精品解析：河南洛阳市省宜阳县2025-2026学年下学期八年级数学期末考试试题

2025—2026学年第二学期期末质量检测 八 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式变形中，正确的是（） A. B. C. D. 2. 生物学家发现了一种病毒平均半径约为50纳米（1纳米米），这一数据用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点，，，则（ ）　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某超市7天销售某一类货品的销量（单位：件）分别为4，6，7，4，6，11，8，该组数据的中位数是（） A. 5 B. 7 C. 6.5 D. 6 6. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）： 甲 乙 丙 丁 平均数 92 98 98 91 方差 1.1 1.3 0.9 1.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 10. 如图所示，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（ ） A. 12cm B. C. 6cm D. 3cm 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 13. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试分别得96分、90分、94分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占．则该名志愿者的综合成绩为__________分． 14. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，菱形的边长为______． 15. 矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解方程 （1）计算：． （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：其中． 18. 某公司现要装配30台机器,在装配好6台以后，采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？ 19. 在一次数学活动课中，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集梧桐树和杨树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比． 整理数据如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 梧桐树叶的长宽比 3.7 3.7 4.0 3.4 3.9 3.5 3.6 3.9 3.6 3.9 杨树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.4 1.9 分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 方差 梧桐树叶的长宽比 3.72 a 3.9 0.0356 杨树叶的长宽比 b 1.95 c 0.0556 问题解决： （1）上述表格中： ___________， ___________， ___________； （2）甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为梧桐树叶的形状差别大．”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现杨树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是_____________（填“甲”或“乙”）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自梧桐树、杨树中的哪种树？并给出你的理由 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； 21. 如图，在矩形 中，对角线 、相交于点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求长． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． x ··· 0 1 2 3 4 5 6 ··· y ··· 5 4 m 2 1 0 1 n 3 ··· （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则 ， ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y 随x的增大而 ； （3）结合图象回答： ①关于x 的方程的解是 ； ②关于x的不等式的解集是 ． 23. 综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． （2）【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末质量检测 八 年 级 数 学 试 卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式变形中，正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，判断各选项即可． 【详解】解：∵分式的基本性质要求分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变，不能同时加减同一个数，也不能对分子分母分别平方， ∴A中分子分母同时加2，B中分子分母同时减3，均不符合性质，A，B错误； C中对分子分母分别平方，不符合变形规则，C错误； D中的分子分母同时除以不为0的2，得到，符合分式基本性质，D正确． 2. 生物学家发现了一种病毒平均半径约为50纳米（1纳米米），这一数据用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确的确定的值即可． 【详解】解：50纳米米， 故选：C 3. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 点在第二象限， ， 故选：． 4. 如图，在中，的平分线交于点，，，则（ ）　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质，易得，，再根据，进行求解即可． 【详解】解：在中， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ， ， ， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定．解题的关键是根据平行和角平分线得到等腰三角形． 5. 某超市7天销售某一类货品的销量（单位：件）分别为4，6，7，4，6，11，8，该组数据的中位数是（） A. 5 B. 7 C. 6.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先将给定数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数即为中位数 【详解】解：将数据按从小到大排序得：，，，，，，， ∵共有个数据，中位数为排序后第个数， ∴第个数是，即该组数据的中位数为． 6. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）： 甲 乙 丙 丁 平均数 92 98 98 91 方差 1.1 1.3 0.9 1.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛． 【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大， 而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组． 故选C． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合，在轴下方函数图像所对应的自变量的取值范围即不等式的解集． 【详解】解：由函数图像可知：当时，． 8. 若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 10. 如图所示，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（ ） A. 12cm B. C. 6cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：垂直且平分线段， ， 四边形是矩形，对角线与相交于点，， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】x 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 12. 点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，可得随的增大而减小，结合一次函数性质即可得到的取值范围． 【详解】解：已知一次函数解析式为， 由题意可知，当时，， 说明函数值随的增大而减小， 当随的增大而减小时， ， 因此． 13. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试分别得96分、90分、94分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占．则该名志愿者的综合成绩为__________分． 【答案】92.6 【解析】 【详解】解：该名志愿者的综合成绩为（分）． 14. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故答案为：． 15. 矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解方程 （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，绝对值，然后进行加减运算． （2）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程并求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ． 检验：当时，， 是原分式方程的根． 17. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 某公司现要装配30台机器,在装配好6台以后，采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？ 【答案】6台 【解析】 【详解】解：设原来每天装配机器x台，依题意得： 解这个方程得： 经检验：是原方程的解 答：原来每天装配机器6台． 19. 在一次数学活动课中，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集梧桐树和杨树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比． 整理数据如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 梧桐树叶的长宽比 3.7 3.7 4.0 3.4 3.9 3.5 3.6 3.9 3.6 3.9 杨树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.4 1.9 分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 方差 梧桐树叶的长宽比 3.72 a 3.9 0.0356 杨树叶的长宽比 b 1.95 c 0.0556 问题解决： （1）上述表格中： ___________， ___________， ___________； （2）甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为梧桐树叶的形状差别大．”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现杨树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是_____________（填“甲”或“乙”）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自梧桐树、杨树中的哪种树？并给出你的理由 【答案】（1）3.7，1.92，2.0 （2）乙 （3）这片树叶更可能来自杨树叶， ∵一片长，宽的树叶，长宽比接近2， ∴这片树叶更可能来自杨树叶． 【解析】 【分析】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计表，正确的计算是解决问题的关键． （1）根据中位数，平均数和众数的定义求解即可； （2）根据题目给出的数据判定即可； （3）根据树叶的长宽比判定即可． 【小问1详解】 解：把10片梧桐树叶的长宽比从小到大排列，， 排在中间的两个数分别为、， ∴片梧桐树叶的长宽比的中位数， 10片杨树叶的长宽比的平均数， 10片杨树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0， ∴片杨树叶的长宽比的众数为2.0， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴梧桐树叶的形状差别小， 故甲同学的说法不合理， ∵杨树叶的长宽比的平均数是1.92，中位数是1.95，众数是2.0， ∴乙同学的说法合理， 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：由题意可得：点在反比例函数图象上， 则， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得： 即， 将A，B代入一次函数解析式中，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图可得或时，，即． 21. 如图，在矩形 中，对角线 、相交于点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，求长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可知，从而由有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得； （2）由菱形的性质得，进而证明，从而得到四边形为平行四边形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：四边形为菱形． ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． x ··· 0 1 2 3 4 5 6 ··· y ··· 5 4 m 2 1 0 1 n 3 ··· （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则 ， ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y 随x的增大而 ； （3）结合图象回答： ①关于x 的方程的解是 ； ②关于x的不等式的解集是 ． 【答案】（1）3；2 （2）；①；②增大 （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）把和分别代入中即可求解、的值； （2）根据表格数据即可作图；再观察函数图象即可求解最低点，以及增减性； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：画函数图象见答案； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：观察图象可知， ①关于x的方程的解是或． ②关于x的不等式的解集是或． 23. 综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． （2）【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． （3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1），等边三角形； （2） 解：同意． 理由如下：连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据点是边的中点，可得，等量代换可得，故，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （3）过点作于，连接，根据菱形的性质，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，即可求得的值，计算面积即可． 【小问1详解】 解：，是等边三角形； 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ， ∴和都是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或（写成，也对） 同（2）可证， 过点A作于E，连接， ∵四边形是菱形，且，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， 当时，（或）， 当时，（或）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等，解题的关键是构造等边三角形以及全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $