精品解析：吉林省长春市外国语学校2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试初一年级 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为90分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确二元一次方程的定义：满足三个条件，一是整式方程，二是只含有两个未知数，三是所有未知数的最高次数为1，根据定义逐一判断选项即可. 【详解】根据二元一次方程的定义逐一判断： ∵ 选项A中是分式，该方程不是整式方程，不符合二元一次方程定义，∴排除A； ∵ 选项C中方程含有共三个未知数，是三元一次方程，不符合定义，∴排除C； ∵ 选项D中未知数的次数为，最高次数不为，不符合定义，∴排除D； ∵ 选项B中方程是整式方程，只含两个未知数，且两个未知数的次数都为，完全符合二元一次方程的定义. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：两边都除以3， 得， 两边都加，得 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解． 4. 三角形三个内角度数之比是1:1:2，则这个三角形是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案． 【详解】设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°．由三角形内角和定理得： x+x+2x=180° 解得：x=45°． 当x=45°时，2x°=2×45°=90°． 三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°． 故这个三角形是等腰直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理．解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x°，x°，2x°，利用方程思想求解． 5. 已知图中两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，是a、c边的夹角， ∴． 故选：A． 6. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得、的值，然后再来求的值． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 解得 ； 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义及二元一次方程组的解法，是基础知识，需熟练掌握，解题的关键是注意掌握二元一次方程组的两种解法． 7. 如图，在中，，点D为边上一点，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据，得到，然后根据，可求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作，根据角平分线的性质定理得，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点F， ∵平分，， ∴． ∵， ∴, 解得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 10. 若代数式与的值相等，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 11. 方程的正整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用的代数式表示出，再结合正整数的要求，枚举验证得到方程的解. 【详解】解：， ， 当时，， 是正整数，符合要求； 当时，， 不是正整数，舍去； 当时，， 为负数，不符合正整数要求，舍去； 方程的正整数解是． 12. 如图，，，，则向左移动___________后与关于直线成轴对称． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个图形成轴对称，那么对应线段的交点应该在对称轴上，再结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵B、E两点重合时与关于直线成轴对称， ∴向左移动． 13. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用垂直平分线，将转化为，根据两点之间线段最短，得到，再加上的长，即可得到最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长的最小值是11． 14. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点．下列结论中：①；；；④．正确的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据“边角边”证明，再说明，可得；然后证明，接下来根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴则①正确， ∴ ∴， ∴，则③正确． ∵平分， ∴． ∵， ∴ ∴，则④正确， ∴， ∴， ∵， ∴②不正确． 正确的有①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解下列方程（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照一元一次方程的求解步骤，通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到结果． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为． 16. 解下列不等式或不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集； （2）分别求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 17. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元 （2）至少应购买B款纪念品30个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． 【小问2详解】 解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． 18. 小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完120页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了5天才读完．求这本科普图书的总页数． 【答案】220页 【解析】 【分析】该题考查了分式方程的应用，设这本科普图书的总页数为x页，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这本科普图书的总页数为x页， 根据题意，得：． 解这个方程，得：． 经检验，符合题意． 答：这本科普图书的总页数为220页． 19. 如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，以为腰作等腰三角形； （2）在图②中，作四边形，使其为轴对称图形； （3）在图③中，作四边形，使其为中心对称图形． 【答案】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：如图所示即为所求， （3）解：如图所示即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，画出等腰三角形即可； （2）以为对称轴作四边形，即可； （3）作平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，，平分． （1）在图中利用尺规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）和的交点为点，求的度数． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图—作垂线的方法作图即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的条件得到，最后通过三角形外角的性质即可求出． 【小问1详解】 解：如图，以点C为圆心，长为半径作圆弧，与的延长线交于一点M，则，再分别以点B，M为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于点N，则，由线段垂直平分线的判定定理可知，垂直平分，故与的交点即为点E，此时； 作图略 【小问2详解】 解：如图，标注点F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴． 21. 已知，如图，在中，点D为线段上一点，，过点D作且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再利用证明即可证明．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 定义：若关于同一个未知数的不等式（组）A和B的解集相同，则称A与B为同解不等式（组）．例如：不等式A：的解集是，不等式B：的解集也是，所以不等式A和不等式B为同解不等式． （1）下列不等式（组）是同解不等式（组）的是 （只填序号）： ①；②；③； （2）若关于的不等式A：，不等式 B：是同解不等式，求的值； （3）若关于的不等式，不等式组是同解不等式（组）．直接写出关于的不等式的解集为 ． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求解①，②，③的解集，再根据同解不等式（组）的定义即可解答； （2）分别求解不等式A、B，根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）分别求解P、Q，根据同解不等式（组）的定义列不等式，求出a的范围，确定的正负，再求解目标不等式即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②， 去分母得， 去括号，合并同类项得， 移项得； 解不等式组③， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为； ∴是同解不等式（组）的是①③． 【小问2详解】 解：∵关于的不等式，是同解不等式， 由得， 由得， ∴即， 解得． 【小问3详解】 解：∵关于的不等式，不等式组是同解不等式（组）， 由得， 解不等式组， 由得， 由得， 要使不等式组的解集为，则 解得， ∴， 解得， ∴关于的不等式的解集为． 23. 探究下列问题： （1）小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； （3）老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 24. 在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）直接写出的长， （用含的代数式表示）： （2）当时，求出此时的值； （3）当线段把的周长平分时，求出此时的值； （4）在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； 【小问2详解】 解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， 【小问4详解】 解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试初一年级 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为90分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形三个内角度数之比是1:1:2，则这个三角形是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知图中两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，在中，，点D为边上一点，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 10. 若代数式与的值相等，则___________． 11. 方程的正整数解是___________． 12. 如图，，，，则向左移动___________后与关于直线成轴对称． 13. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 14. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点．下列结论中：①；；；④．正确的序号是___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解下列方程（组）： （1）； （2） 16. 解下列不等式或不等式组 （1）； （2） 17. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 18. 小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完120页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了5天才读完．求这本科普图书的总页数． 19. 如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，以为腰作等腰三角形； （2）在图②中，作四边形，使其为轴对称图形； （3）在图③中，作四边形，使其为中心对称图形． 20. 如图，在中，，，平分． （1）在图中利用尺规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）和的交点为点，求的度数． 21. 已知，如图，在中，点D为线段上一点，，过点D作且，求证：． 22. 定义：若关于同一个未知数的不等式（组）A和B的解集相同，则称A与B为同解不等式（组）．例如：不等式A：的解集是，不等式B：的解集也是，所以不等式A和不等式B为同解不等式． （1）下列不等式（组）是同解不等式（组）的是 （只填序号）： ①；②；③； （2）若关于的不等式A：，不等式 B：是同解不等式，求的值； （3）若关于的不等式，不等式组是同解不等式（组）．直接写出关于的不等式的解集为 ． 23. 探究下列问题： （1）小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； （3）老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 24. 在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）直接写出的长， （用含的代数式表示）： （2）当时，求出此时的值； （3）当线段把的周长平分时，求出此时的值； （4）在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $