20.2勾股定理的逆定理及其应用暑假巩固作业 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，通过基础概念、情境应用到复杂综合的三层设计，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|逆定理判定、勾股数概念|选择1-2直接考查概念，解答16-18简单实际应用，巩固核心知识| |中档|方程建模、简单最短路径|选择3-6建立方程解决实际问题，填空11-13结合图形转化，提升应用能力| |提升|复杂情境综合、空间路径优化|选择8-10长方体/台阶最短路径，解答22-23跨学科情境（机械/消防），发展空间观念与模型意识|

20.2勾股定理的逆定理及其应用暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（      ） A．2，3，4 B. C.11，12，15 D. ， ， 2.下列各组数中，不是勾股数的是（      ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 3.如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（      ） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2−32 C．（x−1）2+42＝x2+32 D．（x−1）2+32＝x2+42 4.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（      ） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 5.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（          ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 6.如图，要从电线杆离地面5m的点C处向地面拉一条7m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为（结果精确到1m）（      ） A．3m B．4m C．5m D．6m 7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m．则小巷的宽度为（      ） A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m 8.如图是一个长方体木盒，其长，宽，高分别为2cm，2cm，4cm，一只蚂蚁从盒底的点A处，沿木盒的表面爬到盒顶的点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　) A．8cm B.2 cm C.4 cm D.2 cm 9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B处的最短路程为（      ） A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm 10.某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道AB的长度为（      ） A．12km B．13km C．15km D．16km 二、填空题 11.周末小明去户外参加攀岩活动 ,如图 ,攀岩墙近似为一个长方体的两个侧面 ,小明已经攀爬到 O 点 ,已知点 O 到 CD 的距离为 20 m ,DE = OD = 40 m ,则小明从点 O 攀爬到点 E 的最短路径的长度为_______m. 12.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为  米的半圆，其边缘AB＝CD＝11米，点E在CD上，CE＝1米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是________米． 13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝____________． 14.如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝16cm，球的最高点到地面的距离为36cm，则球的半径为____________cm．（玻璃瓶厚度忽略不计） 15.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比). 王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为____________米.  三、解答题 16.2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断．折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 17.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 18.小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得AC＝2cm，BC＝8cm．求OB的长． 19.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 20.2026年各地推进城市微更新，盘活社区闲置“边角料”空间打造口袋公园成为民生热点. 为提升居民幸福感，某社区计划将一块闲置四边形空地ABCD改造为便民健身区，全部铺设防滑耐磨的运动塑胶垫，适配老人、儿童等群体的健身需求，打造“家门口的健身驿站”.经专业人员测量，该四边形空地中，∠B=90°，AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m. （1）连接AC，求AC的长度； （2）已知运动塑胶垫的购买价格为200元/m2，求铺设这块四边形健身区所需塑胶垫的总费用. 21.城市文旅亮化升级工程中，工作人员使用智能高空作业机械开展楼宇夜景灯饰安装调试.机械伸缩作业臂总长AB＝15米，作业机械支点B点与楼宇外立面水平间距BE＝12米，作业支点B离地面OP的高度为1.5米．楼宇外立面AO与水平地面OP垂直. （1）求作业臂顶端点位A到地面的距离（AO的长度）； （2）首轮调试完毕后，作业机械沿射线OP方向前移，作业臂顶端由点A竖直下降至墙面点位C，已知顶端竖直下降距离AC长为3米，求作业机械支点B水平移动的距离（BD的长度）． 22.图①是某超市的购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 23.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.B 【解析】∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；∵   ，∴能作为直角三角形的三边长，故B选项符合题意；∵112+122≠152，∴不能组成直角三角形，故C选项不符合题意；   ，   ，7≠5，∴不能组成直角三角形，故D选项不符合题意． 2.C 【解析】A.32+42＝52，本组数是勾股数，不符合题意；B.52+122＝132，本组数是勾股数，不符合题意；C.102+152≠202，本组数不是勾股数，符合题意；D.72+242＝252，本组数不是勾股数，不符合题意，故选：C． 3.A 【解析】∵AB'＝xm，AC'＝AC，∴根据勾股定理得AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，即x2+42＝（x+1）2+32． 4.A 【解析】根据题意可得图形AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC  15（cm），所以18−15＝3（cm），18−12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项A符合题意． 5.C 【解析】一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，如答案图，设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝(10－x)尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋42＝(10－x)2，解得x＝4.2，即折断处离地面的高度为4.2尺． 答案图 6.C 【解析】∵∠B＝90°，∴AB   2   5（m）．故选：C． 7.C 【解析】如答案图，∠ACB=∠EDB=90°，CB=0.7m，AC=2.5m，DE=2m．在Rt△ABC中，AB   2.5（m）．∵AB=BE，∴BE=2.5m，∴BD   1.5（m），∴CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2（m），即小巷的宽度为2.2m．     答案图 8.C　 【解析】由两点之间线段最短可知，蚂蚁的爬行路线有两种：①如答案图①，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝2 (cm)；②如答案图②，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝4 (cm).∵4 ＜2 ，∴蚂蚁爬行的最短路程是4 cm. 答案图 9.A 【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625，解得x＝25．故选：A． 10.C 【解析】补全长方形如答案图，则∠ACB＝90°，AC＝19﹣7＝12（km），BC＝15﹣6＝9（km），∴ km． 答案图 二、填空题 11. 　 【解析】如答案图，过点O作OG⊥AD，垂足为G，连接OE，∵GD=20 m，DE=OD=40 m，∴由勾股定理可得OG=  =20  (m)，GE=GD+DE=60(m)，∴在Rt△GOE中，由勾股定理得OE=  =40  (m)，即小明从点O攀爬到点E的最短路径的长度为40   m. 答案图 12. 【解析】如图是其侧面展开图：AD  （米），AB＝CD＝11（米），DE＝CD﹣CE＝10（米），在Rt△ADE中，102+（  ）2＝AE2，解得AE  （负值舍去），故他滑行的最短距离约为  （米）．故答案为：  ． 13.86 【解析】如答案图，连接BD．由题意，得  ，  ，  ，  ．在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2+AD2＝S1+S4．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2+CD2＝S2+S3．∴S1+S4＝S2+S3．∴S2＝S1+S4﹣S3＝135﹣49＝86． 14.10 【解析】如图，由题意可知，AB＝CD＝20cm，BC＝AD＝EF＝16cm，GF＝36cm，则AE＝DE  AD＝8cm，OE＝（36﹣20﹣R）cm，其中R是球的半径，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝OE2+AE2，即R2＝（16﹣R）2+82，解得R＝10，即球的半径为10cm．故答案为：10． 15. 　 【解析】由题意得，AB＝0.5×40＝20米，∵i＝BC∶AC＝5∶12，设BC＝5x，则AC＝12x，∴在Rt△ABC中，AB＝ ＝13x，∴BC∶AB＝5∶13，∴BC＝ AB＝ 米． 三、解答题 16.解：设AC＝x米，则AB＝（8﹣x）米， 由题意得∠ACB＝90°，BC＝4米， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3，即AC＝3米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 17.解：（1）他的说法正确． 理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，  ． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m）， 即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 18.解：因为OA＝OB，AC＝2cm， 所以OC＝OB﹣2， 在Rt△OBC中，BC＝8，OB2＝OC2+BC2， 所以OB2＝（OB﹣2）2+82， 解得OB＝17cm． 19.解：设绳索AC的长是xm，则AB＝xm， ∵DE＝FC＝3m，BE＝1m， ∴AD＝AB+BE﹣DE＝x+1﹣3＝（x﹣2）m， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴x2＝（x﹣2）2+42， ∴x＝5， ∴AC＝5m． 答：绳索AC的长为5m． 20.解：（1）在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m， 由勾股定理得AC  15（m）， 答：AC的长度为15m； （2）∵AC2+AD2＝152+82＝289，CD2＝172＝289， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD  AB•BC  AD•AC  9×12  8×15＝114（m2）， ∵购买运动塑胶垫的价格为200元/m2， ∴购买运动塑胶垫的费用为114×200＝22800（元）， 答：购买运动塑胶垫的总费用为22800元． 21.解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米， ∴ （米）， ∵OE＝1.5米， ∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米）， 答：作业臂顶端点位A到地面的距离为10.5米； （2）AE＝9米，AC＝3米， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米）， ∵CD＝AB＝15米， ∴ （米）， ∴ （米）． 答：作业机械支点B水平移动的距离为( )米. 22.解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE， 由勾股定理可得，DE  ， ∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形， ∴BC边上的高  ， ∵滚轮半径r＝2， ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8． 23.解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m， ∴AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴  ， 即600×800＝1000CD， 解得CD＝480（m）， 因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480＜500， 所以着火点C受洒水影响； 图① （2）如图②，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C， 在Rt△CDE中，  ， 所以EF＝2ED＝280m． 因为飞机的速度为14m/s， 所以280÷14＝20（s）， 20秒＞15秒， 答：着火点C能被扑灭． 图② （2）如图②，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C， 在Rt△CDE中，  ， 所以EF＝2ED＝280m． 因为飞机的速度为14m/s， 所以280÷14＝20（s）， 20秒＞15秒， 答：着火点C能被扑灭． 图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（      ） A．2，3，4 B. C.11，12，15 D. ， ， 1.B 【解析】∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；∵   ，∴能作为直角三角形的三边长，故B选项符合题意；∵112+122≠152，∴不能组成直角三角形，故C选项不符合题意；   ，   ，7≠5，∴不能组成直角三角形，故D选项不符合题意． 2.下列各组数中，不是勾股数的是（      ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 2.C 【解析】A.32+42＝52，本组数是勾股数，不符合题意；B.52+122＝132，本组数是勾股数，不符合题意；C.102+152≠202，本组数不是勾股数，符合题意；D.72+242＝252，本组数不是勾股数，不符合题意，故选：C． 3.如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（      ） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2−32 C．（x−1）2+42＝x2+32 D．（x−1）2+32＝x2+42 3.A 【解析】∵AB'＝xm，AC'＝AC，∴根据勾股定理得AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，即x2+42＝（x+1）2+32． 4.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（      ） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 4.A 【解析】根据题意可得图形AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC  15（cm），所以18−15＝3（cm），18−12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项A符合题意． 5.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（          ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 5.C 【解析】一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，如答案图，设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝(10－x)尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋42＝(10－x)2，解得x＝4.2，即折断处离地面的高度为4.2尺． 答案图 6.如图，要从电线杆离地面5m的点C处向地面拉一条7m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为（结果精确到1m）（      ） A．3m B．4m C．5m D．6m 6.C 【解析】∵∠B＝90°，∴AB   2   5（m）．故选：C． 7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m．则小巷的宽度为（      ） A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m 7.C 【解析】如答案图，∠ACB=∠EDB=90°，CB=0.7m，AC=2.5m，DE=2m．在Rt△ABC中，AB   2.5（m）．∵AB=BE，∴BE=2.5m，∴BD   1.5（m），∴CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2（m），即小巷的宽度为2.2m．     答案图 8.如图是一个长方体木盒，其长，宽，高分别为2cm，2cm，4cm，一只蚂蚁从盒底的点A处，沿木盒的表面爬到盒顶的点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　) A．8cm B.2 cm C.4 cm D.2 cm 8.C　 【解析】由两点之间线段最短可知，蚂蚁的爬行路线有两种：①如答案图①，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝2 (cm)；②如答案图②，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝4 (cm).∵4 ＜2 ，∴蚂蚁爬行的最短路程是4 cm. 答案图 9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B处的最短路程为（      ） A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm 9.A 【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（3+2）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（3+2）×3]2＝625，解得x＝25．故选：A． 10.某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道AB的长度为（      ） A．12km B．13km C．15km D．16km 10.C 【解析】补全长方形如答案图，则∠ACB＝90°，AC＝19﹣7＝12（km），BC＝15﹣6＝9（km），∴ km． 答案图 二、填空题 11.周末小明去户外参加攀岩活动 ,如图 ,攀岩墙近似为一个长方体的两个侧面 ,小明已经攀爬到 O 点 ,已知点 O 到 CD 的距离为 20 m ,DE = OD = 40 m ,则小明从点 O 攀爬到点 E 的最短路径的长度为_______m. 11. 　 【解析】如答案图，过点O作OG⊥AD，垂足为G，连接OE，∵GD=20 m，DE=OD=40 m，∴由勾股定理可得OG=  =20  (m)，GE=GD+DE=60(m)，∴在Rt△GOE中，由勾股定理得OE=  =40  (m)，即小明从点O攀爬到点E的最短路径的长度为40   m. 答案图 12.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为  米的半圆，其边缘AB＝CD＝11米，点E在CD上，CE＝1米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是________米． 12. 【解析】如图是其侧面展开图：AD  （米），AB＝CD＝11（米），DE＝CD﹣CE＝10（米），在Rt△ADE中，102+（  ）2＝AE2，解得AE  （负值舍去），故他滑行的最短距离约为  （米）．故答案为：  ． 13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝____________． 13.86 【解析】如答案图，连接BD．由题意，得  ，  ，  ，  ．在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2+AD2＝S1+S4．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2+CD2＝S2+S3．∴S1+S4＝S2+S3．∴S2＝S1+S4﹣S3＝135﹣49＝86． 14.如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝16cm，球的最高点到地面的距离为36cm，则球的半径为____________cm．（玻璃瓶厚度忽略不计） 14.10 【解析】如图，由题意可知，AB＝CD＝20cm，BC＝AD＝EF＝16cm，GF＝36cm，则AE＝DE  AD＝8cm，OE＝（36﹣20﹣R）cm，其中R是球的半径，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝OE2+AE2，即R2＝（16﹣R）2+82，解得R＝10，即球的半径为10cm．故答案为：10． 15.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比). 王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为____________米.  15. 　 【解析】由题意得，AB＝0.5×40＝20米，∵i＝BC∶AC＝5∶12，设BC＝5x，则AC＝12x，∴在Rt△ABC中，AB＝ ＝13x，∴BC∶AB＝5∶13，∴BC＝ AB＝ 米． 三、解答题 16.2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断．折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 16.解：设AC＝x米，则AB＝（8﹣x）米， 由题意得∠ACB＝90°，BC＝4米， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3，即AC＝3米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 17.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 17.解：（1）他的说法正确． 理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，  ． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m）， 即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 18.小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，（图中的A、B、O、C在同一平面上），测得AC＝2cm，BC＝8cm．求OB的长． 18.解：因为OA＝OB，AC＝2cm， 所以OC＝OB﹣2， 在Rt△OBC中，BC＝8，OB2＝OC2+BC2， 所以OB2＝（OB﹣2）2+82， 解得OB＝17cm． 19.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m），踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 19.解：设绳索AC的长是xm，则AB＝xm， ∵DE＝FC＝3m，BE＝1m， ∴AD＝AB+BE﹣DE＝x+1﹣3＝（x﹣2）m， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴x2＝（x﹣2）2+42， ∴x＝5， ∴AC＝5m． 答：绳索AC的长为5m． 20.2026年各地推进城市微更新，盘活社区闲置“边角料”空间打造口袋公园成为民生热点. 为提升居民幸福感，某社区计划将一块闲置四边形空地ABCD改造为便民健身区，全部铺设防滑耐磨的运动塑胶垫，适配老人、儿童等群体的健身需求，打造“家门口的健身驿站”.经专业人员测量，该四边形空地中，∠B=90°，AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m. （1）连接AC，求AC的长度； （2）已知运动塑胶垫的购买价格为200元/m2，求铺设这块四边形健身区所需塑胶垫的总费用. 20.解：（1）在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m， 由勾股定理得AC  15（m）， 答：AC的长度为15m； （2）∵AC2+AD2＝152+82＝289，CD2＝172＝289， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD  AB•BC  AD•AC  9×12  8×15＝114（m2）， ∵购买运动塑胶垫的价格为200元/m2， ∴购买运动塑胶垫的费用为114×200＝22800（元）， 答：购买运动塑胶垫的总费用为22800元． 21.城市文旅亮化升级工程中，工作人员使用智能高空作业机械开展楼宇夜景灯饰安装调试.机械伸缩作业臂总长AB＝15米，作业机械支点B点与楼宇外立面水平间距BE＝12米，作业支点B离地面OP的高度为1.5米．楼宇外立面AO与水平地面OP垂直. （1）求作业臂顶端点位A到地面的距离（AO的长度）； （2）首轮调试完毕后，作业机械沿射线OP方向前移，作业臂顶端由点A竖直下降至墙面点位C，已知顶端竖直下降距离AC长为3米，求作业机械支点B水平移动的距离（BD的长度）． 21.解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米， ∴ （米）， ∵OE＝1.5米， ∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米）， 答：作业臂顶端点位A到地面的距离为10.5米； （2）AE＝9米，AC＝3米， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米）， ∵CD＝AB＝15米， ∴ （米）， ∴ （米）． 答：作业机械支点B水平移动的距离为( )米. 22.图①是某超市的购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 22.解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE， 由勾股定理可得，DE  ， ∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形， ∴BC边上的高  ， ∵滚轮半径r＝2， ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8． 23.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 23.解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m， ∴AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴  ， 即600×800＝1000CD， 解得CD＝480（m）， 因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480＜500， 所以着火点C受洒水影响； 图① （2）如图②，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C， 在Rt△CDE中，  ， 所以EF＝2ED＝280m． 因为飞机的速度为14m/s， 所以280÷14＝20（s）， 20秒＞15秒， 答：着火点C能被扑灭． 图② （2）如图②，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C， 在Rt△CDE中，  ， 所以EF＝2ED＝280m． 因为飞机的速度为14m/s， 所以280÷14＝20（s）， 20秒＞15秒， 答：着火点C能被扑灭． 图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $