山东青岛市胶州市、黄岛区2025-2026学年第二学期期末学业水平检测高一数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷以统计、几何、概率等模块为载体，通过分层设计考查数据意识、空间观念与逻辑推理，适配高一学段知识整合与能力进阶需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|方差计算、复平面向量、棱台体积、独立事件|结合复平面与向量考查几何直观，以正方体顶点距离题渗透空间观念| |填空题|3/15|向量中点运算、二面角余弦值、三角形高的最值|通过斜三棱柱二面角问题提升空间想象与运算能力| |解答题|5/77|频率分布直方图分位数、三棱锥线面证明、概率“巧遇”模型|以“巧遇”概率问题创设创新情境，融合古典概型与逻辑推理，体现数学思维的严谨性|

2025-2026学年度第二学期期末学业水平检测高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1-8：CBAC DBDA 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．ABD； 10．ABD ； 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．； 13．； 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解:（1）由题意知，各组频率分别为 3分 估计参加高三模拟考试额学生数学分数的分位数为： 6分 （2）因为两组频率之比为，由于采用分层随机抽样抽样的方式在成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，所以需要在成绩落在这组抽取个，记这个数据分别为；在成绩落在这组抽取个，记这个数据分别为． 设事件“至少有个数据落在内”， 9分 所以样本点一共有个，样本空间为： 事件包含其中的个样本点，记为： 11分 所以． 13分 16．（15分） 解：（1）因为，所以 由正弦定理知 2分 因为，因此 3分 所以，即 因为，所以 4分 因为，所以，从而 7分 （2）由余弦定理知： 所以 9分 因为，所以 所以，解得或 11分 当时，， 当时，， 所以的面积为或 15分 17．（15分） 解:（1）因为分别为的中点， 于是，， 所以，又平面平面， 所以平面 5分 （2）（ⅰ）因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为分别为的中点， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面 10分 （ⅱ）作垂直于点，由（ⅰ）知：平面平面， 又因为，平面平面，，平面， 所以平面，在平面上的射影为， 所以即为直线与平面所成角，记为， 在中，，为的中点，所以， 在中，由正弦定理，，所以， 当直线平面时，，取最大值， 所以，故与平面所成角的最大值 15分 18．（17分） 解：（1）因为在方向上的投影向量的模为 ， 所以，因为，为边的中点，所以， 所以，， 5分 （2）（ⅰ）证明：因为，所以， 因为为边边的中点，所以，即， 所以点在中线上；同理：点在其他中线上； 所以，点为的重心 10分 （3）因为为的重心，又是正三角形，点为的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为， ， 不妨设与，与的夹角分别为，， 所以的值分别为，， 当时，， 所以， 所以的取值范围是 17分 19.（17分） 解：（1）当时，盒中有个标号为的小球， 取球两次共有个样本点，样本空间为 其中出现“巧遇”的情况为种，记为 所以取球两次就出现“巧遇”的概率为 4分 （2）（ⅰ）因为“第一次取到的是偶数号球”， 将“奇数和偶数互换”由对称性知：事件与包含的基本事件个数相等； 所以 12分 （ⅱ）记“取球过程中至少一次出现“巧遇”，则， 由（ⅰ）知：， 因为盒中有个小球，当第一次取到的是偶数号球时，一定会出现“巧遇”， 所以， 所以 17分 高一数学答案 第 - 1 - 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业水平检测 高一数学试题 2026．07 本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．样本数据的方差为 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点分别是，则向量对应的复数的虚部为 A． B． C． D． 3．向量共线，则 A． B． C． D． 4．在中，，最长边与最短边之比为，则最小角为 A． B． C． D． 5．棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为 A． B． C． D． 6．已知为三个不同的平面，为两条不同的直线，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．从棱长为的正方体上底面的个顶点和下底面的个顶点中分别取一个点，则这个点之间的距离大于的概率为 A． B． C． D． 8．已知是同一个球面上四点，过球心，，则三棱锥的体积是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若随机事件满足：，则 A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．为不可能事件 10．已知复数，则 A． B． C．对应复平面上的点在直线上 D．若，则最大值为 11．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则 A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平行四边形中，，，为的中点，则 ． 13．斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，且．则 二面角的余弦值为 ． 14．已知中，，，，则边上的高的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图． （1）请估计参加高三数学模拟考试成绩的分位数； （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个数据，求至少有个数据落在内的概率．分数 频率/组距 16．（15分） 在中，角所对的边分别为，，． （1）求； （2）若，求的面积． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）求与平面所成角的最大值． 18．（17分） 在中，，为边边的中点，若在方向上的投影向量的模为． （1）求； （2）若点在所在平面内，，． （ⅰ）证明：点为的重心； （ⅱ）记中的最小值为，求的取值范围． 19．（17分） 盒中有个标号为的小球，小球除标号外均相同，每次不放回的随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”． （1）当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率； （2）记“取出个球后，第一次出现‘巧遇’”，“第一次取到的是奇数号球”． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求取球过程中至少一次出现“巧遇”的概率． 高一数学试题 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $