3.7 弧长及扇形面积（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

3.7 弧长及扇形面积 （第1课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解弧长公式的推导原理，能分清公式中字母l、n、R的含义，会运用弧长公式及变形进行相关计算。 经历从圆周长出发，通过圆心角占比探究弧长的推导过程，体会转化思想、比例思想，提升几何推理能力。 能利用弧长知识解释跑道、钟表针尖运动等生活中的弧长问题，感受数学与现实生活的联系，增强几何学习兴趣。 新课导入 圆周长我们早会算了，可这两段"弧"有多长？ 生活里见到的圆，常常只是其中一段弯——怎么由整圆推出一段弧的长度？ 跑道弯道：运动员经过的那段红色弯道， 到底跑了多少米？它和整个圆周长是什么关系？ 时钟分针：30 分钟， 针尖扫过的那一段弧有多长？ 思考：一段弧长，是不是只由"半径"和"圆心角占 360° 的几分之几"决定？ 3 新课探究 新知探究：弧长公式 第一步：360° 的弧长会算了，那 1° 的弧长是多少？ ① 整圆：圆心角恰好是 ，它对应的弧长就是整条圆周长， ② 平均分：把圆一周平均分成 360 份，每一份圆心角 = ③ 等弧：等分圆周后，每一段弧也相等，每一份弧长 = 整圆周长 ÷ 360 ④ 单位弧长：1° 圆心角所对的弧长 　　 橙色小扇形只是其中 1 份 它的弧长 = 4 新课探究 新知探究：弧长公式 第二步：有了 1° 的"单位弧长"，n° 的弧长怎么拼出来？ ① 想清楚：n° 圆心角 = n个1°圆心角 例如 就是30个 拼起来 ② 每一份的弧长：上一页已求出 ③ n 份合起来：弧长 = n 份 × 每份长 　　 ④ 弧长公式（重点）： 半径 R，圆心角 n°，橙色弧长 5 新课探究 新知探究：弧长公式 第三步：公式 l = 里，每个字母代表什么？ l　弧长 弧的长度，单位是长度单位 （米、厘米……） n　圆心角 弧所对圆心角的度数 代入时不带"度"字，只写数字 R　半径 弧所在圆的半径 单位与 l 保持一致 知 n、R，求 l： 知 l、R，求 n： 知 l、n，求 R： 6 典例1 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=22.5°， 且半径为3，则弧AB的长度为？ 典例分析 解：如图，连接AO ∵∠ADC=22.5°, ∴∠AOC=2∠ADC=45°, 又∵OC⊥AB, ∴= ∴∠AOB=2∠AOC=90°, ∴弧AB的长度为： 练一练 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=20°,在直径AB 上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E，若CE=，则劣弧 CE的长为？ 典例分析 解：如图，连接OC、OE ∵∠BAC=20°,AD=AC, ∠ACD=∠ADC=∵OA=OC=OE, ∴∠OCA=∠BAC=20°,∠OCE=∠OEC, ∴∠OCE=∠OEC=80°-20°=60°, ∴△OCE是等边三角形， OC=OE=CE=,∠COE=60°, ∴劣弧CE的长： 练一练 有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是90°的扇形ABC(如图),用剪下的扇形铁皮ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是？ 典例分析 解：如图，连接BC, 由题意，得：∠BAC=90°，AB=AC， BC为⊙O的直径， ∴BC=1m,∴AB=AC=m 的长为： 圆锥的底面圆的半径为： 典例分析 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线l⊥CD于点O，O为CD中点，测得直径CD为8cm，∠AOC=30°，则提梁的长为? 典例2 解：∵隔热布两端点A与点B关于直线l对称， 直线l⊥CD与点O,O为CD中点，直径CD为8cm，∠AOC=30° ∴∠AOB=2×（90°-30°）=120° ∴的长为：cm 典例分析 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在O上，且=，连接AC，BC，连接BD交AC于点E，与过点A的切线相交于点F. 典例3 (2)如图，连接CO ∵AB=6,BC=3, ∴CO=BO=AB=3.∴CO=BO=BC, ∴△BCO为等边三角形， ∴∠BOC=60°, l==π (2)若AB=6，BC=3，直接写出的长. 典例分析 典例3 (1)证明：∵,∴∠CBD=∠DBA, ∵AB是⊙O的直径，AF切⊙O于点A, ∠ACB=∠BAF=90°, ∴∠CBD+∠BEC=90°,∠EBA+∠AFB=90°, ∴∠BEC=∠AFB,∵∠FEA=∠BEC, ∴∠FEA=∠AFB, AF=AE; (1)求证：AF=AE 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在O上，且=，连接AC，BC，连接BD交AC于点E，与过点A的切线相交于点F. 典例分析 如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AB上一动点，连接AE，若AB=8，AD=6. 练一练 (1)求⊙O的半径 (1)解：如图，连接AC, ∵矩形ABCD内接于⊙O，∠ABC=90°, ∴AC是⊙O的直径， ∵AB=8,AD=6, AC===10. ∴⊙O的半径为5; 典例分析 如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AB上一动点，连接AE，若AB=8，AD=6. 练一练 (2）若AE=求的长 (2)解：连接CE，CO，∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC=90°,∵AE=，AC=10 ∴CE=== ∴AE=CE=,∴∠ACE=∠EAC=45°, ∴∠AOE=2∠ACE=90° AE的长为 课堂小结 课堂小结 · 重点回顾 01 一个公式 弧长公式：它的本质是利用圆心角占整个圆周角的比例，从圆周长推导而来，是计算圆弧曲线长度的核心工具。 02 两大影响因素 ①圆心角n:半径不变时，圆心角越大，弧长越长；②半径R:圆心角不变时，半径越大，弧长越长。弧长由圆心角、半径共同决定。 03 三个核心字母含义 掌握公式中三个关键量：【代表弧长，n代表圆心角的度数，R代表圆的半径。已知其中任意两个量，就可以求出第三个量。 04 两类应用场景 ①直接计算：已知圆心角、半径，直接代入公式求弧长； ②实际建模：解决跑道弯道、钟表指针轨迹等生活中弧形长度的实际问题。 课堂练习 1. 如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形(分别以等边三角形ABC的三个顶点A、B、C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形)若AB=5，则此莱洛三角形的周长为( ) A. 6 B. C. 5 D. 课堂练习 2.如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的⊙O上，其中AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，顺次连接AB，BC，CD，若∠BCD=100°，则弧CD的长为（ ） A. B. C. D. 课堂练习 3.为了表演课本剧，小明同学用圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个底面半径是4cm的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径 是 cm？ 12 4.如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升5πcm，则滑轮旋转的角度为 ° 90 课堂练习 5.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分 历来中国有“制扇王国”之称。折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须撒开，成半规形，聚头散尾 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为___________cm. 课堂练习 6.如图，把一块∠A=30°的直角三角板ABC绕点C旋转到A'B'C'的位置，使得三点B、C、A'在一直线上，若BC=15，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 . 20π 课堂练习 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（-3，5)，B（-2，1)，C（-1，3). (1)若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1； 如图，△A1B1C1即为所求 课堂练习 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（-3，5)，B（-2，1)，C（-1，3). (2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2; 如图，△A2B2C2即为所求 课堂练习 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标是A（-3，5)，B（-2，1)，C（-1，3). (3)求出(2)中，点A旋转到点A2所经过的路径长. (3) 解：由题意知：∆ABC 绕点O顺时针旋转 90°得到△A2B2C2 ∴∠AOA₂=90°,∵OA==,9 ∴点A旋转到点A₂所经过的路径长为 $