精品解析：河南洛阳市汝阳县2025-2026学年第二学期期末学科素养检测卷八年级数学

2025~2026学年第二学期期末学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 样本数据分别是，，，，，这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 当时，函数的值是（ ） A. B. 5 C. D. 3 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为，则n为（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 反比例函数的图像一定经过的点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当平分时，它是菱形 7. 把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（ ） A. 4，2.5 B. 4，3 C. 2，2.5 D. 2，2.725 9. 如图，在菱形中，与交于点，，，于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是_____． 12. 函数值随自变量的增大而增大，写出一个满足条件的函数解析式_______．（答案不唯一） 13. 若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 14. 如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，为的中点，若、为边上的两个动点，且，当线段取得最小值时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，四边形中，，． （1）请用尺规作图完成作图：作的平分线交于点．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证四边形是菱形． 18. 培育时代新人，普及宪法知识．康居路初中教育集团举行了一次以“学宪法，讲宪法”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为10分制），各年级以小组为单位组织竞赛．比赛分为预赛、半决赛、决赛，七、八年级各有20名学生参加预赛． 数据整理：对七、八年级学生的预赛成绩（满分10分）进行整理，制成如图所示的统计图． 数据分析：已知各年级将预赛成绩从高分到低分排序后，各选成绩为前10名的学生进入半决赛．对七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩进行分析如表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 满分率 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知成绩为7分的小东进入了半决赛，可知小东是_________（填“七年级”或“八年级” ）的学生； （2）表格中，_________，_________，_________； （3）对于七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩，小东认为七年级的满分率较高，因此七年级的成绩比八年级好，小明认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）． 19. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 20. 如图，的顶点与原点重合，边在轴的正半轴上，且点，反比例函数的图象经过对角线的中点． （1）求反比例函数的表达式． （2）若，垂足为交反比例函数的图象于点，求的面积． 21. 某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售．已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． （1）求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； （2）厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且需要B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用W（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； （3）当时，直接写出的解集 ． 23. 如图1所示，四边形是正方形，点在边上，是边的中点，平分． （1）、、的等量关系是 ． （2）是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图2所示，若四边形是长与宽不相等的矩形，其它条件不变，那么上述问题（1）中的结论是否依然成立？请给出判断，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 样本数据分别是，，，，，这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数． 【详解】将原数据从小到大排列为：，，，，， ∵这组数据共有个，个数为奇数，中位数是排序后最中间的数， ∴排序后最中间的数是第个数，为， ∴这组数据的中位数为． 2. 当时，函数的值是（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将代入中即可． 【详解】解：将代入中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的值，掌握函数值的计算是解题的关键． 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件及函数，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 4. 《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为，则n为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 则n为， 故选：B． 5. 反比例函数的图像一定经过的点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当平分时，它是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确； 当时， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 故B正确； 当时， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 不一定是矩形， 故C错误； 当平分时，， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 故D正确． 7. 把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的平移规律为：左加右减自变量，上加下减常数项，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为． 8. 2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（ ） A. 4，2.5 B. 4，3 C. 2，2.5 D. 2，2.725 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中阅读2本课外书的人数最多，为15人， ∴该组数据的众数是； 计算总人数：． 计算阅读总本数：． ∴平均数为． 因此众数为，平均数为． 9. 如图，在菱形中，与交于点，，，于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点H，由矩形的性质和点C的坐标可得，，由折叠的性质得到，则，利用勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，根据方差越小，成绩越稳定即可求解，正确理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故答案为：乙． 12. 函数值随自变量的增大而增大，写出一个满足条件的函数解析式_______．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，只要一次函数中一次项系数大于零，即可满足函数值随自变量的增大而增大，取符合条件的系数即可写出解析式． 【详解】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为． 13. 若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 14. 如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质得到，可证明，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴轴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限，即， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，为的中点，若、为边上的两个动点，且，当线段取得最小值时，的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，，证明四边形是平行四边形，得到，推出，得到，当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，然后结合轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称得，， ∴， ∴， ∴当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，如图， ∵在矩形中，，E为边的中点， ∴，，， 点F与点G关于对称， 垂直平分，即，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 垂直平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，四边形中，，． （1）请用尺规作图完成作图：作的平分线交于点．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证四边形是菱形． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接， 为的平分线， ， ∵ ， ， ， ∵ 四边形为平行四边形 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形，再根据，即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 培育时代新人，普及宪法知识．康居路初中教育集团举行了一次以“学宪法，讲宪法”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为10分制），各年级以小组为单位组织竞赛．比赛分为预赛、半决赛、决赛，七、八年级各有20名学生参加预赛． 数据整理：对七、八年级学生的预赛成绩（满分10分）进行整理，制成如图所示的统计图． 数据分析：已知各年级将预赛成绩从高分到低分排序后，各选成绩为前10名的学生进入半决赛．对七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩进行分析如表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 满分率 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知成绩为7分的小东进入了半决赛，可知小东是_________（填“七年级”或“八年级” ）的学生； （2）表格中，_________，_________，_________； （3）对于七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩，小东认为七年级的满分率较高，因此七年级的成绩比八年级好，小明认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）七年级 （2）；； （3）八年级的平均数高于七年级，说明八年级进入半决赛的学生整体成绩更好（答案不唯一）. 【解析】 【分析】（1）根据统计图确认两个年级第10名的成绩，并与小东的成绩对比即可； （2）根据加权平均数、众数和中位数的定义进行计算即可； （3）从平均数和中位数的角度评价两个年级的成绩即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，八年级第10名的成绩为8分，七年级第10名的成绩为7分， 根据题意，前10名才能进入半决赛， ∴小东是七年级的学生； 【小问2详解】 解：八年级进入半决赛的学生的成绩的平均数为， 七年级进入半决赛的10名学生的成绩中，第5个数为8，第6个数为9， ∴七年级半决赛的学生的成绩的中位数为，即， 七年级进入半决赛的10名学生的成绩中，10分出现4次，出现的次数最多， ∴七年级半决赛的学生的成绩的众数为10，即； 【小问3详解】 略 19. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 20. 如图，的顶点与原点重合，边在轴的正半轴上，且点，反比例函数的图象经过对角线的中点． （1）求反比例函数的表达式． （2）若，垂足为交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到点，进而得到的中点，再利用待定系数法求解即可； （2）先得到点坐标，再结合三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：， ，由条件可知， ， ， 点为的中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 轴， 点的坐标为， 点的横坐标为8，将代入，得， ， 由两平行线间的距离相等得， ， ． 21. 某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售．已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． （1）求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； （2）厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且需要B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用W（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 【答案】（1）每个A种礼盒的进价为80元，每个B种礼盒的进价为60元 （2）当时，；当时，（a为整数）；最多可以购买16个A种礼盒，此时的费用为元 【解析】 【分析】（1）设每个A种礼盒的进价为x元，则每个B种礼盒的进价为元，然后根据信息1和信息2建立方程求解即可； （2）分两种情况：和，分别求出额外购买B种礼盒的个数，然后列出对应的关系式，再求出对应的a的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个A种礼盒的进价为x元，则每个B种礼盒的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个A种礼盒的进价为80元，每个B种礼盒的进价为60元； 【小问2详解】 解：当时，则且 ∴，且a为整数 ∴此时最多可以购买4个A种礼盒； ∵此时不需要额外购买B种礼盒， ∴； 当时，则， 此时需要额外购买个B种礼盒， ∴； ∵该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴a的最大值为16， ∴此时最多可以购买16个A种礼盒； 综上所述，当时，；当时，（a为整数）；最多可以购买16个A种礼盒，此时的费用为元． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； （3）当时，直接写出的解集 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． 【小问3详解】 解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 23. 如图1所示，四边形是正方形，点在边上，是边的中点，平分． （1）、、的等量关系是 ． （2）是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图2所示，若四边形是长与宽不相等的矩形，其它条件不变，那么上述问题（1）中的结论是否依然成立？请给出判断，并证明． 【答案】（1） （2）解：成立， 延长至N，使，连接． 四边形是正方形， ∴，，． ． ，． 平分， ． ． ，， ． ∵， ． ． ． ， ． （3）解：（1）中结论成立． 延长，交于点P，如图 四边形是矩形， ∴，． ． 是边的中点， ． ． ． 平分， ． ． ． ， ． 【解析】 【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发， 延长，交于点，如图，易证，从而有，只需证明即可； （2）延长至N，使，连接，证明；从而有，．由平分，可得出，则，可证； （3）在图2中，仿照（1）中的证明思路即可证到仍然成立． 【小问1详解】 解：，理由如下： 延长，交于点，如图 四边形是正方形， ∴，． ． 是边的中点， ． ． ， 平分， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $