精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以 故选：D. 2. 设向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合向量垂直坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，且在上的投影向量为，所以， 可得，解得. 故选：C. 3. 记等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 40 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，可得，解得， 又由. 故选：C. 4. 已知复数满足，则“”是“复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分和进行讨论，分别得出复数在复平面内的轨迹，即可得答案． 【详解】当时，则有， 此时复数在复平面内点的轨迹为以和为端点的线段，不为椭圆； 当时，则有， 此时复数在复平面内点轨迹为以和为焦点的椭圆； 所以“”是“复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 5. 已知圆台的上、下底面直径分别是2和4，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆台的母线和高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可． 【详解】设圆台的母线长为l，则圆台的表面积，即， 故圆台的高为， 如图可知母线与底面所成角， 所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为 故选：D． 6. 已知的内角所对的边分别是，若，且，则的外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦定理，求得外接圆的半径，即可求解. 【详解】由，由两角和差的余弦公式可得，即， 在中，由正弦定理得（其中为的外接圆的半径， 所以，解得，所以的外接圆的周长为. 故选：C. 7. 如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，在7个点中任取3个，若选出三个点能构成三角形，有种， 若构成的三角形是等边三角形，可以为，，，，，，，，共8个， 则若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率. 故选：B. 8. 已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【详解】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本事实2判断A，由基本事实3判断D，由空间中点、线、面的位置关系判断B和C. 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的内部 C. 圆与圆C外切 D. 当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的半径为，求得的值，可判定A正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判定B不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；根据平分圆C的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得判定A、B正确；由，可得或，可判定C错误；根据，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为，由正弦定理可得，所以，所以A正确； 对于B中，因为，由正弦定理可得，所以，所以B正确； 对于C中，因为，可得或，即或， 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以C不正确； 对于D中，因为，满足, 所以该三角形有两个解，所以D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【详解】因为，所以， 设与曲线切于点， 所以，所以， 所以切点为，又该点在上， 所以，所以 故答案为：. 13. 函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知平移得到的图象对应的解析式为，再根据正弦型三角函数的奇偶性可求的值，进而利用正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象， 所以平移得到的图象对应的解析式为， 因为为偶函数， 所以，其中，即，， 因为， 所以，可得， 当时，， 所以， 即则函数在上的最小值为 故答案为： 14. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长即可 【详解】由题意，正方体在正四面体的内切球内，且内切球的直径就是正方体的对角线的长.设球的半径为，由四个以内切圆球心为顶点，正四棱锥的各面的三棱锥的体积之和等于正四面体的体积，得 ，解得，设正方体的最大棱长为，则，解得 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. DeepSeek，全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同，某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高，低廉三个类别进行数据统计如表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营，低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 26 14 60 100 OpenAI 42 28 30 100 （1）请填写如下列联表，根据小概率的独立性检验，分析两家公司的运营成本是否存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI （2）已知DeepSeek公司的客户中有5个“星级客户”受邀为代表参加线下体验活动，每个客户参加活动的概率均为，求恰有3个客户参加线下体验活动的概率. 附： k 【答案】（1）列联表见解析，存在差异 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的性质即可求解； （2）根据二项分布的概率公式求解. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 40 60 OpenAI 70 30 设零假设；两家公司的运营成本没有差异，得， 因为，所以根据小概率的独立性检验，有充分的理由说明两家公司的运营成本存在差异. 【小问2详解】 记能参加线下活动的“星级客户”的人数为X，则， 恰有3人能参加线下活动的概率，即 16. 记数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）记，求 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）运用递推关系式构造出等比数列，分情况列出通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【小问1详解】 由，，可得，， 当时，由，可得， 相减可得，即， 上式对不成立， 则. 【小问2详解】 ， ， 相减可得， 化简可得，对也成立， 则，. 17. 已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥． （1）若点F在线段AP上，且平面，求的值； （2）若平面平面，求平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，交PB于M，易得M，F，E，C四点共面，然后通过线面平行的性质定理得四边形EFMC为平行四边形，进而可得答案； （2）先证明平面ABCE，然后以O为坐标原点，OA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解面面角. 【小问1详解】 作，交PB于M，易得M，F，E，C四点共面， 平面PBC，平面平面，平面EFMC， ，四边形EFMC为平行四边形， ，， 由可得； 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，取AE中点O，则，即． 又因为平面平面ABCE，平面平面，平面APE， 所以平面ABCE． 以O为坐标原点，OA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，， 设平面PEC的法向量为，则， 不妨取，则，，， 设平面ECA的一个法向量为， 则， 则平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 19. 已知函数 （1）若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的a，，，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，求出，代入，由基本不等式可求出的最小值； （2）构造函数，将要证不等式转化为，利用的单调性和取值情况可证得时不等式成立，时同理可证得； （3）设，，其中，由（2）中所证不等式，令，，代入不等式中，变形可得关于k的不等式，再由点在抛物线上，利用点差法，可得要证不等式． 【小问1详解】 由题意，，，所以，则， 又，当且仅当时取等号， 所以； 【小问2详解】 证明：先证，则， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 又，所以当时，， 当，则，所以， 同理，当，则也成立； 综上，对一切的a，，，都有； 【小问3详解】 证明：如图， 设，，其中， 由（2）知，若，，则， 令，，得， ， 所以①， 将和相减，得， ，将代入①， 所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 记等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 40 B. 20 C. 25 D. 30 4. 已知复数满足，则“”是“复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆台的上、下底面直径分别是2和4，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角所对的边分别是，若，且，则的外接圆的周长为（ ） A B. C. D. 7. 如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A B. 点在圆的内部 C 圆与圆C外切 D. 当直线平分圆C的周长时， 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则有两解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则______. 13. 函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上的最小值为______. 14. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. DeepSeek，全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同，某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高，低廉三个类别进行数据统计如表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营，低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 26 14 60 100 OpenAI 42 28 30 100 （1）请填写如下列联表，根据小概率的独立性检验，分析两家公司的运营成本是否存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI （2）已知DeepSeek公司的客户中有5个“星级客户”受邀为代表参加线下体验活动，每个客户参加活动的概率均为，求恰有3个客户参加线下体验活动的概率. 附： k 16. 记数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）记，求 17. 已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥． （1）若点F在线段AP上，且平面，求的值； （2）若平面平面，求平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 19. 已知函数 （1）若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的a，，，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $