21.2 平行四边形暑期巩固2025-2026学年人教版八年级数学下册

### 基本信息 聚焦平行四边形性质与判定，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶练习，实现从单一知识点到动态问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行四边形边、角、对角线基本性质|选择填空直接应用性质求边长、角度，如用对边相等求周长| |综合应用|性质与全等、勾股定理结合|折叠问题（如沿对角线折叠求角度）、尺规作图（作角平分线证平行四边形）| |拓展提升|实际情境与动态问题|动点问题（如P、Q运动构成平行四边形）、最值问题（如平行四边形面积最大值）|

人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 暑期巩固 用平行四边形性质求边长或周长 1、如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A.6    B.8 C.10    D.12 2、如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AE⊥BC．若AB＝13，AD＝18，则AE的长为（　　） A.9    B.10 C.11    D.12 3、如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 4、[问题提出] 如图，在等边中，点D是线段上一点，连接 （1）如图①，，则的长度为______； （2）如图②，点D在线段上．若点E为延长线上一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由； [问题解决] （3）如图③是某市一个平行四边形的休闲花园，园艺师要在花园的边上分别设置景观E，F，且景观E到点D的距离和景观F到点D的距离相等（即），为方便观赏，要在景观E，景观F和花园出入口B之间分别修一条小路，，为了更好的观景角度，设计师要求，测量得千米，千米，为方便后续布置装饰灯带等设施，请求出景观E与景观F之间的距离长度． 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，AD＝8cm，BD＝12cm，求BC，AC的长． 用平行四边形性质求面积 1、如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　） A.甲说的对    B.乙说的对    C.甲、乙说的都对    D.甲、乙说的都不对 2、如图，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 3、如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ） A.的面积      B.的面积 C.的面积      D.的面积 4、如图，在ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则ABCD的面积为 　     　． 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 用平行四边形性质求角度 1、如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 2、如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 3、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______. 4、如图，在▱ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 5、如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 6、如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数． 用平行四边形性质证明 1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2、如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（ ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上． A.只有嘉嘉    B.只有淇淇    C.两人都正确    D.两人都不正确 3、（1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 4、平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过     变换可使它们互相重合． 5、[初步探究] （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． [灵活应用] （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 用平行四边形性质求点的坐标 1、如图，O为原点，ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5）    B.（4，5） C.（5，4）    D.（4，4） 2、平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝3，则点B的坐标为（　　） A.（3，3）    B.（3，3） C.（3+3，3）    D.（3，3+3） 3、在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），A（﹣4，0），则顶点C的坐标是 　      　． 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________． 用平行四边形性质解决折叠问题 1、如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 2、如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 3、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝__________. 4、如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________． 平行四边形性质与尺规作图综合 1、如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH 2、如图，已知□ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图： ①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G； ③作射线DG，交边AB于点H， 则点H的坐标为（　　） A.    B.（﹣3，3） C.（3，3）    D. 3、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点F，交CD于点Q，分别以点F，Q为圆心，大于 的长为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为 　     　． 4、如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 5、学习了平行四边形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，平行四边形一组对角的平分线与另一组对角的对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，的平分线交对角线于点．用尺规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，是的对角线，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，，，  ① ． ，的平分线分别交对角线于点，， ，，  ② ． 在和中， ，  ③ ， ． 进一步思考，如果过平行四边形一组对角的顶点向另一组对角的对角线作的是垂线呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： ④ ． 求平行线间的距离 1、点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（ ） A.大于      B.小于      C.等于    D.不能确定 2、如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段的长      B.线段的长       C.线段的长      D.线段的长 3、如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是    ． 4、如图，，平分，平分，． (1)与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 5、如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝70°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 平行线间距离的应用 1、如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（ ） A.      B.      C.    D.无数个 2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 3、如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是      ． 4、如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是    ． 5、[阅读材料] 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． [解决问题] (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 在网格中画平行四边形 1、已知：A(－2,1)，B(－3，－1)，C(0，－1)．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________个． 2、已知直角坐标系内有四个点O(0,0)，A(3,0)，B(1,1)，C(x,1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__________. 3、图①、图②分别是的正方形网格，风格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个图形，分别满足下列要求． (1)在图①中画一个以线段为一边且周长为的平行四边形，点、必须在小正方形的顶点上； (2)在图②中画一个以线段为一边的钝角等腰三角形，点必须在小正方形的顶点上． 4、已知实数a，b满足 （1）请在数轴上画处a，b所有可能的位置，每种情况画一个图； （2）网格图中，小正方形的顶点叫格点，顶点都在格点上的图形叫格点图形：如图的网格中，小正方形的边长都为1，若，□ABCD是格点四边形，其边长AB=a，AD=2a，对角线AC=，请在网格中画出□ABCD； （3）在□ABCD内有一点O，经过点O的直线将□ABCD的面积平分，请画出点O． 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ） A.①    B.②    C.③    D.④ 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是(　　) A.AB＝CD B.∠BAD＝∠DCB C.AC＝BD D.∠ABC＋∠BAD＝180° 3、如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（ ） A.只有甲、乙才对    B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对    D.甲、乙、丙都对 4、四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　    　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 5、如图，木棒平行于木棒，当木棒      木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形． 6、图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请在图①中，在的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形且面积为10； (2)请在图②中，在格点处确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且其周长为16；设此平行四边形对角线的交点为O，请直接写出的长． 平行四边形的判定 1、已知四边形ABCD，有以下四个条件： (1)AB＝AD，AB＝BC；(2)∠A＝∠B，∠C＝∠D；(3)AB∥CD，AB＝CD；(4)AB∥CD，AD∥BC.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(　　) A.1∶2∶3∶4 B.1∶4∶2∶3 C.1∶2∶2∶1 D.1∶2∶1∶2 3、如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是____________________________________． 4、我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 利用性质与判定求解 1、如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是(　　) A.100° B.110° C.120° D.125° 3、如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　） A.3    B.4 C.5    D.6 4、如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 5、四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB∥CD，且AB＝CD，S△AOB＝5，则四边形ABCD的面积为 　     　． 6、探究活动：等积变形 [问题情境]如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． [问题探究]在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） [问题拓展]如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 利用性质与判定证明 1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH 交于点P，则图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　) A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD 3、如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ） A.mn      B.      C.      D. 4、如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，若要使四边形AECF是平行四边形．则可以添加一个条件是：________________. 5、综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 性质和判定与尺规作图的综合 1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连接DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65°    B.60° C.50°    D.40° 2、如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　） A.10    B.      C.      D. 3、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D、E；再分别以点 D、点E为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线，交于点P，则点P的坐标为      ． 4、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连接DE．若∠BED＝55°，则∠DBC的度数为 　     　． 5、在中，，线段是的高，能否在外部找到一个角等于的一半？小智分别以点C、点D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，请你证明这种做法的正确性． 6、如图，已知平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：在的延长线上取点E，使，连接交于点F，作的平分线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在第（1）问所作的图形中，求证：四边形为平行四边形． 证明：平分， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ___①___． ． ，， ，即___②___． ， ___③___． ，， ___④___， ． ，， ___⑤___． ，， 四边形为平行四边形． 性质与判定的实际应用 1、在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB·BC＝5，则四边形ABCD的面积是(　　) A.2.5 B.5 C.3.5 D. 3、如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为      ． 4、在的正方形网格中，网格线的交点叫做格点，其中点，，均为格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列作图． (1)画出格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)画的角平分线； (3)画▱． 5、如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷，垂足为A，且，这样能使雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿，请证明这一结论． 用性质和判定解决最值问题 1、如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为                 ． 2、如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为      ． 3、（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 4、（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积． 用性质和判定解决动点问题 1、如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD 边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(　　) A.4 s B.3 s C.2 s D.1 s 3、如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是  秒． 4、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm．点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．设运动时间为t（t＞0）秒．当运动 　     　秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q. (1)试说明△PCM≌△QDM. (2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由． 用三角形中位线求解 1、如图，，为垂足，的中线的延长线交于点，．若，，则的长为（ ） A.8    B.      C.      D. 2、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A.1    B.2 C.1.5    D.2.5 3、如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　） A.    B. C.5    D.4 4、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长________． 5、如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n此操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________． 6、在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 用三角形中位线证明 1、如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（ ） A.①②③④    B.①②④    C.②③④    D.①③④ 2、数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法． 已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且． 嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 3、如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有          ．（填写所有正确结论的序号） 4、综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 三角形中位线的实际应用 1、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　) A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m 2、如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是25米，则池塘的宽为（　　）． A.30米    B.40米 C.50米    D.60米 3、如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝5cm，则该工件内槽宽AB的长为（　　） A.8cm    B.9cm C.10cm    D.11cm 4、如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 　    　m． 5、[问题情境]如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） [解决问题]如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 6、如图1，和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针得到，连接，． (1)连接，求证：； (2)将图1中的绕点A顺时针旋转，如图2，当，且时，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，取，的中点M，N，若，，将绕点A顺时针旋转α，当，线段取最小值时，直接写出线段的长度． 人教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形 暑期巩固（参考答案） 用平行四边形性质求边长或周长 1、如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A.6    B.8 C.10    D.12 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF， ∵E是ABCD的边CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝EF＝3， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAF＝90°， 在△ADE中，AD＝BC＝5， ∴DE＝＝＝4， ∴CD＝2DE＝8． 2、如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AE⊥BC．若AB＝13，AD＝18，则AE的长为（　　） A.9    B.10 C.11    D.12 【答案】D 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝18，CD＝AB＝13，AD∥BC， ∴∠CED＝∠ADE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD＝13， ∴BE＝BC﹣CE＝18﹣13＝5， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴AE＝＝＝12． 3、如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【答案】 8 【解析】 解：连接EF，AE与BF交于点O， 如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB，而BO⊥AE， ∴AO＝OE， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8. 4、[问题提出] 如图，在等边中，点D是线段上一点，连接 （1）如图①，，则的长度为______； （2）如图②，点D在线段上．若点E为延长线上一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由； [问题解决] （3）如图③是某市一个平行四边形的休闲花园，园艺师要在花园的边上分别设置景观E，F，且景观E到点D的距离和景观F到点D的距离相等（即），为方便观赏，要在景观E，景观F和花园出入口B之间分别修一条小路，，为了更好的观景角度，设计师要求，测量得千米，千米，为方便后续布置装饰灯带等设施，请求出景观E与景观F之间的距离长度． 【答案】 解：（1）过B作于E，如图： ， ∴， ， 为等边三角形， ，， ，， ； 故答案为：； （2），理由如下： 在上截取，在上截取，如图： ，， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 为直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即 ， ∵， ∴； （3）将逆时针旋转得到，连接，过E作于H，过G作于M，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， 在 ，， ∴， ， ∴（千米）， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ，， ， （千米）． 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，AD＝8cm，BD＝12cm，求BC，AC的长． 【答案】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝6cm， ∵BD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， ∴OA＝＝10cm， ∴AC＝2OA＝20cm. 用平行四边形性质求面积 1、如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　） A.甲说的对    B.乙说的对    C.甲、乙说的都对    D.甲、乙说的都不对 【答案】C 【解析】 解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C. 2、如图，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】A 【解析】 解：∵▱ABCD中，AC.BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2， ∴S▱ABCD＝3×2＝6，AD∥BC， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴S△AOE＝S△COF， 同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH， ∴S阴影＝S△ABD＝S▱ABCD＝×6＝3. 故选A. 3、如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（ ） A.的面积      B.的面积 C.的面积      D.的面积 【答案】B 【解析】 解：连接，过点作交于点，过点作交于点， 由题意可知，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴上的点到上的点距离相同， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 4、如图，在ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则ABCD的面积为 　     　． 【答案】 32 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE， ∴AB＝AE＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴CE＝， ∴ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32. 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD； (2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4. 用平行四边形性质求角度 1、如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 【答案】B 【解析】 解：∵CE⊥AB，∠BCE＝42°， ∴∠B＝48°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝48°. 故选B. 2、如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－∠B＝15°. 故选B. 3、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______. 【答案】 70° 【解析】 解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°， ∴∠BCD＝∠A＝110°， ∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°. 4、如图，在▱ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 【答案】 23° 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝67°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝67°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝90°－67°＝23°. 5、如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 【答案】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 6、如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数． 【答案】 解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°， ∴∠BAD＝50°. ∴在平行四边形ABCD中， ∠C＝∠BAD＝50°， ∠B＝180°－∠C＝130°. 用平行四边形性质证明 1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，△BCD的面积＝△ABD的面积， ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴CF∥AE，△BCD的面积＝BD·CF，△ABD的面积＝BD·AE，∴CF＝AE，①正确； ∴四边形CFAE是平行四边形，∴EO＝FO，故②正确； ∵OB＝OD，∴DE＝BF，③正确； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．故④错误．故正确的有3个． 故选B. 2、如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（ ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上． A.只有嘉嘉    B.只有淇淇    C.两人都正确    D.两人都不正确 【答案】C 【解析】 过点O作的垂线，分别交，于， 四边形是平行四边形 同理 ，故嘉嘉说法正确； ∵， ∴， 此时， 即P点一定在对角线上．故淇淇正确． 故选C． 3、（1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 【答案】 （1）①相等；②相等；③互相平分；（2）见解析（答案不唯一） 【解析】 （1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：①相等；②相等；③互相平分； （2）若选择性质1： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质1． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 若选择性质2： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质2． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 同理可证：． 4、平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过     变换可使它们互相重合． 【答案】 旋转 【解析】 平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 5、[初步探究] （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． [灵活应用] （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 【答案】 解：（1）∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2； （2）如图，在上取点H，使， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 用平行四边形性质求点的坐标 1、如图，O为原点，ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5）    B.（4，5） C.（5，4）    D.（4，4） 【答案】C 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1）， ∴BC＝0﹣（﹣5）＝5， ∴AD＝5， ∵A（0，4）， ∴点D的坐标为（5，4）. 2、平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝3，则点B的坐标为（　　） A.（3，3）    B.（3，3） C.（3+3，3）    D.（3，3+3） 【答案】C 【解析】 解：过B作BF⊥OA，交x轴于点F， ∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC＝3， ∴AB∥OC，AB＝OC＝3，∠BAF＝∠COA＝45°， ∵BF⊥OA， ∴∠BFA＝90°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF＝AB＝3， ∴OF＝OA+AF＝3+3， ∴点B的坐标是（3+3，3）. 3、在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），A（﹣4，0），则顶点C的坐标是 　      　． 【答案】 （2，2） 【解析】 解：∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵A（﹣4，0）， ∴BC＝OA＝4， ∴C（﹣2+4，2），即C（2，2）. 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________． 【答案】 (7,3) 【解析】 解：因CD∥AB， 所以C点纵坐标与D点相同，为3. 又因AB＝CD＝5， 故可得C点横坐标为7.故答案为(7,3)． 用平行四边形性质解决折叠问题 1、如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 【答案】C 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°； 故选C. 2、如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B ． 3、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝__________. 【答案】 55° 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质，得∠D1AE＝∠C， ∴∠D1AE＝∠BAD， ∴∠D1AD＝∠BAE＝55°. 4、如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________． 【答案】 36° 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得∠D′＝∠D＝52°， ∠EAD′＝∠DAE＝20°， ∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°， ∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°， ∴∠FED′＝108°－72°＝36°. 平行四边形性质与尺规作图综合 1、如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH 【答案】D 【解析】 根据作图的方法可得AG平分∠DAB， ∵AG平分∠DAB， ∴∠DAH＝∠BAH， ∵CD∥AB， ∴∠DHA＝∠BAH， ∴∠DAH＝∠DHA， ∴AD＝DH， ∴BC＝DH，故选D. 2、如图，已知□ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图： ①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G； ③作射线DG，交边AB于点H， 则点H的坐标为（　　） A.    B.（﹣3，3） C.（3，3）    D. 【答案】A 【解析】 解：∵A（0，3），D（﹣1，0）， ∴OA＝3，OD＝1， ∵∠AOD＝90°， ∴AD＝＝＝， ∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上， ∴AB∥x轴， 由作图得DH平分∠ADC， ∴∠ADH＝∠CDH， ∵AB∥CD， ∴∠AHD＝∠CDH， ∴∠ADH＝∠AHD， ∴AH＝AD＝， ∵AH∥x轴， ∴H（，3）. 3、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点F，交CD于点Q，分别以点F，Q为圆心，大于 的长为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长为 　     　． 【答案】 4 【解析】 解：由作图可知，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝5， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3， ∵AE⊥BE， ∴AE＝＝＝4， 4、如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 【答案】 解：解：如图，平行四边形ABCD即为所求． 5、学习了平行四边形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，平行四边形一组对角的平分线与另一组对角的对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，的平分线交对角线于点．用尺规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，是的对角线，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，，，  ① ． ，的平分线分别交对角线于点，， ，，  ② ． 在和中， ，  ③ ， ． 进一步思考，如果过平行四边形一组对角的顶点向另一组对角的对角线作的是垂线呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： ④ ． 【答案】 （1）解：作图如答图； （2）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． ，的平分线分别交对角线于点，， ，， ． 在和中， ， ， ． 结论：过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等 故答案为：①；②；③；④过平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等． 求平行线间的距离 1、点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（ ） A.大于      B.小于      C.等于    D.不能确定 【答案】C 【解析】 解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 2、如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段的长      B.线段的长       C.线段的长      D.线段的长 【答案】B 【解析】 解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 3、如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是    ． 【答案】 5 【解析】 解：如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 4、如图，，平分，平分，． (1)与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】 解：（1），理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 5、如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝70°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 【答案】 解：（1）∵a∥b，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝20°． （2）如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AC⊥AB，AC＝5，AB＝12，BC＝13， ∴， 即， 解得， 即直线a与b的距离为． 平行线间距离的应用 1、如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（ ） A.      B.      C.    D.无数个 【答案】C 【解析】 解：如图： ∵到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上， 到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线a3、a4上， ∴符合条件的点是P1、P2、P3、P4，一共4个． 故选：C． 2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】A 【解析】 解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD＝10cm2， ∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等， ∴S△ACD＝10cm2， 故选A. 3、如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是      ． 【答案】 4 【解析】 解：∵AD∥BC， ∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等. ∴S△CBE=S△ABC=5， ∵S△EOC=1， ∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4， 故答案为：4． 4、如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是    ． 【答案】 3 【解析】 解：∵， ∴与高相等， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 5、[阅读材料] 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． [解决问题] (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 【答案】 （1）解：补全证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 假设，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上． ∵， ∴点Q与点F不重合． 由，得，而，同时，这与基本事实“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以假设不正确，于是． 故答案为：，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”． （2）证明：过点E作于点P，过点G作于点Q． 由（1）可知，． ∵， ∴． ∵．， ∴． （3）解：①如图1，取的中点D，连接，则直线即为所求． ②如图2，取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求． 根据（2）同理可得∵，， 根据平行线间距离相等得出， ∴， 根据中线可得， ∴． ∴． 在网格中画平行四边形 1、已知：A(－2,1)，B(－3，－1)，C(0，－1)．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________个． 【答案】 3 【解析】 解：如图，D点共有3个. 2、已知直角坐标系内有四个点O(0,0)，A(3,0)，B(1,1)，C(x,1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__________. 【答案】 4或－2 【解析】 解：根据题意画图如下： 以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C(4,1)或(－2,1)，则x＝4或－2. 3、图①、图②分别是的正方形网格，风格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个图形，分别满足下列要求． (1)在图①中画一个以线段为一边且周长为的平行四边形，点、必须在小正方形的顶点上； (2)在图②中画一个以线段为一边的钝角等腰三角形，点必须在小正方形的顶点上． 【答案】 解：（1）如图①，平行四边形即为所求． ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形的周长为：． （2）如图②，即为所求． ∵ ∴是钝角等腰三角形 4、已知实数a，b满足 （1）请在数轴上画处a，b所有可能的位置，每种情况画一个图； （2）网格图中，小正方形的顶点叫格点，顶点都在格点上的图形叫格点图形：如图的网格中，小正方形的边长都为1，若，□ABCD是格点四边形，其边长AB=a，AD=2a，对角线AC=，请在网格中画出□ABCD； （3）在□ABCD内有一点O，经过点O的直线将□ABCD的面积平分，请画出点O． 【答案】 解：（1）b＞0时，b=a，如图， b=0时，b=a=0，如图， b＜0时，a，b互为相反数，如图， （2）∵a=， ∴AB=a=，AD=2a=，AC=a=5； （3）▱ABCD为中心对称图形，经过对角线交点的直线把▱ABCD面积平分，如图，点O即为所求． 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（ ） A.①    B.②    C.③    D.④ 【答案】D 【解析】 如图，根据题意，判断AB∥CD，只需AB=CD就可以判断四边形ABCD是平行四边形， ∵CD=9, ∴AB=9， ∴D正确，其余都是错误的， 故选D． 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是(　　) A.AB＝CD B.∠BAD＝∠DCB C.AC＝BD D.∠ABC＋∠BAD＝180° 【答案】B 【解析】 解：A.错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件． B.正确．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠DCB，∴∠DCB＋∠ABC＝180°，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． C.错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件． D.错误．∵∠ABC＋∠BAD＝180°，∴AD∥BC，与题目条件，重复，无法判断，四边形是不是平行四边形． 故选B. 3、如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（ ） A.只有甲、乙才对    B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对    D.甲、乙、丙都对 【答案】B 【解析】 解： ， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 4、四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　    　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】 A 【解析】 解：添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 5、如图，木棒平行于木棒，当木棒      木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形． 【答案】 平行 【解析】 解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴当木棒平行木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形， 故答案为：平行． 6、图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请在图①中，在的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形且面积为10； (2)请在图②中，在格点处确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且其周长为16；设此平行四边形对角线的交点为O，请直接写出的长． 【答案】 （1）解：如图①所示： 为等腰三角形，且面积为10； （2）如图②所示： 四边形是平行四边形，且周长为16，． 平行四边形的判定 1、已知四边形ABCD，有以下四个条件： (1)AB＝AD，AB＝BC；(2)∠A＝∠B，∠C＝∠D；(3)AB∥CD，AB＝CD；(4)AB∥CD，AD∥BC.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】 解：根据平行四边形的判定定理知，(1)，(2)不符合是平行四边形的条件；(3)(4)满足四边形是平行四边形．故选B. 2、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为(　　) A.1∶2∶3∶4 B.1∶4∶2∶3 C.1∶2∶2∶1 D.1∶2∶1∶2 【答案】D 【解析】 解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选D. 3、如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是____________________________________． 【答案】 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形， 4、我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】 (1)一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） (2)证明见解析； (3)选择①或③或④之一，证明见解析 【解析】 （1）解：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） （2）证明：延长、并截取，． ，即． 四边形是平行四边形． ，． ， ，． ． ． ． ． 四边形是平行四边形． （3）解：选择①或③或④之一 法：①， 分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、． ，． ，． ， ． ． ， ，即． 即． ． ． 又， ． ． 又， ．即． 又 四边形是平行四边形 法：③， 分别在、上截取、． ，． ，． ， ． ． ， ． ， ，即． 即． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 法：④，方法同③ 利用性质与判定求解 1、如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：过G作交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B符合题意； 当F向上运动时，变小，反之变大，故A不符合题意； 当D向上运动时，变小，反之变大，故C不符合题意； 当D向上运动，F向下运动时，变大，反之变小，故D不符合题意． 故选：B． 2、如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是(　　) A.100° B.110° C.120° D.125° 【答案】C 【解析】 解：∵AD＝CB，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＋∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝120°，故选C. 3、如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　） A.3    B.4 C.5    D.6 【答案】A 【解析】 解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5， ∵BE＝8， ∴CE＝BE﹣BC＝3， 故选：A． 4、如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 【答案】 2 【解析】 解：如题图，在▱ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.∵点E在CD的延长线上，∴AB∥ED.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∴AB＝ED＝DC＝EC＝2. 5、四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB∥CD，且AB＝CD，S△AOB＝5，则四边形ABCD的面积为 　     　． 【答案】 20. 【解析】 解：∵AB∥CD，且AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOD＝S△COD＝S△BOC＝S△AOB＝5， ∴四边形ABCD的面积＝4×5＝20， 故答案为：20． 6、探究活动：等积变形 [问题情境]如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． [问题探究]在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） [问题拓展]如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】 解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 利用性质与判定证明 1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH 交于点P，则图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥BC， ∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴平行四边形有：四边形DEPG、四边形AEPH、四边形PGCF、四边形HPFB、四边形DEFC、四边形DGHA、四边形GHBC、四边形EFBA、四边形ABCD， ∴图中除原来的平行四边形ABCD外，平行四边形的个数是8个；故选B. 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　) A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD 【答案】C 【解析】 解：∵DF∥AC，CE∥AB， ∴四边形AFEC为平行四边形， ∴AC＝EF， ∵AB＝AC，∴EF＝AB， ∵CE∥AB， ∴∠B＝∠BCE， ∵DF∥AC， ∴∠ACB＝∠FDB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠FDB＝∠BCE， ∵∠FDB＝∠CDE， ∴∠BCE＝∠CDE， ∴ED＝EC，∵EF＝DE＋DF， ∴AB＝EC＋DF，故选C. 3、如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ） A.mn      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 4、如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，若要使四边形AECF是平行四边形．则可以添加一个条件是：________________. 【答案】 B 【解析】 解：可添加条件：BE＝DF.证明：∵▱ABCD，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，同理可证：△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为BE＝DF. 5、综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 【答案】 （1）解：如图，即为所求作角， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，． ∴， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 性质和判定与尺规作图的综合 1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连接DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65°    B.60° C.50°    D.40° 【答案】C 【解析】 解：由题意得，BE＝AD， ∵AD∥BC，即AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠BED＝∠A＝50°， 故选：C． 2、如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（　　） A.10    B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示： 由题意可知：AB＝AF，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BF，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠EAF＝∠AEB， ∵∠BAE＝∠EAF， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE ∴BE＝AF， ∵， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴OA＝OE， 在Rt△AOB中， ∴，故C正确． 故选：C． 3、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D、E；再分别以点 D、点E为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线，交于点P，则点P的坐标为      ． 【答案】 【解析】 解：如图，延长交轴于，则轴， ， ， ， ， ，， 由题意得：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 4、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连接DE．若∠BED＝55°，则∠DBC的度数为 　     　． 【答案】 55°． 【解析】 解：∵AD∥BE，AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE， ∵AB＝BD， ∴BD＝DE， ∴∠DEB＝∠DBC＝55°， 故答案为：55°． 5、在中，，线段是的高，能否在外部找到一个角等于的一半？小智分别以点C、点D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，请你证明这种做法的正确性． 【答案】 证明：由作图可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵线段是的高， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6、如图，已知平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：在的延长线上取点E，使，连接交于点F，作的平分线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在第（1）问所作的图形中，求证：四边形为平行四边形． 证明：平分， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ___①___． ． ，， ，即___②___． ， ___③___． ，， ___④___， ． ，， ___⑤___． ，， 四边形为平行四边形． 【答案】 （1）解：如图， （2）证明：平分， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ． ． ，， ，即 ． ， ． ，， ， ． ，， ． ，， 四边形为平行四边形． 性质与判定的实际应用 1、在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 2、如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB·BC＝5，则四边形ABCD的面积是(　　) A.2.5 B.5 C.3.5 D. 【答案】D 【解析】 解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC， 则四边形ABCD是平行四边形． 如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F， ∴AE＝1，AF＝2， ∴BC·AE＝AB·AF，即BC＝2AB.又AB·BC＝5， ∴AB＝， ∴四边形ABCD的面积是AB·AF＝2AB＝. 故选D. 3、如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为      ． 【答案】 【解析】 解： ，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 4、在的正方形网格中，网格线的交点叫做格点，其中点，，均为格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列作图． (1)画出格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)画的角平分线； (3)画▱． 【答案】 （1）从A平移到B的平移方式是向左1格再向下3格 ∴D向左1格再向下3格即可得到C点，此时四边形即为所求，如图所示： （2）DC延长线上找一点P使BD=PD，再取BP中点J，根据等腰三角形三线合一可得DJ平分∠BDC，则DJ于BC交点即为E．如图，线段即为所求； （3）把BC平移使C与P重合，B对应点为Q，DJ平移使D与C重合，J对应点是T，CT与PQ交于点R ∴（ASA） ∴RP=CE ∴四边形RPCE是平行四边形 ∴RE∥PD ∴延长RE交AD于F，此时平行四边形即为所求，如图所示． 5、如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷，垂足为A，且，这样能使雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿，请证明这一结论． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿． 用性质和判定解决最值问题 1、如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为                 ． 【答案】 【解析】 解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 2、如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为      ． 【答案】 【解析】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3、（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 【答案】 解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处， ∴，∴， 故答案为：14； （2）如图，平移至，连接、， 由平移的性质可得，，， 四边形是平行四边形， ，， 又 ， ， ， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 平移至，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为． 4、（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积． 【答案】 解：（1）连接，，如图， 点是等边的内心， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 四边形的周长， ， 当时，最小，四边形周长最小，此时， 四边形的周长的最小值； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图， 则，． 两点之间线段最短， ， 周长， 周长的最小值是， 、关于对称，、关于对称， ，，，，， ． ， ， ， 过点作， ，， ． 即、、和的最小值为， 此时， 的面积为， 当的面积最小时，四边形的面积最大， 在中，，上的高（定角定高模型）， 当时，的面积最小，且最小值为， 四边形的面积最大值， 当，时，，得四边形为平行四边形， 此时平行四边形的面积四边形的面积． 用性质和判定解决动点问题 1、如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD 边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝12，AD∥BC， ∵四边形PDQB是平行四边形， ∴PD＝BQ， ∵P的速度是1 cm/秒， ∴两点运动的时间为12÷1＝12 s， ∴Q运动的路程为12×4＝48cm， ∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次． 第一次PD＝QB时，12－t＝12－4t，解得t＝0，不合题意，舍去； 第二次PD＝QB时，Q从B到C的过程中，12－t＝4t－12，解得t＝4.8； 第三次PD＝QB时，Q运动一个来回后从C到B,12－t＝36－4t，解得t＝8； 第四次PD＝QB时，Q在BC上运动3次后从B到C,12－t＝4t－36，解得t＝9.6. ∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次， 故选B. 2、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(　　) A.4 s B.3 s C.2 s D.1 s 【答案】B 【解析】 解：设运动时间为t秒，则CP＝12－3t，BQ＝t，根据题意得到12－3t＝t，解得t＝3，故选B. 3、如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是  秒． 【答案】 或 【解析】 解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 4、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm．点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．设运动时间为t（t＞0）秒．当运动 　     　秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】 4或或8 【解析】 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当0≤t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝4t cm，BQ＝（10﹣4t）cm， ∴10﹣t＝10﹣4t， 解得t＝0，舍去； 当＜t≤5时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣10）cm， ∴10﹣t＝4t﹣10， 解得t＝4； 当5＜t≤时，AP＝t cm， PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得t＝； 当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得t＝8． 综上所述，当运动时间为4秒或秒或8秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4或或8． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm.M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q. (1)试说明△PCM≌△QDM. (2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由． 【答案】 (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠QDM＝∠PCM， ∵M是CD的中点， ∴DM＝CM， ∵∠DMQ＝∠CMP， 在△PCM和△QDM中， ∵∠QDM＝∠PCM，DM＝CM，∠DMQ＝∠CMP， ∴△PCM≌△QDM(ASA)． (2)解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ， ∵BC－CP＝AD＋QD， ∴9－CP＝5＋CP， ∴CP＝(9－5)÷2＝2. ∴当PC＝2cm时，四边形ABPQ是平行四边形． 用三角形中位线求解 1、如图，，为垂足，的中线的延长线交于点，．若，，则的长为（ ） A.8    B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵，的中线的延长线交于点， ∴，即，， ∴， 如图：过E作于G，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A.1    B.2 C.1.5    D.2.5 【答案】A 【解析】 解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB＝90°， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝1， 故选：A． 3、如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　） A.    B. C.5    D.4 【答案】C 【解析】 解：∵点D，E分别为AB，BC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AC=2DE=10， ∵AG⊥BC，点F为AC边的中点， ∴． 故选：C． 4、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长________． 【答案】 3 【解析】 解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，∴AB＋AC＝26－10＝16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，∵∠ABQ＝∠EBQ，BQ＝BQ，∠AQB＝∠EQB，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ＝EQ，AB＝BE，同理，AP＝DP，AC＝CD，∴DE＝BE＋CD－BC＝AB＋AC－BC＝16－10＝6，∵AQ＝DP，AP＝DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ＝DE＝3. 5、如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n此操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________． 【答案】 3n＋1；33 【解析】 解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个；当3n＋1＝100时，解得n＝33， 6、在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】 （1）解：∵平分， ， 又， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． （2）证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 用三角形中位线证明 1、如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（ ） A.①②③④    B.①②④    C.②③④    D.①③④ 【答案】D 【解析】 解：四边形是菱形，， ，，，，，， 又， ，且． 判断①是否正确： ， ，， 又， ， （为中点） 为中点， 是中位线， ， 又， ，①正确，符合题意； 判断②是否正确： 为 中点， ， 为 中点， ， ， 又 ， ，②错误，不符合题意； 判断③图中有个三角形与是否全等： 为直角三角形（），设直角边、，斜边． 菱形对角线分菱形为个全等直角三角形：（，，，直角相等）． 由，且、、（勾股定理逆定理得直角）， 故（）．共个全等三角形，③正确，符合题意； 判断④以A，C，E，D为顶点的四边形是否为菱形： 且， 四边形是平行四边形． 又为等边三角形， ，且（），故， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，④正确，符合题意； 综上，①③④正确，②错误． 故选：． 2、数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法． 已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且． 嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 【答案】D 【解析】 解：嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CF，AD∥CF， ∵AD＝BD， ∴BD＝CF，BD∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，DE＝DF＝BC； 淇淇的作法：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF， 在△AEF和△CEG中， ∴△AEF≌△CEG（AAS）， ∴AF＝CG，EF＝EG， ∵AF∥BG，AB∥FG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝FG， ∵BD＝AB，GE＝FG， ∴BD＝EG，AF＝BG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE是平行四边形， ∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以， 故选：D． 3、如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有          ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ①③④ 【解析】 解：①在矩形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③当时，则， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故结论③正确； ④当时， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故结论④正确， 综上所述：正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 4、综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】 解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 三角形中位线的实际应用 1、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1 100 m，则隧道AB的长度为(　　) A.3300 m B.2200 m C.1100 m D.550 m 【答案】B 【解析】 解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB＝2DE＝2200 m，故选B. 2、如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是25米，则池塘的宽为（　　）． A.30米    B.40米 C.50米    D.60米 【答案】C 【解析】 解：∵AB，AC的中点分别为D，E， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2×25＝50（米）， 故选：C． 3、如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝5cm，则该工件内槽宽AB的长为（　　） A.8cm    B.9cm C.10cm    D.11cm 【答案】C 【解析】 解：∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴， ∴AB＝2CD＝10（cm）， 故选：C． 4、如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE．若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为 　    　m． 【答案】 54． 【解析】 解：∵AD＝DC，BE＝EC， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∵DE＝27m， ∴AB＝54m． 故答案为：54． 5、[问题情境]如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） [解决问题]如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 6、如图1，和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针得到，连接，． (1)连接，求证：； (2)将图1中的绕点A顺时针旋转，如图2，当，且时，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，取，的中点M，N，若，，将绕点A顺时针旋转α，当，线段取最小值时，直接写出线段的长度． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵旋转得到， ∴且， ∴等边三角形，， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知，， 又∵， ∴， ∴ ， ∴，又 ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图3，取的中点H，连接， ∵分别为的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为2， 此时，点M在上， ∴点在同一条直线上， 如图4，连接， ∵是等边三角形，H是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $