题型 4】利用角平分线的判定求值证明 12 二.综合培优题型精析 15 【题型 5】线段垂直平分线性质与判定综合 15 【题型 6】角平分线性质与判定综合 19 【题型 7】线段垂直平分线与角平分线性质与判定综合 22 三.同步检测 26 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 38 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 图示 数学语言 ∵l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点， ∴PA=PB. 【题型 1】利用线段垂直平分线的性质求值证明 【例题1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】利用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，推导出，进而得到线段间的数量关系． 解：连接， 是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得， 同理，是的中点，且， 是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得， 且， ， 又是的中点， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由尺规作图可得垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质以及线段的和差求解． 解：由尺规作图可得垂直平分线段， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为_________． 【答案】10 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【知识点二】线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 图示 数学语言 ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线. 【题型 2】利用线段垂直平分线的判定求值证明 【例题2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． （1）证明：垂直平分； （2）若面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【变式1】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 解：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 【知识点三】角平分线的性质 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 图示 数学语言 ∵OP是∠AOB的平分线，PCOA、PDOB、垂足分别为C、D. ∴PC=PD. 【题型 3】利用角平分线的性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． （1）在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）如图所示，点Q即为所求． （2）4 【分析】（1）先根据“垂线段最短”得出时，线段最短，再根据直线外一点作已知直线的垂线作法进行作图即可； （2）先推出，再根据角平分线的性质定理求解即可． 解：（1）解：若线段最短，则，即以为圆心，长为半径，作弧交于点，分别以、为圆心，长为半径，作弧交于点，连接交于点，如图所示，点Q即为所求． （2）解：由（1）知，线段最短，即， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明与全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：∵是平分线上的一点，，， ， 故B选项成立； 在和中， ， ， ，， 故A、C选项成立； 无法证明，不一定成立． 【变式2】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【答案】5 【分析】过点P作于点F，可证明，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 解：如图所示，过点P作于点F， ∵，， ∴， 又∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴点到的距离是5． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 解：（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【知识点四】角平分线的判定 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 图示 数学语言 ∵PCOA、PDOB、垂足分别为C、D，且PC=PD. ∴ OP是∠AOB的平分线， 【题型 4】利用角平分线的判定求值证明 【例题4】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；2； 【分析】根据平行线的性质推导角度的关系证明即可． 解：证明：， （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） 又， ， 平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解． 解：由题意，两把完全相同的长方形直尺，则点到的距离相等， ∴平分， ∴， 由长方形直尺可知：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知 ，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 解：（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 二.综合培优题型精析 【题型 5】线段垂直平分线性质与判定综合 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 解：略 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知作法可知、，则点、在的垂直平分线上． 解：如图：连接， 以为圆心，为半径画弧 以为圆心，为半径画弧② 点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确 ∴ ∴，故C错误 不能得出平分，故B，D错误 【变式2】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 解：（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【题型 6】角平分线性质与判定综合 【例题6】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的性质，掌握三角形内心到三边的距离相等是解题的关键． 点是三角形的两条角平分线的交点，即为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等． 解：∵ 点是两条角平分线的交点， ∴ 点是三角形的内心， ∴ 点到三角形三边的距离相等，B正确，符合题意； A、内心到顶点的距离不一定相等，故错误，不符合题意； C、三条角平分线必交于一点，因此点一定在第三个角的平分线上，故错误，不符合题意； D、内心与顶点的连线不一定垂直于对边，故错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，点是的外角、的平分线的交点，连接，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，作于点，作于点，则有，，所以，得到点在的平分线上，然后通过角平分线定义即可求解，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 解：如图，过点作于点，作于点，作于点， ∵分别是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 故答案为：． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： （1）平分； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理得到，，进而得到，从而得到结论； （2）易证得和，进而得到和，从而得到结论． 解：（1）解：如图，过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型 7】线段垂直平分线与角平分线性质与判定综合 【例题7】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）的周长；（2）证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 解：（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等边对等角 B．全等三角形的对应角相等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的真假判断，需写出各命题的逆命题，并依据初中几何知识判断其真假． 解：A．等边对等角的逆命题为等角对等边，即有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故A不符合题意； B．全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两个三角形全等，但对应角相等的三角形不一定全等，是假命题，故B符合题意； C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，故C不符合题意； D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题.，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点E作交的延长线于点G，易证明是线段的垂直平分线，则，再证明是的平分线，根据角平分线的性质定理得到，利用“”的判定方法证明、，进而得到、，设、，利用和长列出方程，解方程即可． 解：如图，连接、，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， 是线段的垂直平分线， ， 、， ， 是的平分线， 、， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设、， 、， ， 解得：， ． 【变式3】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，在上取一点（点不与点，点重合）． （1）尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的基础上，连接，，点是与的交点．若，点到的距离为3，求点到的距离． 【答案】（1）如图，直线为所求作． （2）3 【分析】（1）连接，分别以点，点为圆心，大于线段一半的长度为半径，分别画弧，两弧交于点，点，连接，分别交于点，交于点，则直线为所求作； （2）连接，证明和全等，得到平分，由此可求解距离． 解：（1）略 （2）解：连接，如图， 点与点关于直线对称， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分． 点到距离相等． 点到距离为3， 点到距离为3． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长是（   ） A．13 B．14 C．8 D．26 【答案】B 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，则的面积为（   ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】D 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形面积公式求解即可． 解：如图，过点作于点， 是的角平分线，，， ， ，， ． 4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 5．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 6．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（    ） A． B．和关于直线成轴对称 C．直线是线段的垂直平分线 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，轴对称的核心性质包括：对称轴垂直平分对应点连线、两侧图形全等、对应点到对称轴距离相等，以及对称轴上的点位置不变．根据轴对称的性质可直接得出答案． 解：A、直线与不一定平行，该选项符合题意； B、和关于直线成轴对称，该选项不符合题意； C、直线是线段的垂直平分线，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：A． 7．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 【答案】D 【分析】由①可知为的角平分线，由②可知为的垂直平分线，由角平分线的性质得到点D到的距离与点D到的距离相等，则可推出则可求出，再由线段的垂直平分线的性质和三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 解：由①可知为的角平分线， ∴点D到的距离与点D到的距离相等， 设点D到的距离为， ∴， ∵， ∴， 由②可知为的垂直平分线， ∴， ∴ ． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可． 解：边的垂直平分线分别交于点 的周长为 即 的周长 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 【答案】/21度 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【答案】 【分析】由作图可得，是的垂直平分线，因此，将的周长转化为，即可求解． 解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________．    【答案】81 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解． 解：∵N到点B，C的距离相等， ∴， 如图作于，于．    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证明：， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：81． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【答案】7 【分析】过点D作于点E，于H，先根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质可以得到，求出的面积，即可求解． 解：过点D作于点E，于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，于E，于F，若，平分； （1）求证：； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：平分，于E，于F， ， 在和中 ， ， （2）四边形的面积为 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用证明得出结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，利用三角形面积公式得出答案． 解：（1）略 （2）， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 解：（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． （1）试说明； （2）已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：是的角平分线， ，   ， ， ，                                             ． （2） 【分析】（1）证明，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 解：（1）略 （2）解：， ， 是的角平分线，， ，       ， ， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 线段的垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】线段垂直平分线的性质 1 【题型 1】利用线段垂直平分线的性质求值证明 2 【知识点二】线段垂直平分线的判定 3 【题型 2】利用线段垂直平分线的判定求值证明 3 【知识点三】角平分线的性质 4 【题型 3】利用角平分线的性质求值证明 4 【知识点四】角平分线的判定 5 【题型 4】利用角平分线的判定求值证明 6 二.综合培优题型精析 7 【题型 5】线段垂直平分线性质与判定综合 7 【题型 6】角平分线性质与判定综合 8 【题型 7】线段垂直平分线与角平分线性质与判定综合 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 图示 数学语言 ∵l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点， ∴PA=PB. 【题型 1】利用线段垂直平分线的性质求值证明 【例题1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，分别是的中点，于点，于点，求证：． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为_________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【知识点二】线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 图示 数学语言 ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线. 【题型 2】利用线段垂直平分线的判定求值证明 【例题2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． （1）证明：垂直平分； （2）若面积为，求的周长． 【变式1】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【知识点三】角平分线的性质 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 图示 数学语言 ∵OP是∠AOB的平分线，PCOA、PDOB、垂足分别为C、D. ∴PC=PD. 【题型 3】利用角平分线的性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． （1）在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【知识点四】角平分线的判定 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 图示 数学语言 ∵PCOA、PDOB、垂足分别为C、D，且PC=PD. ∴ OP是∠AOB的平分线， 【题型 4】利用角平分线的判定求值证明 【例题4】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（      ） ________（      ） 又 ________ 平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知 ，，求的长． 二.综合培优题型精析 【题型 5】线段垂直平分线性质与判定综合 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【题型 6】角平分线性质与判定综合 【例题6】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【变式2】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，点是的外角、的平分线的交点，连接，则______度． 【变式3】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： （1）平分； （2）． 【题型 7】线段垂直平分线与角平分线性质与判定综合 【例题7】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等边对等角 B．全等三角形的对应角相等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 【变式3】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，在上取一点（点不与点，点重合）． （1）尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的基础上，连接，，点是与的交点．若，点到的距离为3，求点到的距离． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，，则的周长是（   ） A．13 B．14 C．8 D．26 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，则的面积为（   ） A．6 B．5 C．8 D．4 4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 6．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（    ） A． B．和关于直线成轴对称 C．直线是线段的垂直平分线 D． 7．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，若，，则_________． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 13．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 14．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________．    15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 16．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 18．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，于E，于F，若，平分； （1）求证：； （2）已知，求四边形的面积． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． （1）试说明； （2）已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $