专题1.3 全等三角形的判定【导图+知识卡片+知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL等判定定理及直角三角形全等判定，衔接性质应用与辅助线构造，通过23个题型讲练（含尺规作图、模型应用等）搭建从基础到综合的学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识脉络，23个题型分类（如倍长中线、垂线模型）培养推理能力，典例与变式结合、分层训练（基础夯实+培优拔高）助力学生用数学语言表达，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

null 专题1.3 全等三角形的判定『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 全等三角形的判定 2 知识点二 直角三角形全等的判定 3 知识点三 全等三角形的判定与性质 3 知识点四 全等三角形的应用 3 题型讲练 4 题型一 尺规作图作三角形 4 题型二 用SAS证明三角形全等(SAS) 5 题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 6 题型四 全等的性质和SAS综合(SAS) 8 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 10 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 11 题型七 用SSS证明三角形全等(SSS) 12 题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 13 题型九 全等的性质和SSS综合(SSS) 15 题型十 三角形的稳定性及应用 17 题型十一 四边形的不稳定性 18 题型十二 用HL证全等(HL) 19 题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 20 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 21 题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 23 题型十六 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 24 题型十七 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 25 题型十八 连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 28 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 31 题型二十 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 35 题型二十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 40 题型二十二 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 44 题型二十三 全等三角形综合问题 48 中考真题演练 50 难度分层训练 56 【基础夯实】 56 【培优拔高】 63 知识点一 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点二 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点三 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点四 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法： 把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． ②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型一 尺规作图作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广西防城港·期末）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 【答案】(1)三角形见解析(答案不唯一)； (2) 见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据锐角三角形的定义，画出三个内角均为锐角且三边不等的三角形即可； （2）用尺规作出线段的垂直平分线与边的交点，从而确定的中点，连接得到中线；再用尺规作过点且垂直于的线段，得到高． 【详解】（1）解：如图，即为所求锐角三角形(答案不唯一)； （2）解：①分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点的直线交于(为中点)，连接，则为边上的中线； ②以为圆心，任意长为半径画弧，与直线交于两点，再分别以这两点为圆心，大于它们距离的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点，并延长交于，则，为边上的高； 边上的中线和高如图所示： 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示，已知及边上两点和，用直尺和圆规在的角平分线上求作点，使得是以为腰的等腰三角形，找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹 【答案】图见解析． 【分析】本题考查的知识点是作图-复杂作图，解题关键是熟悉基本几何图形的性质． 先作的平分线，接着以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点、，然后以点为圆心，为半径画弧交角平分线于点． 【详解】解：如下图，点、、即为所作： 题型二 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解． 【详解】解：∵在与中，，， ∴再添加一个条件， ∴． ∴添加的条件可以为（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 【答案】 或 或 【详解】解：已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质． 取格点E，作射线交于点M，即为所求；取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N，点N即为所求． 【详解】解：如图，取格点E，作射线交于点M， ， ， ， ， ，即，故即为所求； 取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 点是点关于对称的点， ， 当三点共线时最小，故点即为所求． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型四 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知交的延长线于点E，交的延长线于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得，根据“”可证明得，根据，可得，可证明得． 【详解】证明：如图所示，连接 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，D是上一点，交于点E，，．求证：． 【分析】首先，根据平行线的性质得，然后，证得，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ，，， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 【答案】见详解． 【分析】先利用线段中点定义得到，然后根据“”判断即可． 【详解】证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ． 题型七 用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【答案】 【分析】利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：由作图痕迹得，， ． 【变式训练】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 题型九 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，．求证： 【答案】见解析 【详解】证明：法一： 连接 在和中 法二： 连接 在和中 ， 即. 法三： 连接，设交于点 在和中 在和中 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型十 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）下列图形中具有稳定性的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，即可直接判断选项． 【详解】∵三角形具有稳定性，所有四边形都不具有稳定性， 选项A平行四边形、B长方形、C正方形都是四边形，都不具有稳定性，不符合题意； 只有D为三角形，具有稳定性，符合题意． 【变式训练】（25-26八年级上·福建福州·期末）平潭海峡公铁大桥是我国超级工程，其斜拉索与桥塔、主梁搭建出无数三角形结构．这一设计主要利用了三角形的______性． 【答案】稳定 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：采用单塔双索面斜拉结构（斜拉索与桥面构成了三角形），这种设计利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定． 题型十一 四边形的不稳定性 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性这一性质，观察各选项图形的构成即可得出结论． 【详解】解： A、图形中间部分为四边形，未被分割成三角形，故不具有稳定性； B、图形被分割成了三个三角形，故具有稳定性； C、图形被对角线分割成了两个三角形，故具有稳定性； D、图形本身即为三角形，故具有稳定性． 【变式训练】下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性与四边形的不稳定性，关键是明确“三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性”的核心知识点，通过分析每个选项的图形结构判断是否具有稳定性： 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 选项A的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项B的图形被对角线分成多个三角形，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项C的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项D的图形是梯形，属于四边形，不具有稳定性，故该选项符合题意， 故选：D． 题型十二 用HL证全等(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】先根据“”判定，根据全等三角形的性质得到，再由“”判定，即可得到结论． 【详解】证明：， ∴在和中， ， ， ， 于，于， ， ∵在和中， ， ， ， 点是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，垂足为点，是上的一点，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．由，可得，结合，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 【变式训练】（24-25八年级上·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 题型十六 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 题型十七 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【答案】(1) (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】（1）利用长方形面积减去3个小三角形面积求解即可； （2）找出各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，结合图形即可得出点E的坐标； （3）取点，，，连接，，，，延长交于点F，证明，即得出，再结合对顶角相等和余角的性质即可证明，即即为的高线． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所作， 由图可知， 故答案为：； （3）解：如图，即为所作． 理由：取点，，，连接，，，，延长交于点F， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴即为的高线． 题型十八 连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式训练】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型二十 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 题型二十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6，理由见解析 (3)12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）解：点之间的距离是定值6，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（   ） A．14 B．13 C．16 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、三角形面积公式，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式可得，根据三角形面积公式得到，通过证明，得到；过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，通过证明，得到，再利用三角形面积公式得到，同理可得，再利用割补法即可求出六边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形的面积， 故选：A． 题型二十二 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴ （HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【变式训练】定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，，则_____度； （2）如图，在中，，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②求的长． （3）在（2）的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）①见解析；②；（3）或． 【分析】（1）先判断出不可能是或，再根据条件计算即可； （2）①根据平分，得到，再根据，即可得到结果；②作交于点，根据勾股定理得到，证明，再根据勾股定理计算即可； （3）根据点E存在的两种情况分类讨论即可； 【详解】（1）不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， 即． ∴是“近直角三角形”． ②作交于点， ∵，， ∴（勾股定理）． 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴． 设，则， 在中，， 得，即． （3）或． 如图所示，点E在的角平分线上，作， 设，则， 则， 根据已知条件可得：， ∴， 在Rt△EFC中， ， ； 在AC上面找一点E，连接BE，使得，延长EA至G，使得AE=AG， 根据条件可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ； ∴； ∴边AC上存在点E，使得也是“近直角三角形”，此时或． 题型二十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 【答案】条件：①；②；结论：④，是真命题（答案不唯一） 【分析】四个条件可以随便选出2个作为条件，剩下的两个随便一个作为结论，然后判断命题真假． 【详解】解：条件：①；②； 结论：④，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴． 条件：①；②； 结论：③，是真命题， 证明如下：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，是上一点，交于点，是的中点，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确判定是解题关键； 首先根据中点得到，“两直线平行，内错角相等”得到，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【真题演练1】（2025·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线等分三角形面积，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形，利用三角形中线等分三角形面积求解．延长交于点，过点作于点，证明，得到，，构造出与已知面积比相关的线段关系，再结合，求的长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，． ， ，即， ， ． 故选：D． 【真题演练2】（2025·广东惠州·中考真题）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【真题演练3】（2025·河南信阳·中考真题）在锐角三角形中， 的面积为16，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 【真题演练4】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【答案】18或1.5 【分析】由长方形的性质可得，．设运动时间为，Q点的速度为，则，，．然后分两种情况讨论：①当时，；①当时，．分别列方程求出t和x的值即可． 本题主要考查全等三角形的判定，由条件分两种情况得到关于t和x的方程是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，且边长，， ∴，， ∵， ∴． 设运动时间为，Q点的速度为，则，，． ①当时，， ∴，， 解得，． ①当时，， ∴,， 解得，． 综上，点运动速度为或． 故答案为：18或1.5． 【真题演练5】（2025·陕西延安·中考真题）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【基础夯实】 1．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，，下列条件中，不能判定与全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐个判断即可求解． 【详解】解：A、根据可判断与全等，故选项不符合题意； B、根据可判断与全等，故选项不符合题意； C、、的夹角是，、的夹角是，已知条件为，因此不符合，不能判断与全等，故选项符合题意； D、根据可判断与全等，故选项不符合题意． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 4．（25-26八年级上·北京·阶段检测）在中，，则边上的中线的取值范围是__． 【答案】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知长方形的边长 ， ，点在边上， ，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【答案】6 【分析】根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ，     ，     在和中， ，     ， ∴． 8．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 10．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质推出，利用平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理证明即可； （2）根据全等三角形性质，以及线段的和差分析求解，即可解题． 熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明： 是边上的中线， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ，， ， ， 解得． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、垂线的作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹分析出是角平分线且，再结合全等三角形逐一分析选项． 先根据尺规作图痕迹确定是的角平分线且，然后通过证明，结合直角三角形的性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：从作图痕迹可知，是的角平分线， 在中，， ． 又 ， ． 根据“同角的余角相等”，可得， 选项正确． ∵， 当， ∴，与题干条件矛盾， 故B错误； 平分， ； 又 ，且， ． 由全等三角形的性质，可得， ∵不一定等于， ∴错误， 选项C错误． ∵， ∴， 当， ∴， ∴，与题干条件矛盾， 错误， 选项D错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 5．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：， 即， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， 延长到E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度． （1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度； （2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 8．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)存在，，或，． 【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，，，理由如下； ∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 9．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果海岛C，D所在海岸的距离，相等，那么从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角是否相等？请你说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．证明得到，再由角度的和差计算即可证明． 【详解】解：相等，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴视角相等． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得，即可得证； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.3 全等三角形的判定『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 全等三角形的判定 3 知识点二 直角三角形全等的判定 3 知识点三 全等三角形的判定与性质 3 知识点四 全等三角形的应用 3 题型讲练 4 题型一 尺规作图作三角形 4 题型二 用SAS证明三角形全等(SAS) 4 题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 5 题型四 全等的性质和SAS综合(SAS) 5 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 6 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 7 题型七 用SSS证明三角形全等(SSS) 7 题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 8 题型九 全等的性质和SSS综合(SSS) 9 题型十 三角形的稳定性及应用 9 题型十一 四边形的不稳定性 10 题型十二 用HL证全等(HL) 10 题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 11 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 12 题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 12 题型十六 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 13 题型十七 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 13 题型十八 连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 14 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 15 题型二十 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 16 题型二十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 17 题型二十二 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 18 题型二十三 全等三角形综合问题 19 中考真题演练 20 难度分层训练 22 【基础夯实】 22 【培优拔高】 25 知识点一 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点二 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点三 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点四 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法： 把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． ②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型一 尺规作图作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·广西防城港·期末）根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示，已知及边上两点和，用直尺和圆规在的角平分线上求作点，使得是以为腰的等腰三角形，找到所有的点，不写作法，保留作图痕迹 题型二 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】在与中，，，再添加一个条件_______，就可以直接证明． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 题型三 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 题型四 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知交的延长线于点E，交的延长线于点F，．求证：． 【变式训练】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，D是上一点，交于点E，，．求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 题型六 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 题型七 用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【变式训练】小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 题型八 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 题型九 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，．求证： 【变式训练】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 题型十 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）下列图形中具有稳定性的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形 【变式训练】（25-26八年级上·福建福州·期末）平潭海峡公铁大桥是我国超级工程，其斜拉索与桥塔、主梁搭建出无数三角形结构．这一设计主要利用了三角形的______性． 题型十一 四边形的不稳定性 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型十二 用HL证全等(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 题型十三 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，垂足为点，是上的一点，连接．若，求证：． 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 题型十五 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·云南德宏·期末）傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 题型十六 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 题型十七 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 题型十八 连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 题型二十 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 题型二十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（   ） A．14 B．13 C．16 D．15 题型二十二 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【变式训练】定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，，则_____度； （2）如图，在中，，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②求的长． （3）在（2）的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 题型二十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，有下面四个论断：①；②；③；④．请选择其中三个论断，以两个作为条件，一个作为结论组成命题，并判断其真假． 【变式训练】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，是上一点，交于点，是的中点，．求证． 【真题演练1】（2025·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·广东惠州·中考真题）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【真题演练3】（2025·河南信阳·中考真题）在锐角三角形中， 的面积为16，平分．若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_____． 【真题演练4】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点在线段上从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动，已知点的运动速度是．则点运动速度为_____时，与全等． 【真题演练5】（2025·陕西延安·中考真题）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【基础夯实】 1．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，，下列条件中，不能判定与全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京·阶段检测）在中，，则边上的中线的取值范围是__． 5．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知长方形的边长 ， ，点在边上， ，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 8．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 5．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 6．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 8．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，如果海岛C，D所在海岸的距离，相等，那么从观测点A看海岛C，D的视角与从观测点B看海岛C，D的视角是否相等？请你说明理由． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $