奥数专题04 等量代换天平问题（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

本讲义聚焦小学数学“等量代换与天平平衡原理”核心知识点，系统梳理简单代换、三量传递、天平推理、多物体换算及消元法入门等考点，通过知识体系梳理、方法图表记忆与奥数思维提升，构建从基础到进阶的学习支架。 资料以知识体系表和解题方法图表直观呈现内容，培养学生抽象能力与几何直观的数学眼光，通过分层例题与消元法等策略发展推理意识与运算能力的数学思维，分层练习与精准解析助力学生用数学语言表达关系，课中辅助教学，课后查漏补缺。

专题四 等量代换天平问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：简单等量代换 3 考点二：三量传递代换 4 考点三：天平平衡推理 5 考点四：多物体换算与抵消 7 考点五：复杂等量代换综合 8 第三部分 易错避坑指南 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、基础夯实篇（8题） 11 二、能力进阶篇（7题） 11 三、思维跃迁篇（5题） 12 第五部分 精准解析 14 一、基础夯实篇解析 14 二、能力进阶篇解析 15 三、思维跃迁篇解析 17 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第三单元的奥数培优内容，核心是"天平原理与等量代换"，依托简单等量代换、三量传递代换、天平平衡推理、多物体换算、消元法入门五大考点，系统梳理等量代换的思维方法，培养推理能力和代数思想的启蒙。 知识模块 核心内容 关键原理 易错提醒 简单等量代换 两个量之间的替换 天平两边同时加减相同重量，仍然平衡 两边要同时操作，不能只动一边 三量传递 A=B，B=C，所以A=C 等量的传递性 找准中间量，一步步传递 天平推理 根据天平状态判断轻重 下沉的一边重，上升的一边轻 注意是平衡还是倾斜 多物体换算 多个物体的重量关系 相同物体可以抵消、合并 数量要看清，别数错个数 消元法入门 两个等式加减消去一个量 等式两边同时加减，等式仍然成立 消去相同的，留下不同的 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 代入法 两个量的等量代换 找到等量关系→把一个量换成另一个→计算 你等于我，我就换成你 传递法 三个及以上量的代换 找中间量→A换B，B换C→A和C建立关系 中间量搭桥，一步步传递 抵消法 两边有相同物体 两边同时去掉相同的→剩下的仍然平衡 两边都有的，可以同时拿走 扩倍法 数量不同的等式 把一个等式扩大倍数→使某个量数量相同→再抵消 扩倍凑相同，然后消掉它 画图法 复杂的等量关系 用图形表示物体→画天平示意图→分析推理 画图更直观，不容易搞错 三、奥数思维提升 1. 等量思想：相等的可以互换 核心要点：天平平衡说明两边一样重，所以左边的东西可以换成右边的，重量不变。这就是等量代换的核心：相等的量可以互相替换。 示例：1个西瓜=3个菠萝，1个菠萝=5个苹果，那么1个西瓜就可以换成3×5=15个苹果。 2. 传递思想：找中间量搭桥 核心要点：A和B有关系，B和C有关系，通过B这座桥，就能找到A和C的关系。传递思想就是用中间量把两个不直接相关的量联系起来。 示例：铅笔和橡皮比，橡皮和尺子比，通过橡皮就能知道铅笔和尺子谁重。橡皮就是中间量。 3. 消元思想：去掉相同的，看不同的 核心要点：两个天平上都有相同的物体，把相同的同时去掉，剩下的仍然平衡。消去相同的量，就能看出不同的量之间的关系。 示例：左边：2个苹果+1个梨，右边：1个苹果+3个梨，两边平衡。两边同时去掉1个苹果1个梨，左边剩1个苹果，右边剩2个梨，所以1个苹果=2个梨。 4. 整体思想：把一组看作一个整体 核心要点：有时候把几个物体打包看作一个整体，计算更方便。比如一组的重量知道了，有几组就乘几。 示例：1个苹果+1个梨=200克，那3个苹果+3个梨=3×200=600克。把1苹果1梨看作一组，有3组。 5. 推理思想：从已知推未知 核心要点：等量代换本质上就是推理。从已知的重量关系，一步步推导出未知的关系。就像侦探破案，从线索推出结论。 示例：示例：已知○+△=9，○=△+△，那么把第一个式子中的○换成△+△，就是△+△+△=9，3个△=9，所以△=3，○=6。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：简单等量代换 典型例题 1（基础型）—— 两个量直接代换 题目：天平左边放1个西瓜，右边放4个菠萝，天平平衡。如果1个菠萝重2千克，1个西瓜重多少千克？ 解题步骤： ① 天平平衡说明：1个西瓜 = 4个菠萝； ② 1个菠萝重2千克； ③ 4个菠萝重：4 × 2 = 8千克； ④ 所以1个西瓜 = 8千克。 【答案】8千克 【知识点睛】天平平衡 = 两边重量相等。知道一个量和数量，用乘法求总重。 典型例题 2（提高型）—— 反向代换 题目：1只小狗的重量等于3只小猫的重量。如果1只小狗重12千克，1只小猫重多少千克？ 解题步骤： ① 1只小狗 = 3只小猫； ② 小狗重12千克，也就是3只小猫重12千克； ③ 1只小猫重：12 ÷ 3 = 4千克； ④ 所以1只小猫重4千克。 【答案】4千克 【知识点睛】知道总量和数量，用除法求单个重量。总量÷数量=单量。 典型例题 3（奥数型）—— 图形符号代换 题目：已知：△ + △ = 12，○ + △ = 14。那么△ = ？ ○ = ？ 解题步骤： ① 第一个式子：2个△=12； ② 所以△ = 12 ÷ 2 = 6； ③ 第二个式子：○ + 6 = 14； ④ 所以○ = 14 - 6 = 8； ⑤ 验证：△=6，○=8，6+6=12，8+6=14，正确。 【答案】△=6，○=8 【知识点睛】图形符号代换，先从只有一种图形的式子算出答案，再代入另一个式子。 考点二：三量传递代换 典型例题 1（基础型）—— 三个量传递 题目：1只羊 = 2只狗，1只狗 = 3只猫。那么1只羊等于几只猫？ 解题步骤： ① 中间量是狗，通过狗把羊和猫联系起来； ② 1只狗 = 3只猫，那2只狗 = 2 × 3 = 6只猫； ③ 又因为1只羊 = 2只狗； ④ 所以1只羊 = 6只猫。 【答案】6只猫 【知识点睛】三量传递：找中间量，把中间量换成第三个量。A=B，B=C，所以A=C。 典型例题 2（提高型）—— 反向传递 题目：1个西瓜 = 4个菠萝，1个菠萝 = 5个苹果。如果1个苹果重100克，1个西瓜重多少克？ 解题步骤： ① 先算1个菠萝重多少：5 × 100 = 500克； ② 再算4个菠萝重多少：4 × 500 = 2000克； ③ 1个西瓜 = 4个菠萝 = 2000克； ④ 或者直接算：4 × 5 × 100 = 2000克； ⑤ 所以1个西瓜重2000克（2千克）。 【答案】2000克（2千克） 【知识点睛】连乘：西瓜换菠萝，菠萝换苹果，数量相乘就是总个数，再乘单个重量。 典型例题 3（奥数型）—— 四量传递 题目：20只兔子 = 2只羊，9只羊 = 3头猪，8头猪 = 2头牛。那么1头牛等于几只兔子？ 解题步骤： ① 先简化每个关系： ② 20只兔=2只羊 → 10只兔=1只羊； ③ 9只羊=3头猪 → 3只羊=1头猪； ④ 8头猪=2头牛 → 4头猪=1头牛； ⑤ 1头牛 = 4头猪 = 4×3只羊 = 12只羊； ⑥ 12只羊 = 12×10只兔 = 120只兔； ⑦ 所以1头牛 = 120只兔子。 【答案】120只兔子 【知识点睛】多个量传递，先把每个关系化简成1个单位等于多少，再一步步传过去。 考点三：天平平衡推理 典型例题 1（基础型）—— 判断轻重 题目：天平左边放1个苹果，右边放1个梨，天平左边下沉。哪个水果重？ 解题步骤： ① 天平下沉的一边重，上升的一边轻； ② 左边下沉，说明左边重； ③ 左边是苹果，所以苹果重。 【答案】苹果重 【知识点睛】天平倾斜时，下沉的一边重，上升的一边轻。 典型例题 2（提高型）—— 两边同时加减 题目：天平左边有3个橘子，右边有6个李子，天平平衡。如果左边再放1个橘子，右边要放几个李子才能重新平衡？ 解题步骤： ① 原来平衡：3个橘子 = 6个李子； ② 所以1个橘子 = 2个李子（两边都除以3）； ③ 左边加1个橘子，右边就要加同样重的，也就是2个李子； ④ 所以右边要放2个李子。 【答案】2个李子 【知识点睛】天平两边同时加上相同重量，仍然平衡。先算出1个橘子等于几个李子。 典型例题 3（奥数型）—— 天平排序 题目：三个天平：1号天平左边1个A右边1个B，A下沉；2号天平左边1个B右边1个C，B下沉；3号天平左边1个A右边1个C，哪边下沉？ 解题步骤： ① 1号天平：A下沉，所以A > B； ② 2号天平：B下沉，所以B > C； ③ 传递：A > B > C； ④ 所以A比C重； ⑤ 3号天平左边是A，右边是C，A重，所以左边下沉。 【答案】左边（A那边）下沉 【知识点睛】比较大小可以传递：A>B，B>C，就有A>C。从重到轻排序。 考点四：多物体换算与抵消 典型例题 1（基础型）—— 两边抵消相同物体 题目：天平左边：2个苹果 + 1个橘子；天平右边：1个苹果 + 3个橘子。天平平衡。1个苹果等于几个橘子？ 解题步骤： ① 两边都有苹果和橘子，把相同的都去掉； ② 两边同时去掉1个苹果和1个橘子； ③ 左边剩：1个苹果；右边剩：2个橘子； ④ 仍然平衡，所以1个苹果 = 2个橘子。 【答案】2个橘子 【知识点睛】两边都有的相同物体，可以同时抵消（去掉），剩下的仍然相等。 典型例题 2（提高型）—— 整体代入 题目：已知：1个篮球 + 1个足球 = 150元，3个篮球 + 3个足球 = 多少元？ 解题步骤： ① 把1个篮球+1个足球看作一组，一组150元； ② 3个篮球+3个足球就是3组； ③ 3 × 150 = 450元； ④ 所以一共450元。 【答案】450元 【知识点睛】整体思想：把一组看作一个整体，有几组就乘几。不用分别算出篮球和足球各多少。 典型例题 3（奥数型）—— 消元法入门 题目：已知：2个苹果 + 1个梨 = 500克，1个苹果 + 1个梨 = 300克。1个苹果重多少克？1个梨呢？ 解题步骤： ① 两个式子对比：第一个比第二个多了1个苹果； ② 重量多了：500 - 300 = 200克； ③ 多出来的200克就是多的那1个苹果的重量； ④ 所以1个苹果 = 200克； ⑤ 代入第二个式子：200 + 梨 = 300； ⑥ 所以1个梨 = 300 - 200 = 100克； ⑦ 验证：2×200+100=500，正确。 【答案】苹果200克，梨100克 【知识点睛】两个等式相减，消去相同的量（梨），就能求出不同的量（苹果）。这就是消元法。 考点五：复杂等量代换综合 典型例题 1（基础型）—— 扩倍后抵消 题目：已知：1支钢笔 + 2支铅笔 = 20元，1支钢笔 = 3支铅笔。1支钢笔多少元？ 解题步骤： ① 把第一个式子中的钢笔换成铅笔； ② 1支钢笔 = 3支铅笔，代入： ③ 3支铅笔 + 2支铅笔 = 20元； ④ 5支铅笔 = 20元； ⑤ 1支铅笔 = 20 ÷ 5 = 4元； ⑥ 1支钢笔 = 3 × 4 = 12元。 【答案】12元 【知识点睛】代入法：把一个量用另一个量表示，代入式子，就只剩一种量了，就能算出来。 典型例题 2（提高型）—— 和差型等量代换 题目：小明和小红一共重60千克，小明比小红重10千克。小明和小红各重多少千克？ 解题步骤： ① 小明 + 小红 = 60千克； ② 小明 - 小红 = 10千克； ③ 两个式子相加：小明+小红+小明-小红 = 60+10； ④ 2个小明 = 70千克； ⑤ 小明 = 70 ÷ 2 = 35千克； ⑥ 小红 = 60 - 35 = 25千克； ⑦ 验证：35-25=10，正确。 【答案】小明35千克，小红25千克 【知识点睛】和差问题：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数。用两个等式相加消去小数。 典型例题 3（奥数型）—— 图形等式推理 题目：已知：○ + ○ + △ = 16，○ + △ + △ = 14。那么○ + △ = ？ 解题步骤： ① 把两个式子加起来看看： ② 左边：○+○+△ + ○+△+△ = 3个○ + 3个△； ③ 右边：16 + 14 = 30； ④ 所以3×(○+△) = 30； ⑤ 两边都除以3：○ + △ = 10； ⑥ 不用分别算出○和△，直接求它们的和。 【答案】10 【知识点睛】两个等式相加，得到整体的和，有时候比分别求更简单。整体思想的应用。 第三部分 易错避坑指南 易错点：传递时代数关系搞错，该乘的除了 错误示例：1只羊=2只狗，1只狗=3只猫，1只羊=2+3=5只猫（错误，用加法了） 正确分析：1只羊换2只狗，每只狗又能换3只猫，应该是2个3只，用乘法：2×3=6只猫。不是相加。 修正方法：等量传递时，每多一层就乘一次。A=n个B，B=m个C，A=n×m个C。 易错点：天平两边只动一边，破坏平衡 错误示例：天平两边平衡，只在左边加东西，认为还平衡 正确分析：天平两边必须同时加或同时减相同重量，才仍然平衡。只动一边就不平衡了。 修正方法：天平操作要对称：两边都加、两边都减、两边都乘除相同倍数，才保持平衡。 易错点：消元时数错数量，抵消不干净 错误示例：左边2苹果1梨，右边1苹果3梨，抵消后认为左边1苹果右边3梨（错误，梨没抵消） 正确分析：两边都有的才能抵消。两边都有苹果和梨，苹果各有2个和1个，只能抵消1个；梨各有1个和3个，只能抵消1个。 修正方法：相同物体抵消时，取两边数量少的那个数，都减去那么多。剩下的才是差。 易错点：和差问题公式记错，大小数搞反 错误示例：(和+差)÷2算出来的是小数（错误） 正确分析：和加差，差把小数补成了大数，加起来就是2个大数，除以2得大数。和减差就是2个小数。 修正方法：记住：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数。加差得大，减差得小。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 1个西瓜 = 4个菠萝，1个菠萝重3千克。1个西瓜重多少千克？ 2. 1只鸡 = 2只鸭，1只鸭重2千克。1只鸡重多少千克？ 3. △ + △ + △ = 15，△等于多少？ 4. 天平左边放1个苹果重200克，右边放几个50克的砝码才能平衡？ 5. 1头牛 = 5只羊，1只羊 = 2只狗。1头牛等于几只狗？ 6. ○ + □ = 12，○ = □ + □。○和□各等于多少？ 7. 3个苹果 + 1个梨 = 700克，1个苹果 + 1个梨 = 300克。1个苹果多少克？ 8. 小明和小刚一共有40元，小明比小刚多10元。两人各有多少元？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 2只兔子 = 4只鸡，3只兔子 = 多少只鸡？ 10. 1个大盒 = 2个中盒，1个中盒 = 4个小盒。3个大盒等于多少个小盒？ 11. 已知：☆ + ☆ + ○ = 22，☆ + ○ = 14。☆和○各是多少？ 12. 1支钢笔的价钱等于3支圆珠笔的价钱，买2支钢笔和3支圆珠笔一共花了45元。1支钢笔多少元？ 13. 学校买了4张桌子和6把椅子共720元，1张桌子的价钱等于3把椅子的价钱。1张桌子多少元？ 14. △ + ○ = 18，△ - ○ = 6。△和○各等于多少？ 15. 有大、小两种瓶子，3个大瓶和1个小瓶共重1400克，1个大瓶和3个小瓶共重1000克。每个大瓶比小瓶重200克。1个大瓶重多少克？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 如果20个桃子可换2个西瓜，9个西瓜可换3个哈密瓜，8个哈密瓜可换2个南瓜。那么1个南瓜可换多少个桃子？ 17. 已知：□ + □ + △ + △ + △ = 34，□ + □ + □ + △ + △ = 36。□ + △ = ？ 18. 甲、乙、丙三人称体重。甲和乙共重70千克，乙和丙共重66千克，甲和丙共重64千克。三人各重多少千克？ 19. 商店运来5箱同样的苹果，如果从每箱里取出30千克，5个箱子里剩下的苹果正好等于原来2箱的重量。原来每箱苹果重多少千克？ 20. 有2个一样的大杯和3个一样的小杯都装满了水，共重1600克。每个大杯比小杯重200克。每个大杯和小杯各重多少克？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】12千克 解题步骤： ① 1西瓜=4菠萝； ② 4×3=12千克。 【知识点睛】单量×数量=总量。 2. 【答案】4千克 解题步骤： ① 1鸡=2鸭； ② 2×2=4千克。 【知识点睛】等量代换，用乘法算总重。 3. 【答案】5 解题步骤： ① 3个△=15； ② △=15÷3=5。 【知识点睛】总数÷个数=单个。 4. 【答案】4个 解题步骤： ① 200÷50=4个。 【知识点睛】两边一样重就平衡。 5. 【答案】10只狗 解题步骤： ① 1牛=5羊，1羊=2狗； ② 5×2=10只狗。 【知识点睛】三量传递，数量相乘。 6. 【答案】○=8，□=4 解题步骤： ① ○=2个□，代入第一个：□+□+□=12； ② 3□=12，□=4； ③ ○=8。 【知识点睛】代入法，换成同一种。 7. 【答案】200克 解题步骤： ① 第一个减第二个：2苹果=400克； ② 1苹果=200克。 【知识点睛】消元法，相减消去梨。 8. 【答案】小明25元，小刚15元 解题步骤： ① 和=40，差=10； ② 小明=(40+10)÷2=25元； ③ 小刚=(40-10)÷2=15元。 【知识点睛】和差公式：(和+差)÷2=大数。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】6只鸡 解题步骤： ① 2兔=4鸡 → 1兔=2鸡； ② 3兔=3×2=6只鸡。 【知识点睛】先化简，再计算。 10. 【答案】24个小盒 解题步骤： ① 1大=2中，1中=4小； ② 1大=2×4=8小； ③ 3大=3×8=24小。 【知识点睛】先算1个大盒等于几个小盒，再乘3。 11. 【答案】☆=8，○=6 解题步骤： ① 第一个减第二个：☆=22-14=8； ② 代入第二个：8+○=14，○=6。 【知识点睛】两式相减消去○。 12. 【答案】15元 解题步骤： ① 1钢笔=3圆珠笔，2钢笔=6圆珠笔； ② 总共：6+3=9支圆珠笔=45元； ③ 1圆珠笔=5元； ④ 1钢笔=3×5=15元。 【知识点睛】都换成圆珠笔，算单价。 13. 【答案】120元 解题步骤： ① 1桌=3椅，4桌=12椅； ② 总共：12+6=18椅=720元； ③ 1椅=40元； ④ 1桌=3×40=120元。 【知识点睛】都换成椅子，统一单位。 14. 【答案】△=12，○=6 解题步骤： ① 两式相加：2△=24，△=12； ② 代入：12+○=18，○=6。 【知识点睛】相加消去○，求△。 15. 【答案】400克 解题步骤： ① 3大+1小=1400，1大+3小=1000； ② 两式相加：4大+4小=2400，1大+1小=600； ③ 第一个减第三个：2大=800，1大=400克； ④ 验证：3×400+200=1400，400+3×200=1000，正确。 【知识点睛】先相加求一组，再代入求单个。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】120个桃子 解题步骤： ① 化简：20桃=2瓜→10桃=1西瓜；9瓜=3哈密→3瓜=1哈密；8哈密=2南瓜→4哈密=1南瓜； ② 1南瓜=4哈密=4×3西瓜=12西瓜； ③ 12西瓜=12×10桃=120桃。 【知识点睛】先把每个关系化简成1个单位，再层层传递。 17. 【答案】14 解题步骤： ① 两个式子加起来：5□+5△=34+36=70； ② 5×(□+△)=70； ③ □+△=14。 【知识点睛】整体相加，不用分别求。 18. 【答案】甲34千克，乙36千克，丙30千克 解题步骤： ① 甲+乙=70，乙+丙=66，甲+丙=64； ② 三个加起来：2甲+2乙+2丙=200； ③ 甲+乙+丙=100； ④ 甲=100-66=34，乙=100-64=36，丙=100-70=30。 【知识点睛】三人和 = (两两和相加)÷2。 19. 【答案】50千克 解题步骤： ① 共取出：5×30=150千克； ② 剩下的=原来2箱，说明取出的=原来5-2=3箱； ③ 3箱=150千克； ④ 1箱=150÷3=50千克。 【知识点睛】取出的重量 = 减少的箱数的重量。 20. 【答案】大杯440克，小杯240克 解题步骤： ① 2大+3小=1600； ② 每个大杯比小杯重200克，1大=1小+200； ③ 2大=2小+400； ④ 代入：2小+400+3小=1600； ⑤ 5小+400=1600； ⑥ 5小=1200； ⑦ 1小=1200÷5=240克； ⑧ 1大=240+200=440克； ⑨ 验证：2×440+3×240=880+720=1600克，正确。 【知识点睛】假设法：把大杯换成小杯，总重量减少差值，再除以总个数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $