专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年教版九年级数学上册

专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形暑假预习讲义 · 定义：掌握圆周角定义，对比圆心区分顶点位置，能精准识别图形中的圆周角； · 定理：理解圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，理清推导逻辑； · 推论：熟记两条推论：同（等）弧圆周角相等；直径对应直角、直角对应直径； · 辅助：掌握固定辅助线技巧：看到直径连接圆上一点构造直角三角形； · 计算：结合垂径、圆心角定理完成线段、角度综合计算； · 疑点：标注优弧、劣弧带来圆周角多解类疑问，课堂重点突破； · 性质：牢记圆内接四边形对角互补、任意外角等于内对角，用于角度求值、等角证明； · 模型：掌握正多边形全套概念、角度公式，利用半径、边心距、半边长直角三角形结合勾股计算； · 综合：分清三类知识点适用场景，梳理易混淆概念、易错题型，带着疑问听课。 预习必备 知识梳理 1.圆周角定义 2.圆周角定理及推论 3.圆内接四边形 4.正多边形及有关概念 5.正多边形有关计算 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆周角概念辨析及运算 2.圆周角定理 3.同弧或等弧所对的圆周角相等 4.半圆所对圆周角是直角 5.90度圆周角所对的弦是直径 6.由圆内接四边形求角度 7.求四边形外接圆的直径 8.求正多边形的中心角 9.由正多边形的中心角求边数 10.正多边形和圆综合 11.尺规作图-正多边形 强化题型 解答题9题 知识点01：圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 1.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，∠ABC = ∠AOC 同弧或等弧所对的圆周角相等。如图 2.圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。 如上图， AB 是直径∠ACB = ∠ADB = 90 ∠ACB = 90 AB 是直径 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点 04： 正多边形及有关概念 1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.圆内接正多边形：把圆分成 n(n≥3) 等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n 边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。 3.与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离。 知识点 05： 正多边形的有关计算 知识点06：综合解题思路汇总 1.求角度：优先圆周角定理、圆内接四边形对角互补 / 外角性质； 2.求线段、半径、边长：直径造直角、正多边形勾股直角模型； 3.证明等角：同弧圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角； 4.证明四点共圆：一组对角互补。 知识点07：高频易错汇总 1.圆周角忽略优弧劣弧双解情况； 2.圆内接四边形性质套用到普通四边形； 3.正多边形判定遗漏 “边、角同时相等” 两个条件； 4.正多边形计算忘记边长取一半再用勾股定理。 题型1.圆周角概念辨析及运算 【典例】如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【跟踪专练1】图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 【跟踪专练3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 题型2.圆周角定理 【典例】如图，在中，，是上一点，则______． 【跟踪专练1】如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【跟踪专练3】如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例】如图，，均在圆上，，则______． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的直径，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 题型4.半圆所对圆周角是直角 【典例】如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 题型5.90度圆周角所对的弦是直径 【典例】下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为25寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到7寸，则的长是______寸． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型6.由圆内接四边形求角度 【典例】如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【跟踪专练1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【跟踪专练3】如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型7.求四边形外接圆的直径 【典例】如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【跟踪专练1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为_____________． 【跟踪专练3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 题型8.求正多边形的中心角 【典例】第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【跟踪专练1】如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【跟踪专练2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 题型9.由正多边形的中心角求边数 若【典例】一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【跟踪专练1】如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【跟踪专练3】如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 题型10.正多边形和圆综合 【典例】高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【跟踪专练1】在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【跟踪专练3】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 题型11.尺规作图-正多边形 【典例】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【跟踪专练1】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【跟踪专练2】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【跟踪专练3】如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 解答题 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 2．如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 3．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 4．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 6．如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 8．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 9．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形暑假预习讲义 · 定义：掌握圆周角定义，对比圆心区分顶点位置，能精准识别图形中的圆周角； · 定理：理解圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，理清推导逻辑； · 推论：熟记两条推论：同（等）弧圆周角相等；直径对应直角、直角对应直径； · 辅助：掌握固定辅助线技巧：看到直径连接圆上一点构造直角三角形； · 计算：结合垂径、圆心角定理完成线段、角度综合计算； · 疑点：标注优弧、劣弧带来圆周角多解类疑问，课堂重点突破； · 性质：牢记圆内接四边形对角互补、任意外角等于内对角，用于角度求值、等角证明； · 模型：掌握正多边形全套概念、角度公式，利用半径、边心距、半边长直角三角形结合勾股计算； · 综合：分清三类知识点适用场景，梳理易混淆概念、易错题型，带着疑问听课。 预习必备 知识梳理 1.圆周角定义 2.圆周角定理及推论 3.圆内接四边形 4.正多边形及有关概念 5.正多边形有关计算 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆周角概念辨析及运算 2.圆周角定理 3.同弧或等弧所对的圆周角相等 4.半圆所对圆周角是直角 5.90度圆周角所对的弦是直径 6.由圆内接四边形求角度 7.求四边形外接圆的直径 8.求正多边形的中心角 9.由正多边形的中心角求边数 10.正多边形和圆综合 11.尺规作图-正多边形 强化题型 解答题9题 知识点01：圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 1.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，∠ABC = ∠AOC 同弧或等弧所对的圆周角相等。如图 2.圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。 如上图， AB 是直径∠ACB = ∠ADB = 90 ∠ACB = 90 AB 是直径 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点 04： 正多边形及有关概念 1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.圆内接正多边形：把圆分成 n(n≥3) 等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n 边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。 3.与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离。 知识点 05： 正多边形的有关计算 知识点06：综合解题思路汇总 1.求角度：优先圆周角定理、圆内接四边形对角互补 / 外角性质； 2.求线段、半径、边长：直径造直角、正多边形勾股直角模型； 3.证明等角：同弧圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角； 4.证明四点共圆：一组对角互补。 知识点07：高频易错汇总 1.圆周角忽略优弧劣弧双解情况； 2.圆内接四边形性质套用到普通四边形； 3.正多边形判定遗漏 “边、角同时相等” 两个条件； 4.正多边形计算忘记边长取一半再用勾股定理。 题型1.圆周角概念辨析及运算 【典例】如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【跟踪专练1】图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 题型2.圆周角定理 【典例】如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 【跟踪专练1】如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 【跟踪专练2】如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练3】如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 题型3.同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例】如图，，均在圆上，，则______． 【答案】/30度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 【跟踪专练1】如图，是的直径，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理及其推论来求出，进而求出即可． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型4.半圆所对圆周角是直角 【典例】如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】连接，根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一得出，根据求得． 【详解】解：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 【跟踪专练3】如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 题型5.90度圆周角所对的弦是直径 【典例】下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点在圆上，再根据圆周角定理，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，则， 量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， 点在圆上， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为25寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到7寸，则的长是______寸． 【答案】24 【分析】连接，如图，根据矩形的性质可得是圆的直径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， 则在直角三角形中，由勾股定理得：， 即, 解得：（寸），负值舍去. 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 题型6.由圆内接四边形求角度 【典例】如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”即可求得答案． 【详解】解：因为四边形是的内接四边形，， 所以． 所以． 【跟踪专练2】如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 【跟踪专练3】如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 题型7.求四边形外接圆的直径 【典例】如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 【跟踪专练1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 【跟踪专练2】在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为_____________． 【答案】1 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 【跟踪专练3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 题型8.求正多边形的中心角 【典例】第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 【跟踪专练1】如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 【跟踪专练2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【跟踪专练3】如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 题型9.由正多边形的中心角求边数 若【典例】一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 【跟踪专练1】如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型10.正多边形和圆综合 【典例】高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可得到结果 【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长， ∴ 该内切圆的直径为2，半径 ， ∴ 【跟踪专练1】在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 【跟踪专练2】如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【答案】/45度 【分析】根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，从而求解． 【详解】解：四边形是的内接正方形， ， 与都是所对的圆周角， ． 【跟踪专练3】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 题型11.尺规作图-正多边形 【典例】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 解答题 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 【答案】直径：；半径：，；弦：，，；弧：，，；圆周角：，，；圆心角：，，（答案不唯一） 【详解】解：直径：； 半径：，，，，； 弦：，，，，； 弧：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 圆周角：，，，，； 圆心角：，，，，，，，，，． 2．如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 4．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 5．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，证明，即可得到结论． （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据补角的定义即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， 和是所对的圆周角，和是所对的圆周角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ． 7．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 8．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 9．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 【答案】(1)正六边形为 (2)点即为所求 (3)点即为所求， 【分析】(1) 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； (2) 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； (3) 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． （2）解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． （3）解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $