山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二年级考试 数学试题参考答案及评分标准 2026.07 一、单项选择题： 题号 1 3 4 5 7 8 答案 B A B D c A ⊙ 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 三、填空题： 1 12.8 13.124 43 四、解答题： 15.(13分) 解： (1)零假设H。:该校学生是否喜欢使用AI技术与性别无关1分 N2= 20×(46×28-32×14)2_28 78×42×60×60 39 ≈7.179>6.635=x01 5分 根据小概率值Q=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否喜欢使用AI技术与性别有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.017分 (2)设事件A=“抽中喜欢使用AI技术的学生”，“事件B=抽中女生”，根据题意得 P(A)= 7813 120209分 324 P(AB)= 12015 11分 4 ∴，P(BA)= P(AB)_1516 P(A)1339 20 13分 16.(15分) 2 (x+ 3n-4r 解：(1) 的展开式的通项TH=2Cx(=0,12,,”)1分 由恩意得2C号=112，∴n=83分 24-4 .T,+=2'Cgx3 24-4r -=0 令3 ,得r=65分 “常数项为2×C=1792 7分 24-4 -∈Z (2)令3 ,得r=0,3,69分 ∴.展开式中有理项有3项，无理项有6项10分 从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况 1项有理项和4项无理项有CC。种取法 2项有理项和3项无理项有CC%种取法 3项有理项和2项无理项有CC%种取法13分 根据分类加法计数原理，抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有C,C。+CC。+CC%=120种. 15分 17.(15分) 解：(1)f()=(c-m)e*,f'(x)=(x-m+10e “f)在x=1处有极小值，·∫'四=02分 .(2-m)e=0,.m=24分 此时，f'()=(x-1)e 当x<1时，∫'(，<0，f)单调递减：当x>1时，∫'()>0，fx)单调递增 f(x)在x=1处有极小值. .m=26分 (2)8x)=2(x-2)e*-a(x-1)2+5 g'(x)=2(x-1)(e-a) :0<a<e,由8'()=0解得x=1或x=lha,na<1 当x<na和x>l时，g(x)>0,g)单调递增 当na<x<1时，g'()<0,g)单调递减8分 'g0)=5-2e<0.g(2)=5-a>0 ∴g(x)在(L,2)内存在一个零点10分 g(na)=2(na-2)a-alna-1)2+5 设hx)=2x(血x-2)-x(nx-1)2+5 h'(x)=2nx-2)+2-(lnx-1)2-2(lnx-1) =-(lnx-1)2<0 .h(x)为减函数12分 h0)=0,当0<a<1时，glna)>0 x→-0时，g(x)→-0 ∴g()在(-o,lna),(ma,1)上各有-个零点 此时8(x)的零点个数为313分 当a=1时，g血a)=0,8(的零点个数为214分 当l<a<e时，glna)<0,8(的零点个数为115分 18.(17分) 解：(1)设单轮探测为失效轮的概率为9，则 g=0-号0-)-0-水3 由题意 Cad-- 1 .q62分 1 (2)(i)X的可能取值为0,1,2,3,44分 Px=0=×-6 r-=有+G号c分*-品 nt--y PX=4=×2-g X的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 1 13 36 6 36 3 9 10分 1 1 17 EX)=0x36+1x+2x13 +3×。+4× 636 3 9311分 (i)由题意得 p=C2P (1-P)Cp:+C:piC2P2(1-P2)+C2piC2p2 =2p,P2(p,+p2)-3pp 12分 +月 p=3pP2-3(p,P》13分 令1=BB, =3+=-0+ 2 9 189 f= 当16时， Pmin 25615分 3 P+P2-2 3 p24 PP-16 3 解得 p4 3 3 189 当4, P2= 当 4时，P的最小值为25617分 19.(17分) 解，D)-nr 1+0-1 2x2 :f0=0且当x∈山，+o时，f(x)≥0恒成立 ∴.f'0⑩)≥0 ∴.a≥12分 当a≥1且x≥1时，令 )=fc)-nx+ +-1 2x2 因-是0g0 3分 ∴.∫'(x)在山，+o)上单调递增 ∴.f'(x)≥f'(1①)≥0 ∴f(x)在山，+∞)上单调递增，f)≥f0)=0 ∴实数a的取值范围为山，+0)4分 f(x)-。lnx-x2 ,g(x)= (2) 1 =4Ix-x+--1 ÷g'()=0-1-↓-2x2+ax-2 2x 2x2 由题意，-2xr2+ax-2=0有两个根x,x2,且0<x<x2 x+为=2 a 由韦达定理： xx2=1 5分 .a>0.0<x<1<x2 8)Gn6-七+1上n十3 1+1 x22 血6-nx)-伤-)-专=s XX2 =2h6nx)-2-）7分 &)-86G)<(号-2-x) .要证 即证n-nx<x2-x 即证lh2-为3-nx+x<0 10 2lnx2-x2+ 即证 9分 设2)=2mx-x+ 1 x(x>1) 00)=2-1-1=+2x-1<0 x2 ∴p(x)在(L,+)上单调递减 .p(x)<p(1)=0 .2hx2-x2+<0 x2成立 ∴.原不等式成立10分 (3)当a=1时，f=2c+nx-x+1 即2x+血x-x+1=kx-D 有三个不等实根水，1，x4 (x+1)nx-x+1≥0 由(1)知a=1且x之1时，2 ∴.k(x-1)≥0 .k2011分 f(x4)=k(x4-1).f(x3)=k(x3-1) ∴f(x4)+f(x3)=k(x+x4-2) 即比较f(:)+f化)与0大小等价于比较+与2大小12分 k+1=+1)Inx 与4为 2(x-)的两个不等实根 设P)=G年*nr 2(x-l),则p(x)=px4)=k+1 1-2lnx .i.p'(x)=-x 2(x-102 13分 ()=x-1-2lx 设 t0=1+1-2--2x+1--≥0 x2 x x2 x2 ∴.t(x)在(0，+o0)单调递增 .t(1)=0 ∴p(x)在(0,1)单调递减，在(L,+∞)单调递增14分 法一：设H()=p(2-)-p(x).x∈(0,1) H）=3-)n2-9_x+1)hx_3-xln(2-x)+(x+1)nx 1-x x-1 1-x 设F()=(3-x)ln(2-x)+(x+1)nx F=-n2-)-3-x+hx+x+l 2-x -2+nr+ =-ln(2-)+1 1 x15分 设7=-n(2-t 1 -+Inx+ x- - 。≤0 T(x)在(0,1)单调递减 T(x)>T()=0 ·.F(x)在(0,1)单调递增 即F(x)<F)=0 .1-x>0 .H(x)=p(2-x3)-p(x4)<0 .0<x3<1<x4 .2-x3>1 :p(x)在（山，+o)上单调递增 故2-<x4,“5+x4>2 即f飞)+f(x)>017分 p(x)=x+1x 法二： 2(x-1) 1+1 1x+1x=p() p(白)=xln 2(-1)x2(x-1) 1 1 .>1 0<x3<1.x3 )=p()=p() X315分 又：p(x)在(L,+)单调递增 1 1 4=63+x4=+>2 X3, 即+4>2 故f()+f(x4)>017分 试卷类型：A 高二年级考试 数学试题 2026.07 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量，若，则 A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 4．已知实数，，，则 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 5．已知为奇函数且在上单调递减，则 A． B． C． D． 6．已知变量，线性相关，其一组样本数据为，，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，去掉一对样本数据后，得到新的经验回归方程为，则 A．1.5 B．2 C．3 D．4 7．已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则 A．20 B．35 C．40 D．70 8．4个不同小球放入5个不同的盒子，设有球的盒子个数为，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是 A．变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强 B．在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25 D．用模型拟合一组数据，，其中，设，变换后的经验回归方程为，则 10．下列选项正确的是 A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 11．函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是 A． B．若且，，则必有 C．若，则的最小值为 D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则______． 13．已知，则______． 14．将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，向上的点数依次记为，，，则在满足的条件下，的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢AI技术，经统计得到如下列联表． 性别 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 男生 46 14 60 女生 32 28 60 合计 78 42 120 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率． 附： ， 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（15分） 已知在的展开式中，第3项的系数为112． （1）求展开式中的常数项； （2）从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？ 17．（15分） 已知函数在处有极小值． （1）求实数的取值范围； （2）已知函数，，讨论函数的零点个数． 18．（17分） 在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号．现有两套独立工作的探测系统，，系统单次探测成功的概率为（），系统单次探测成功的概率为（）．现进行独立探测实验，每轮同时启动，两套系统进行探测． （1）每轮探测中，，各探测一次，，均探测失败判定为失效轮．已知，若连续两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为，求的值； （2）探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统独立探测2次，操作员乙操控系统独立探测2次．若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利轮； （i）设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为，若，与（1）中数值相同，求的分布列及数学期望； （ii）若，每轮探测互不影响，设每轮为胜利轮的概率为，求的最小值以及此时，的值． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，证明：； （3）当时，函数与直线的图象有三个交点，横坐标分别为，1，，且，试判断与0的大小并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $