暑假预习：判断集合包含关系、判断集合相等、子集与真子集、利用集合包含关系求参数专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合基础概念与应用，以判断关系、子集计算、参数求解为递进逻辑，覆盖选择、填空、解答多元题型，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断集合包含关系|例4+变式4|选择/填空，直接判断或符号填空|从元素特征分析集合关系，构建包含概念认知| |判断集合相等|例2+变式2|多选题，多表示形式集合比较|基于元素完全相同定义，强化集合本质理解| |子集与真子集|例4+变式4|选择/填空，个数计算与子集列举|从集合元素个数推导子集数量，深化包含关系应用| |利用集合包含关系求参数|例3+变式2|解答题，含参数范围讨论|综合集合关系与参数分类，培养逻辑推理与数学表达|

暑假预习：判断集合包含关系、判断集合相等、子集与真子集、利用集合包含关系求参数专项训练 暑假预习：判断集合包含关系、判断集合相等、子集与真子集、利用集合包含关系求参数专项训练 考点目录 判断集合包含关系 判断集合相等 子集与真子集 利用集合包含关系求参数 考点一 判断集合包含关系 例1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 例2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 例3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）用“”“ ”或“=”填空： （1）______；（2）______． 【答案】  【分析】根据元素与集合以及集合与集合间的关系即可填空. 【详解】（1）；（2）. 故答案为：；. 例4．（24-25高三下·上海·阶段检测）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 变式1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 变式2．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 变式3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 变式4．（24-25高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 考点二 判断集合相等 例1．（25-26高一上·陕西汉中·期中·多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 例2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测·多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，用列举法分别将各集合表示出来，再根据集合相等的条件，逐项判断即可. 【详解】根据题意，，故A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 变式1．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测·多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】借助集合定义逐项分析即可得. 【详解】对A：两个集合都为点集，与是不同点，故与为不同集合，故A错误； 对B：是点集，为数集，故B错误； 对C：与中元素相同，故与为同一集合，故C正确； 对D：，， 故与为同一集合，故D正确. 故选：CD. 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测·多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用集合相等的含义求解即可. 【详解】对于A，由，得，一一对应， 则； 对于B，由，得，一一对应，则； 对于C，由，得，一一对应，则； 对于D，，但方程无解，则与不相同 故选：ABC. 考点三 子集与真子集 例1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 例2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 例3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 【答案】 【分析】先求出集合，再根据子集个数公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 例4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】先列出集合的子集，即可得到集合. 【详解】因为集合，集合的子集有：， 所以. 故答案为： 变式1．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 变式2．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 变式3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 变式4．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 【答案】7 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，得含有元素的集合的真子集为： ， 所以满足条件的A有7个. 故答案为：7 考点四 利用集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·广东惠州·月考）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 例2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 例3．（25-26高一上·福建龙岩·月考）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 变式1．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 变式2．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：判断集合包含关系、判断集合相等、子集与真子集、利用集合包含关系求参数专项训练 暑假预习：判断集合包含关系、判断集合相等、子集与真子集、利用集合包含关系求参数专项训练 考点目录 判断集合包含关系 判断集合相等 子集与真子集 利用集合包含关系求参数 考点一 判断集合包含关系 例1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 例3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）用“”“ ”或“=”填空： （1）______；（2）______． 例4．（24-25高三下·上海·阶段检测）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 变式1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 变式4．（24-25高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 考点二 判断集合相等 例1．（25-26高一上·陕西汉中·期中·多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测·多选）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测·多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测·多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 考点三 子集与真子集 例1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 例2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 例3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 例4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，若，则__________. 变式1．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 变式2．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 变式4．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 考点四 利用集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·广东惠州·月考）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 例2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 例3．（25-26高一上·福建龙岩·月考）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 变式1．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $