精品解析：河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

汝阳县2024～2025学年第二学期期末学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 若含有x的分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. 的实数 B. C. 的实数 D. 2. 如图，在□ABCD中，下列结论不一定成立的是(　 　) A. ∠1＝∠2 B. AD＝DC C. ∠ADC＝∠CBA D. OA＝OC 3. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 4. 紫斑牡丹是国家重点一级保护野生植物，其花粉粒类似圆形或椭圆形，直径大小平均（）用“”为单位表示数据“”，可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象经过点（2，4） B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而减小 D. 当﹣8＜x＜﹣1时，1＜y＜8 6. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 7. 把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 学位要在甲乙丙三人中推荐一名成绩不错且发挥稳定的射箭选手参加市区比赛，下面是他们经过很多次测试获取的统计数据，那么选择选手及选择理由最不充分的是（ ） 选手 平均环数 众数（环） 方差 甲 86 8 15 乙 8.5 8 3 丙 8.5 9 10 A. 选择甲，因为甲平均环数最高 B. 选择甲，因为甲的方差最大 C. 选择乙，因为乙的方差最小 D. 选择丙，因为丙的众数最大 9. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，)，则点C的坐标（ ） A. （-1，） B. （） C. D. （-2，1） 10. 如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 一组数据：，，，，，，它的众数是______． 12. 如图，平行四边形ABDC中，AD、BC相交于点O，若AC=6，AD+BC=16，则△AOC的周长为________． 13. 学校对学生实行学期综合考评，考评办法是把平时考评成绩、期中成绩、期末成绩分别按计入综合考评成绩．某同学期末数学综合考评成绩为分．已知他期中数学成绩是110分，期末数学成绩是115分，则他平时数学成绩是______分． 14. 如图，一次函数与两坐标轴正半轴分别交于A、B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与，垂足为M、N，若四边形为菱形，则点P的横坐标为_______． 15. 如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是_______．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 为证明自己的研学效果，多思多想组和实践创新组共180名学生，进行数学综合能力测试后，两组分别随机抽取同样多的人数，对成绩进行整理和分析（试卷满分均为60分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．）． 下面给出了部分信息： a．多思多想组和实践创新组成绩的统计图如下： b．多思多想组成绩在D．这一组的成绩是：50，50，51，51，51，52，52，53，53，54． c．多思多想组和创新实践组成绩的平均数、众数、中位数如下： 组别 平均数 众数 中位数 多思多想组 51 m 创新实践组 53 53 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空： ； （2）若为优秀，估计两组180人中成绩达到优秀共 人； （3）根据上面数据，请你对多思多想组和创新实践组的研学效果做出评价． 18. 在平面直角坐标系内，正方形如图摆放，已知顶点，． （1）过C作轴于E，则和的关系是 ，点C的坐标是 ． （2）反比例函数经过点C，与直线：交于另一点，求k、m的值，并直接写出时x的取值范围． 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形菱形． 20. 为提升同学们综合实践活动能力，学校计划从市场上购进一批型和型两种品牌活动器材．经考查，型器材比型器材单价多元，投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等． （1）求型器材和型器材每件售价分别多少元？ （2）学校决定购买型器材和型器材共件，且购买型器材件数不少于型器材的件数．实际购买时，型器材实行九折优惠，型器材预付元定金后每件减免元的优惠．学校购买这批活动器材至少要花费多少元？ 21 已知：如图，直线l和l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：①在直线l上任取一点A，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点B； ②分别以点P，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q（不与点A重合）； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据你的作图，完成下面的证明，括号内填推理依据． 证明：连接． ∵， ∴四边形是______，（__________）（填推理依据）． ∴（__________）（填推理依据）． 即． 22. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； （3）过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 23. 中，，D是中点，E是射线上的动点，连接，以、为邻边作，连接．已知． （1）与的位置关系是 ，数量关系是 ． （2）当等于多少时，四边形为矩形？说明理由． （3）若四边形为菱形，直接写出 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汝阳县2024～2025学年第二学期期末学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 若含有x的分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. 的实数 B. C. 的实数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母必须不等于零，即：， 解得：， 因此，的取值范围是的实数， 故选：A． 2. 如图，在□ABCD中，下列结论不一定成立的是(　 　) A. ∠1＝∠2 B. AD＝DC C. ∠ADC＝∠CBA D. OA＝OC 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得AD∥BC，进而有∠1=∠2，则A项正确； 接下来对于其余三个选项，利用平行四边形的性质，分析图中相等线段和相等角，逐一验证即可. 【详解】A，平行四边形对边平行，则AD∥BC，故有∠1=∠2，正确； B，平行四边形的邻边不一定相等，则AD=DC，错误； C，平行四边形的对角相等，则∠ADC=∠CBA ，正确； D，平行四边形对角线互相平分，则OA=OC，正确. 故选B. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线互相平分 3. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案． 【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8； 从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8； 从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 综上，中位数和众数都没有改变， 故选：D． 【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 4. 紫斑牡丹是国家重点一级保护野生植物，其花粉粒类似圆形或椭圆形，直径大小平均（）用“”为单位表示数据“”，可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据，把数据“”换算成米为单位的量，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5. 关于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象经过点（2，4） B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而减小 D. 当﹣8＜x＜﹣1时，1＜y＜8 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数y=（k≠0）中的k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可． 【详解】A、因为2×4=8≠﹣8，故本选项错误； B、因为k=﹣8，所以函数图象位于二、四象限故本选项错误； C、因为k=﹣8＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误； D、因为当x=﹣8时，y=1，当x=﹣1时，y=8，所以当﹣8＜x＜﹣1时，1＜y＜8，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析． 6. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形周长不变 B. C. 四边形面积不变 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故D符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等． 7. 把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据直线平移的规律，向上平移时在常数项上加相应的单位数． 【详解】解：把直线向上平移4个单位后所得直线的表达式为：． 故选：A． 8. 学位要在甲乙丙三人中推荐一名成绩不错且发挥稳定的射箭选手参加市区比赛，下面是他们经过很多次测试获取的统计数据，那么选择选手及选择理由最不充分的是（ ） 选手 平均环数 众数（环） 方差 甲 8.6 8 15 乙 8.5 8 3 丙 8.5 9 10 A. 选择甲，因为甲平均环数最高 B. 选择甲，因为甲的方差最大 C. 选择乙，因为乙的方差最小 D. 选择丙，因为丙的众数最大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据题目要求，需选择“成绩不错且发挥稳定”的选手，即平均环数高且方差小，通过分析各选项的合理性，判断哪一选项的理由最不充分． 【详解】解：A、甲的平均环数最高（8.6），确实成绩更好，理由充分； B、甲的方差最大（15），方差大代表发挥不稳定，与题目要求的“发挥稳定”矛盾，此理由错误，最不充分； C、乙的方差最小（3），方差小说明发挥最稳定，且平均环数（8.5）与丙相同，理由合理； D、丙的众数最大（9），但平均环数与乙相同（8.5），方差更大（10），稳定性较差。虽然众数高有一定优势，但整体理由弱于选项B的错误性． 故选：B． 9. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，)，则点C的坐标（ ） A. （-1，） B. （） C. D. （-2，1） 【答案】B 【解析】 【分析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，则∠ADO=∠OEC=90°，得出∠1+∠2=90°，由正方形的性质得出OC=AO，∠1+∠3=90°，证出∠3=∠2，由AAS证明△OCE≌△AOD，OE=AD=，CE=OD=1，即可得出结果． 【详解】解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠ADO=∠OEC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵点A的坐标为（1，）， ∴OD=1，AD=， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC=90°，OC=AO， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCE和△AOD中，， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴点C的坐标为（-，1）； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 10. 如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，由矩形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 一组数据：，，，，，，它的众数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据次数出现最多的数据是众数即可求解，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，，，中，出现的次数最多， ∴它的众数是， 故答案为：． 12. 如图，平行四边形ABDC中，AD、BC相交于点O，若AC=6，AD+BC=16，则△AOC的周长为________． 【答案】14 【解析】 【详解】分析:由平行四边形的对角线互相平分可得，OA=AD,OC=BC,从而 OA+OC=8,再由已知AC=6可求出△AOC的周长. 详解: ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=AD,OC=BC. ∵AD+BC=16， ∴OA+OC=8, ∴△AOC的周长为:OA+OC+AC=8+6=14. 故答案为14. 点睛:本题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分. 13. 学校对学生实行学期综合考评，考评办法是把平时考评成绩、期中成绩、期末成绩分别按计入综合考评成绩．某同学期末数学综合考评成绩为分．已知他期中数学成绩是110分，期末数学成绩是115分，则他平时数学成绩是______分． 【答案】112 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数和一元一次方程的应用．设他平时数学成绩是x分，根据加权平均数的计算方法列方程，解方程即可． 【详解】解：设他平时数学成绩是x分， 根据题意得：， 解得， ∴他平时数学成绩是112分， 故答案为：112． 14. 如图，一次函数与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与，垂足为M、N，若四边形为菱形，则点P的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正方形的判定和性质，先证明四边形为正方形，设，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵过点P分别作两坐标轴的垂线与， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形， ∴， 设，把代入，得：， 解得：； ∴点P的横坐标为． 故答案为： 15. 如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是_______．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判与性质通过分析图形中的各个四边形和三角形，判断各结论的正确性即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， 同理四边形是菱形， ∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确； ∴，，又， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形和菱形等高， ∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍， 则需要，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长四边形的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）首先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 为证明自己的研学效果，多思多想组和实践创新组共180名学生，进行数学综合能力测试后，两组分别随机抽取同样多的人数，对成绩进行整理和分析（试卷满分均为60分，成绩用x表示，分成6个等级：A．；B．；C．；D．；E．；F．）． 下面给出了部分信息： a．多思多想组和实践创新组成绩的统计图如下： b．多思多想组成绩在D．这一组的成绩是：50，50，51，51，51，52，52，53，53，54． c．多思多想组和创新实践组成绩的平均数、众数、中位数如下： 组别 平均数 众数 中位数 多思多想组 51 m 创新实践组 53 53 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空： ； （2）若为优秀，估计两组180人中成绩达到优秀的共 人； （3）根据上面数据，请你对多思多想组和创新实践组的研学效果做出评价． 【答案】（1）补全图见详解， （2）126 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位数，样本估计总体，利用众数、中位数决策等； （1）先利用图表求出多思多想组抽取的人数为人，求出实践创新组等级的人数补全图，利用中位数的定义求解即可； （2）求出优秀总人数，可得，即可求解； （3）从平均数、众数、中位数进行对比分析，即可求解； 理解中位数、众数的定义，会进行样本估计总体运算是解题的关键． 【小问1详解】 解：随机抽取同样多的人数为： （人）， 实践创新组等级的人数为 （人）， 补全图如下： 多思多想组成绩的第、个数为51，52， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：时，两组共有人数（人）， （人）， 估计两组180人中成绩达到优秀的共人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：两组平均成绩相当，但创新实践组的众数、中位数及优秀率明显高于多思多想组，所以创新实践组研学效果更好一些． 18. 在平面直角坐标系内，正方形如图摆放，已知顶点，． （1）过C作轴于E，则和的关系是 ，点C的坐标是 ． （2）反比例函数经过点C，与直线：交于另一点，求k、m的值，并直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）全等； （2），或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则，推导出，，即可解答． 即可解答； （2）再用待定系数法求出反比例的函数解析式，再求出m的值，根据函数的图象和交点坐标即可求得． 【小问1详解】 解：在正方形中， ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：全等；． 【小问2详解】 反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，． 根据图象知，时或． 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的性质得出，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）根据平行四边形及菱形的性质证明是等边三角形，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 当时，四边形是菱形，理由如下： 如图：四边形是菱形时， ∵，平行四边形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 20. 为提升同学们综合实践活动能力，学校计划从市场上购进一批型和型两种品牌活动器材．经考查，型器材比型器材单价多元，投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等． （1）求型器材和型器材每件售价分别多少元？ （2）学校决定购买型器材和型器材共件，且购买型器材件数不少于型器材的件数．实际购买时，型器材实行九折优惠，型器材预付元定金后每件减免元的优惠．学校购买这批活动器材至少要花费多少元？ 【答案】（1）型每件售价元，型每件售价元； （2）学校购买这批活动器材至少要花费元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、利用一次函数求最值． 设型每件售价元，则型每件售价元，根据投资元购买型器材的件数与投资元购买型器材的件数相等，可列方程：，解方程可以求出，可得：，从而可得：型每件售价元，型每件售价元； 设购买型件，则购买型件，可得学校购买活动器材所需要的费用与之间的函数关系式是，根据购买型器材件数不少于型器材的件数，可得：，根据一次函数的性质可知当时，花费最少，把代入求值即可． 【小问1详解】 解：设型每件售价元，则型每件售价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时， 可得：， 答：型每件售价元，型每件售价元； 【小问2详解】 解：设购买型件，则购买型件， 设学校购买这批活动器材要花费元，根据题意， 解得：； ， ，随增大而增大， 取最小值， （元）， 答：学校购买这批活动器材至少要花费元. 21. 已知：如图，直线l和l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：①在直线l上任取一点A，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点B； ②分别以点P，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q（不与点A重合）； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据你的作图，完成下面的证明，括号内填推理依据． 证明：连接． ∵， ∴四边形是______，（__________）（填推理依据）． ∴（__________）（填推理依据）． 即． 【答案】（1）见解析 （2）菱形；四边相等四边形是菱形；菱形的性质 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意，按照步骤补全作图即可求解； （2）根据菱形性质与判定求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意补全作图，如图， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴四边形是菱形，（四边相等的四边形是菱形）． ∴（菱形的性质）． 即． 故答案为：菱形；四边相等的四边形是菱形；菱形的性质． 22. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； （3）过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】（1）， （2）7.5 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 中，，D是中点，E是射线上的动点，连接，以、为邻边作，连接．已知． （1）与的位置关系是 ，数量关系是 ． （2）当等于多少时，四边形为矩形？说明理由． （3）若四边形为菱形，直接写出 ． 【答案】（1）平行，相等 （2）当时，四边形为矩形，见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形判定和性质定理即可得到结论； （2）设，，根据勾股定理得到，求得，推出点E在的垂直平分线上，．于是得到平行四边形为矩形； （3）根据平行线性质得到，得到点E与点B重合，于是得到结果． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：平行，相等； 【小问2详解】 当时，四边形为矩形 理由是：四边形是平行四边形，欲使四边形为菱形为矩形，须有， 是中点， 连接时，， 在中，设，，则由勾股定理得， 解得， ， 反之，， 由勾股定理得， ， 点E在的垂直平分线上，，此时平行四边形为矩形； 【小问3详解】 如图，四边形是平行四边形，欲使四边形为菱形为菱形，须有， ，即， ， 又， 点E与点B重合， ， 故答案为：8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$