1.1.2 空间向量的数量积运算-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点1：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 考点一　空间向量数量积的概念辨析 考点二　求空间向量的数量积 考点三　利用空间向量求投影 考点四　利用空间向量夹角与模长问题 考点五　利用空间向量解决平行垂直问题 考点一　空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 2．（25-26高二上·山东·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 4．（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 5．（25-26高二·天津和平·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 考点二　求空间向量的数量积 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 8．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 9．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 考点三　利用空间向量求投影 11．（25-26高三上·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 13．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 14．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江西南昌·月考）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 考点四　利用空间向量夹角与模长问题 17．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________. 18．（25-26高二上·湖南常德·月考）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 19．（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 21．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 22．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 24．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点五　利用空间向量解决平行垂直问题 25．（25-26高二上·北京·期中）已知为空间的一组基底，且，，若，则实数______． 26．（25-26高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 27．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 8．（2026·广东东莞·三模）（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 9．（2026·四川成都·二模）（多选）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 10．（25-26高二下·江苏苏州·月考）（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 12．（25-26高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 13．（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点1：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 考点一　空间向量数量积的概念辨析 考点二　求空间向量的数量积 考点三　利用空间向量求投影 考点四　利用空间向量夹角与模长问题 考点五　利用空间向量解决平行垂直问题 考点一　空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 2．（25-26高二上·山东·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 【答案】/ 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点，    则， 所以 . 故答案为： 4．（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 5．（25-26高二·天津和平·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 【答案】C 【分析】根据空间向量可平移可判断AC，根据向量数量积定义可判断B，根据向量数量积的运算律可判断D. 【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确； ，故B正确； 设是三个空间向量，则可能共面，故C错误； 空间向量数量积满足分配律，故，即D正确. 故选：C 考点二　求空间向量的数量积 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 7．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 8．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 9．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】由题可知，，再结合空间斯坦纳定理：，再代入计算即可． 【详解】解：如图， 因为在底面上的射影为的外心，所以， 由空间斯坦纳定理：． 故答案为：． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）， ． 考点三　利用空间向量求投影 11．（25-26高三上·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量在向量上的投影向量为，利用向量数量积的定义求，进而得的范围，逐一验证即可求解. 【详解】由题意有：由向量在向量上的投影向量为， 因为， 因为，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量可能为， 故选：A. 12．（25-26高二上·江西赣州·期中）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    13．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 14．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 15．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    16．（25-26高二上·江西南昌·月考）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 考点四　利用空间向量夹角与模长问题 17．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________. 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【详解】 . 故答案为：. 18．（25-26高二上·湖南常德·月考）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 【答案】 【分析】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【详解】 . 故答案为： 19．（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法将转化为与已知向量相关的形式，再根据向量的模长公式进行计算. 【详解】在平行六面体中，. 因为以顶点为端点的三条棱的长度都为，则. 又因为两两夹角为，根据向量点积公式（这里），可得： ； ； . 将上述值代入的表达式中： . 因为，根据向量的模长公式，所以. 故选：C. 20．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2)证明见解析。 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. 【详解】（1）， ， 所以； （2）， 所以，所以， 同理可证，所以。 21．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 22．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 23．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 24．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：B． 考点五　利用空间向量解决平行垂直问题 25．（25-26高二上·北京·期中）已知为空间的一组基底，且，，若，则实数______． 【答案】1 【分析】利用共线向量基本定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有：存在实数，使得，所以， 所以， 故答案为：1. 26．（25-26高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据已知，设，结合向量不共面及基本定理有，求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以，可得，则. 故选：B 27．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 28．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 3．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 6．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 8．（2026·广东东莞·三模）（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 9．（2026·四川成都·二模）（多选）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 【答案】ABD 【分析】A选项，由线面平行得到面面平行；B选项，由线面垂直的判定定理和性质定理可证；C选项，先根据线面垂直得到线线垂直，由空间向量相关公式得到的长度，进而求出；D选项，求出平行六面体的高，得到体积. 【详解】A选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可知，平面， 又，平面，所以平面平面，A正确； B选项，连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，B正确； C选项，因为平面，平面，所以， ，， 则， 即， 又，，设的长度为， 故，解得，负值舍去， 又， 故 ， 所以，C错误； D选项，， 又， 故，故， 过点作⊥于点，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，为相交直线， 所以⊥平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为，D正确. 10．（25-26高二下·江苏苏州·月考）（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 12．（25-26高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 13．（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $