安徽合肥市庐江县2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试题

庐江县2025/2026学年度第二学期期末教学质量抽测 高二数学试题答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B C C D C D AC ABC ACD 二、填空题： 12． 13． 14．（A题） （B题）0 三、解答题： 15．（1）， 即：，由正弦定理可得：， ，． 6分 （2）由（1）知，，所以由，得， 整理得，即． 又，，所以，即， 则． 13分 16．解：（1）根据所给数据完成列联表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 400 200 600 历史 150 250 400 合计 550 450 1000 ， 所以依据小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别有关．7分 （2）按照分层抽样，抽取男生3人，女生5人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3 ，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 15分 17．解：（1）证明：，，又，，平面， 平面，平面．平面，， 又，，平面，平面， 平面． 6分 （2）存在，理由如下： 平面，， ∴以E为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 假设在线段上存在一点P，使得平面平面， 设，，则，， ，．设平面的法向量为， 由得 令，得，设平面的法向量为， 又，，故取， 得．∵平面平面，， 解得，满足，∴在线段上存在点， 使得平面平面，且此时． 15分 18．（17分）（1）解：将代入，得， 所以，由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． 7分 证：（2）设，均在上，故， 直线的斜率，同理 10分 由题意知，，即 化简得：（1） 13分 设直线的方程为：，代入抛物线方程，得： 由韦达定理：，（2） 联立（1）、（2）得： 故直线的方程为： 所以直线过定点故直线 17分 19．（17分）（解：（1）当时， 当且仅当且，即时取等号，故对于点， 存在点，使得该点是在的“亲密点”． 5分． （2），则，因为，均为上单调递增函数，则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，，故，此时， 而，，故在点处的切线方程为． 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． 10分 （A题）（3）根据“亲密点”定义，对于，，有： ， 求导得： 当时：只有一个极值点，且是唯一极小值点，即只有1个亲密点． 当时：有三个极值点：且是极大值点，是极小值点， 由偶函数对称性，同为最小值，故最小值在处取得， 所以，当有2个亲密点时，． 17分 （B题）（3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“亲密点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得， 即① ② 由①②相等得，即，即， 又因为函数在定义域上恒正，所以恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，， 即，③ ，④ ③④得 即，因为， 所以，解得，则恒成立， 因为的任意性，所以严格单调递减． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第二学期期末抽测 高二数学试题 说明：1．时间120分钟，满分150分． 2．第14题、19题B题仅供庐江中学、庐江二中学生使用． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为 A． B． C． D． 2．设复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则 A． B． C． D． 3．已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为 A． B． C． D． 4．在等差数列中，公差，若，则的值为 A．15 B．16 C．19 D．21 5．我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 6．已知向量，，且，则等于 A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，点满足，若经过点，，的平面将棱柱分为，两部分（的体积较小），则，的体积之比为 A． B． C． D． 8．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲罐中有3个红球、3个黑球，乙罐中有4个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．为奇函数 11．在平面直角坐标系中，曲线，则 A．曲线关于原点对称 B．对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C．曲线上存在四个点，，，，使得四边形是正方形 D．若圆与曲线恰有4个公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 13．某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中被分配到的最少名额数，则的数学期望________． 14．（A题）若函数的图象在点处的切线方程为，则的最小值为________． 14．（B题）设定义在上的函数满足，且当时．已知满足；若恒成立（为自然对数的底数），则实数的最大值为． 四、解答题：本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求； （2）若，求． 16．（15分）2024年6月，我省正式进行“”高考新模式．我县某校为调研新高考模式下，学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据如表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 400 历史 250 合计 550 1000 （1）根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别是否有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17．（15分）如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． （1）求抛物线的方程； （2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 19．（17分）对于一个函数和一个点，令，若是取得最小值的点，则称是在的“亲密点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“亲密点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“亲密点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）（A题）对于，点在轴上运动．若存在两个不同的“亲密点”，求实数的范围． （3）（B题）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是，在的“亲密点”，试判断的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $