1.5 等腰三角形 讲义 -2026-2027学年苏科版八年级上册数学

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理其定义、性质（含已知底边及高的作图）与判定方法，延伸至等边三角形的性质及判定，关联含30°角直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质，构建从基础到特殊、从性质到应用的学习支架。 资料采用“知识梳理+达标检测”设计，知识梳理通过作图步骤培养几何直观，达标检测题结合实际情境（如凳子问题）提升推理能力与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过多样题型查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.5 等腰三角形（知识梳理+达标检测） 知识点一等腰三角形及其性质 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 2、等腰三角形的性质定理。 3、已知底边及底边上的高作等腰三角形。 （1）用直尺和圆规作等腰三角形 ABC，使底边 BC=a,高AD=h。 （2）作法。 作线段 BC =a； 作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC 于点D； 在MN上截取线段DA,使DA=h； 连接 AB，AC； △ABC就是所求作的等腰三角形。如下图： 知识点二等腰三角形的判定 1、等腰三角形的判定方法。 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 2、等腰三角形的性质与判定的区别。 知识点三等边三角形及其性质和判定 1、等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 2、等边三角形的性质定理。 等边三角形各角都等于60°。 如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° 3、等边三角形的判定方法。 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。 （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点四含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。 知识点五直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 一、选择题 1．如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质可得，最后由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是等腰三角形，底边，周长为21， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长为13． 2．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 4．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 5．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 6．如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质及面积公式；利用直角三角形面积公式的两种表示方法即可判断选项D；选项A、B、C均需特定角度条件才成立，不具备普遍性． 【详解】解：， 是斜边 上的高， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项D正确； ∵ 是斜边 上的中线， ∴ ， 只有当时， ，， 题目未给出角度条件，故选项A、B、C不一定正确． 故选：D． 二、填空题 7．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 8．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 9．如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 10．如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． 【答案】 4 【分析】过点D作于点G，根据角平分线的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点D作于点G， ∵点D为平分线上，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 11．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 【答案】18 【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点D是中点且于点D， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点E是中点且于点E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 【答案】15 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由作图可得平分，则，从而根据含角的直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 13．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，， （1）与全等吗？请说明理由． （2）求两条凳子的高度之和． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 14．如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求∠的度数． （2）若，的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴． 15．如图，在四边形中，，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半； （1）由得，由平分得即可得结论； （2）先证，再求，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴E是的中点， 由（1）可知，为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ． 16．如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2）5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由作图方法可知垂直平分，，则可证明，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，是等边三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）可知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴． 17．数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图在和中，，，． （1）如图①，当点在线段上时，连接，求的大小； （2）如图②，当点为的中点时，探究线段与的数量关系； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，容易证明，则； （2）由点为的中点，结合等腰直角三角形的性质，可得，，使用勾股定理求出线段与的数量关系，用替换即可； （3）由以及等腰直角三角形的性质可得，，，进一步推出，在直角中，使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， 又∵点为的中点， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴； （3）解：同理（1）可得，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握利用等腰直角三角形的性质证明全等三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.5 等腰三角形（知识梳理+达标检测） 知识点一等腰三角形及其性质 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 2、等腰三角形的性质定理。 3、已知底边及底边上的高作等腰三角形。 （1）用直尺和圆规作等腰三角形 ABC，使底边 BC=a,高AD=h。 （2）作法。 作线段 BC =a； 作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC 于点D； 在MN上截取线段DA,使DA=h； 连接 AB，AC； △ABC就是所求作的等腰三角形。如下图： 知识点二等腰三角形的判定 1、等腰三角形的判定方法。 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 2、等腰三角形的性质与判定的区别。 知识点三等边三角形及其性质和判定 1、等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 2、等边三角形的性质定理。 等边三角形各角都等于60°。 如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° 3、等边三角形的判定方法。 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。 （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点四含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。 知识点五直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 一、选择题 1．如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 4．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 8．如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 9．如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 10．如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． 11．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 12．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 三、解答题 13．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，， （1）与全等吗？请说明理由． （2）求两条凳子的高度之和． 14．如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求∠的度数． （2）若，的周长为，求的长． 15．如图，在四边形中，，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，若，，求的长． 16．如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 17．数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图在和中，，，． （1）如图①，当点在线段上时，连接，求的大小； （2）如图②，当点为的中点时，探究线段与的数量关系； （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $