精品解析：甘肃兰州市外国语学校2025-2026学年第二学期七年级期末考试数学学科试题

兰州市外国语学校2025-2026学年第二学期七年级期末考试 数学学科试题 一、选择题（共11小题，满分33分） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等式，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. “翻开人教版数学九年级下册教材，恰好翻到第32页”，这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 4. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 5. 如图，与相交于点B，于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 9或10 7. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 张老师让同学们作三角形BC边上的高，你认为正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 10. 如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或2 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，阳阳同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为________． 13. 李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 14. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为______． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 用乘法公式进行简便计算． （1）； （2）； 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中x=2,y=-1． 19. 如图，在正方形网格中有一个． （1）画出关于直线的对称图形； （2）若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 20. 已知：如图，，． （1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若于点A，，求的度数． 21. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 22. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 23. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 24. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用 h（cm）表示这摞碗的高度，用 x（只）表示这摞碗的数量，请用含有 x 的代数式表示 h； （3）若这摞碗的高度为 11.2cm，求这摞碗的数量． 25. 【定义】一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫做这个数的平均商． 例如：的平均商的平均商的平均商． 【理解】（1）的平均商为______，的平均商为______； 【探究】（2）数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商（保留两位小数），结果如表： 个位数字 平均商 十位数字 老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现．” 小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同．” 小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小．” 请你再写出一条新的发现． 假设一个两位数的个位数字与十位数字都为，请结合计算，说明小明的说法是否合理． 【拓展】（3）利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是______． 26. 【问题呈现】 在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上时，若 ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． （2）【知识应用】如图②，当点是的中点时，与平行吗？ （3）【拓展延伸】设，，如图③，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市外国语学校2025-2026学年第二学期七年级期末考试 数学学科试题 一、选择题（共11小题，满分33分） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知等式，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，可以得到，变形正确，不符合题意； B、当时，由不可以得到，变形错误，符合题意； C、由，可以得到，变形正确，不符合题意； D、由，可以得到，则，变形正确，不符合题意； 故选B． 3. “翻开人教版数学九年级下册教材，恰好翻到第32页”，这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵翻开人教版九年级下册数学教材时，翻到的页码是不确定的，可能翻到第32页，也可能翻不到， ∴该事件是可能发生也可能不发生的事件，符合随机事件的定义，故是随机事件． 4. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 5. 如图，与相交于点B，于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得，结合的度数求出，再利用邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解： ∴ 6. 若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 9或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为和腰长为两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当腰长为，底边长为时，三边分别为，因为，不符合三角形三边关系，所以不能构成三角形，该种情况不合题意； 当腰长为，底边长为时，三边分别为，符合三角形三边关系，此时周长为； 综上，它的周长为， 故选：B． 7. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 8. 张老师让同学们作三角形BC边上的高，你认为正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义解答即可． 【详解】A、AD是△ABC中BC边上的高，符合题意； B、DB不是△ABC中BC边上的高，不符合题意； C、DB是△ABC中AC边上的高，不符合题意； D、∵AD⊥CD，∴CD是AB边上的高，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的距离叫做三角形的高，熟知高的概念是解题的关键． 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的理解和分析，解题的关键是根据图象分析出需要的条件．根据给出的函数图象分别判断出甲、乙两人的路程，行驶的时间和速度即可求解． 【详解】解：A、甲、乙两人练习的长跑路程是，选项正确，不符合题意； B、根据图象可知，甲、乙两人同时达到终点，选项正确，不符合题意； C、根据图象可知：前分钟甲的速度为：（米/分）， 乙的速度为：（米/分）， 前分钟，甲比乙每分钟快（米），选项正确，不符合题意； D、分钟后，甲在前，乙在后，选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质得出，，进而利用等边对等角求出和，最后利用三角形内角和求出，通过角度相减即可求解． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ． 11. 如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，分和两种情况，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值是或． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，阳阳同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式(其中为负整数)．将0.000075的小数点向右移动5位得到7.5，则． 【详解】解： 故答案为：． 13. 李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是． 14. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 用乘法公式进行简便计算． （1）； （2）； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式求解即可； （2）运用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、零次幂、多项式除以单项式等知识点，掌握相关运法则成为解题的关键． （1）先运用有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）直接运用项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中x=2,y=-1． 【答案】2x+y；3． 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：[（2x+y）2-（2x-y）（2x+y）]÷（2y）， =[4x2+4xy+y2-4x2+y2]÷（2y）， =（4xy+2y2）÷（2y）， =2x+y， 当x=2，y=-1时， 原式=2×2+（-1）=3． 【点睛】本题主要考查对整式的加减、除法，完全平方公式，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键． 19. 如图，在正方形网格中有一个． （1）画出关于直线的对称图形； （2）若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【小问1详解】 如图所示:即为所画； 【小问2详解】 . ∴的面积为6． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，及网格中利用割补法求图形的面积．准确的做出图形是解题的关键． 20. 已知：如图，，． （1）判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若于点A，，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）∠E=54° 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出∠E=∠EDC，求出∠B=∠EDC，根据平行线的判定得出即可； （2）求出∠BAE度数，根据平行线的性质即可求出∠E． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ∵∠1=∠C， ∴， ∴∠E=∠EDC， 又∵∠E=∠B， ∴∠B=∠EDC， ∴； 【小问2详解】 ∵AB⊥AC，∠1=36°， ∴∠BAE=126°， ∵， ∴∠E+∠BAE=180°， ∴∠E=54°， 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 21. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 【答案】（1）， （2）， （3）大概有人转到“谢谢参与”． 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得和的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）用参加活动的总人数乘指针落在“谢谢参与”区域的频率，即可求解． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是． 【小问3详解】 解：（人） 答：大概有人转到“谢谢参与”． 22. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 【答案】见解析（2）∠EBC=25° 【解析】 【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等． （2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可 【详解】解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS） （2）∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解决此题的关键是合理运用三角形的外角性质． 23. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1）（） （2）完成绿化共需要1220元 【解析】 【分析】（1）利用长方形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将，，代入式子中，计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，  ； 【小问2详解】 解：当时， （）， 元． 答：完成绿化共需要元． 24. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用 h（cm）表示这摞碗的高度，用 x（只）表示这摞碗的数量，请用含有 x 的代数式表示 h； （3）若这摞碗的高度为 11.2cm，求这摞碗的数量． 【答案】（1）碗的数量是自变量，高度是因变量； （2）h=1.2x+2.8； （3）7只； 【解析】 【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度即可解答； （3）根据（2）h和x的关系式代入求值即可； 【小问1详解】 解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量； 【小问2详解】 解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm， ∴h=4+1.2（x-1）=1.2x+2.8， ∴h=1.2x+2.8； 【小问3详解】 解：∵h=1.2x+2.8， ∴11.2=1.2x+2.8， 解得：x=7， ∴碗的数量是7只； 【点睛】本题考查了函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 25. 【定义】一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫做这个数的平均商． 例如：的平均商的平均商的平均商． 【理解】（1）的平均商为______，的平均商为______； 【探究】（2）数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商（保留两位小数），结果如表： 个位数字 平均商 十位数字 老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现．” 小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同．” 小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小．” 请你再写出一条新的发现． 假设一个两位数的个位数字与十位数字都为，请结合计算，说明小明的说法是否合理． 【拓展】（3）利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是______． 【答案】（1）；；（2）见解析；合理，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）①根据表格可得，个位数字为的两位数的平均商均为； ②设个位与十位数字均为为到的整数，得出，即可求解； （3）设三位数的百位、十位、个位数字分别为、、，结合新定义，找到规律推导出平均商最小的三位数． 【详解】解：（1）的各位数字之和为，平均商为； 的各位数字之和为，平均商为， 答：的平均商为，的平均商为． （2）新发现：个位数字为的两位数的平均商均为如的平均商，的平均商等． 设个位与十位数字均为为到的整数， 则两位数为，各位数字之和为，平均商为， 因此，所有个位与十位数字相同的两位数的平均商均为，小明的说法合理． （3）设三位数的百位、十位、个位数字分别为、、，则三位数为，平均商为， 要使平均商最小，需分子尽可能小且分母尽可能大， 当百位最小，、十位和个位最大时，三位数为，各位数字之和为， 平均商为， 经检验，其他组合的平均商均大于． 答：平均商最小的三位数是． 26. 【问题呈现】 在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上时，若 ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． （2）【知识应用】如图②，当点是的中点时，与平行吗？ （3）【拓展延伸】设，，如图③，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①，理由如下： ， ， ， ，， ； ②； （2）与平行； （3），理由如下： 由（1）同理可得：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合，即可证明结论；②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【小问1详解】 解：①略 ②由①得， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，是中点， ，即， 由图可得，， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $