1.4 线段垂直平分线与角平分线 讲义 -2026-2027学年苏科版八年级上册数学

本讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理前者性质定理（线上点到两端距离相等）及逆定理（到两端距离相等的点在线上），后者性质定理（线上点到两边距离相等）及逆定理（到两边距离相等的点在线上），通过互逆关系构建逻辑脉络，为几何证明提供基础学习支架。 资料以“知识梳理+达标检测”设计，文字配图片强化几何直观，检测题涵盖方格找点（空间观念）、角平分线与高综合应用（推理意识）等，培养数学思维。课中辅助教师教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升应用意识。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.4 线段垂直平分线与角平分线（知识梳理+达标检测） 知识点一线段垂直平分线的性质 文字版 1、线段垂直平分线的性质定理。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2、逆定理。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 图片版 知识点二角平分线的性质 文字版 1、角平分线的性质定理。 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、逆定理。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 图片版 一、选择题 1．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分C． D． 3．如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 二、填空题 6．如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 7．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为______． 8．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 9．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 10．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______．      三、解答题 11．如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 13．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 14．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    （1）根据以上材料，任选一种方法证明：； （2）如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.4 线段垂直平分线与角平分线（知识梳理+达标检测） 知识点一线段垂直平分线的性质 文字版 1、线段垂直平分线的性质定理。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2、逆定理。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 图片版 知识点二角平分线的性质 文字版 1、角平分线的性质定理。 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、逆定理。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 图片版 一、选择题 1．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，根据，则点在的垂直平分线上，作图即可求解． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，与方格纸交于5个格点， 故满足条件的点C有5个， 故选：C． 2．如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定逐一判断即可，掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， A．在和中， ， ∴， ∴，故原选项结论正确，不符合题意； B．∵，， ∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意； C．∵，， ∴， 而题目没有给出， ∴不一定等于，故原选项错误，符合题意； D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 4．如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等判定定理及角平分线判定定理，解决本题的关键是灵活使用全等的方法证明两个三角形全等． ①：根据题意得，进而利用“”进行证明全等；②：根据可得，则，进而利用“”进行证明全等；③：根据可得，再依据角平分线判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 又∵于点E，于点F， ∴点D在的平分线上，故③正确， 综上所述，正确的有：①②③， 故选D． 5．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 二、填空题 6．如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 7．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线判定，三角形中线性质，垂线段最短，当时，最小，由，，得垂直平分，则有，从而求得的面积为，所以，得，最后利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 9．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 10．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______．      【答案】6 【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积． 【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等， ∴的面积的面积， ∵的面积为4， ∴的面积是6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质． 三、解答题 11．如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 【答案】，理由如下： 如图，连接，， 是的平分线，，， ， ， ∵在的垂直平分线上， ， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴． 【分析】连接，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线求出，根据HL证，即可得出答案． 【详解】略. 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 13．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 14．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    （1）根据以上材料，任选一种方法证明：； （2）如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $