2026年暑假人教版数学小初衔接讲义_第2讲_负数与数系扩充

小初衔接精品讲义 第2讲：负数与数系扩充 【适用对象】小学六年级升初一学生 【课时】45分钟 一、知识导入：为什么要“负”的数？ 【情境】回顾小学学过的数： 自然数：0、1、2、3、4……← 用来“计数”和“表示没有” 分数和小数：、0.75、3.14……← 用来“分不够整”的时候 但是，这些数够用吗？看看下面三个场景： 场景① 今天北京气温 -5℃～3℃。-5℃是什么意思？ 零下5摄氏度。“零下”这个意思，小学的数表示不了——你不能写“0下5”。 场景② 小明有10元钱，买书花了15元。他“多花了”的那部分怎么表示？ 算术方法：10-15=？→ 算不出来！因为“大数减小数”在小学没学过。 场景③ 吐鲁番盆地最低点比海平面低155米，怎么表示它的海拔？ 写“-155米”，这就是负数。比海平面“低”，就是与“高”相反的意义。 → 当我们需要表示“相反意义的量”时，只有自然数和分数不够用了，必须引进新的数——负数！ 二、核心知识点 1. 正数与负数 正数：大于0的数。如 1、2、3、、0.75…… 正数前面可以加“+”号（通常省略）：+3就是3。 负数：在正数前面加“-”号的数。如 -1、-2、-3、-½、-0.75…… 用正负数表示相反意义的量（关键！）： 零上5℃ → +5℃　　零下5℃ → -5℃ 收入100元 → +100元　　支出30元 → -30元 海拔高120米 → +120米　　海拔低155米 → -155米 ★ 0的身份：0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界。 小学里0表示“没有”，现在要升级：0还表示“基准”和“分界”（0℃、海平面）。 2. 数系的扩充——从自然数到有理数 引入负数后，数的家族变大了！我们来理一理家谱： 整数：…-3、-2、-1、0、1、2、3… 正整数：1、2、3…（就是小学的自然数去掉0） 0 负整数：-1、-2、-3…（“新成员”） 分数：、、0.75、-2.1… 正分数（含有限小数）：、0.75、3.14… 负分数（含有限小数）：、-2.1… 整数和分数统称有理数。 数系扩充路线： 自然数（0,1,2,3…）→ 整数（加入负整数）→ 有理数（加入负分数） ★ 注意：小学说“自然数”包含0，初中里这个规定不变。但“正整数”不包含0！ 3. 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 例如：3和-3互为相反数；+7和-7互为相反数。 ★ 特别地：0的相反数是0。（0是唯一一个相反数等于自身的数） 一般地：a 的相反数是 -a。（注意：-a不一定是负数！当a=-2时，-a=-(-2)=2） 核心性质：互为相反数的两个数相加等于0。 a + (-a) = 0　← 这个性质后面解方程时非常有用！ 4. 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：① 原点（0的位置）② 正方向（通常右边）③ 单位长度（1格代表多少） 数轴上的规律： • 数轴上的点与有理数一一对应——每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 • 右边的数总是大于左边的数 • 正数在原点右侧，负数在原点左侧 ★ 数轴的意义：它是把“数”和“形”结合起来的第一个工具——以后学函数图像全靠它！ 5. 绝对值（重点！！） 定义：数轴上，一个数a对应的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作 |a| 。 绝对值的计算规则： ① 正数的绝对值是它本身：|5| = 5 ② 负数的绝对值是它的相反数：|-3| = 3 ③ 0的绝对值是0：|0| = 0 ★ 绝对值的非负性：|a| ≥ 0（任何数的绝对值都不是负数） 重要结论： ① 互为相反数的两个数绝对值相等：|-3| = |3| = 3 ② 比较两个负数的大小：绝对值大的反而小。例如：|-5|=5 > |-3|=3，所以 -5 < -3 ③ 数轴上两点间的距离 = 两数之差的绝对值。例如：3和-2的距离 = |3-(-2)| = 5 口诀：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值去掉负号，0的绝对值还是0。 三、典型例题 【基础篇】——夯实基本功 例1 （正负数识别）下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪个既不是正数也不是负数？ +3　-5　0　　0.7　-(-4)　|-7|　-|0| 【答案】 正数：+3、0.7　← 注意 -(-4)=4是正数，|-7|=7是正数 负数：-5、 既不是正数也不是负数：0　← 注意 -|0|=0，也不是负数！ 例2 （相反数与绝对值）填空： （1）-3的相反数是____；（2）|-5| =____；（3）-(-2) =____；（4）-|+3| =____ 【答案】 （1）3　（2）5　（3）2　← “-(-2)”就是-2的相反数　（4）-3　← 先算|+3|=3，再取相反数 例3 （比较大小）用“<”连接：-3.5　-3.2　0　|-4|　-(-1) 【解题步骤】 解：先化简各数：|-4|=4，-(-1)=1 再比较：-3.5 < -3.2 < 0 < -(-1) < |-4| 即 -3.5 < -3.2 < 0 < 1 < 4　 【提高篇】——灵活应用 例4 （非负性的应用）已知 |x-2| + |y+1| = 0，求 x+y 的值。 【解题步骤】 解：因为绝对值非负，即 |x-2|≥0，|y+1|≥0 两个非负数之和为0，只能都为0： 　|x-2|=0 → x=2 　|y+1|=0 → y=-1 　∴ x+y = 2+(-1) = 1 例5 （绝对值化简）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如下图： 化简：|a-b| + |b+c| - |c-a| 【解题步骤】 解：由数轴可知：c < a < 0 < b ∴ a-b < 0（小减大），故 |a-b| = -(a-b) = b-a ∴ c-a < 0（c在a左侧），故 |c-a| = -(c-a) = a-c 原式 = (b-a) + (b+c) - (a-c) = b-a+b+c-a+c = 2b-2a+2c ★ 本题考查：用数轴判断大小关系 → 判断绝对值内部符号 → 去掉绝对值符号 【拓展篇】——思维挑战 例6 （绝对值最值问题）求 |x-1| + |x-3| 的最小值。 【解题思路】 解：|x-1|表示数轴上x到1的距离，|x-3|表示x到3的距离 即求：数轴上一点x到1和3的距离之和 当x在1和3之间（含1和3）时，距离之和最小 最小值 = 3-1 = 2 验证：x=2时，|2-1|+|2-3|=1+1=2 ✔ ★ 拓展：若改为 |x-1|+|x-3|+|x-5|，最小值在x=3时取得，为4。（中间点原理） 四、配套练习 A组：基础巩固 1. 分类：将下列各数填入对应的括号内： +2　-3　0　　-0.5　7　-(-1)　|-4|　-|0|　3.14　-π 正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　} 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　} 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　} 负分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　} 1. 填空： a) -5的相反数是____； b) |-7| =____； c) 若|a|=3，则a=____； d) 在数轴上，表示-2的点在原点的____侧，距原点____个单位长度。 1. 比较大小（用“>”连接）： a) -2　-5　 b) |-3|　0　-(-2)　-|-4| B组：能力提升 1. 已知|a|=5，|b|=3，且a<b，求a-b的值。 1. 某地最高海拔为+8848米（珠峰），最低海拔为-155米（吐鲁番盆地），最高处与最低处的高度差是多少米？ 1. 已知|x+2|+|y-3|=0，求 2x-y 的值。 1. 在数轴上，点A表示的数是-1，点B在点A右侧，且AB=4，求点B表示的数。 C组：拓展挑战 1. 有理数a、b满足 |a-2|+|b+3|=0，求 |a|+|b|+|a+b| 的值。 1. 求 |x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值，并说明此时x的值。 1. 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如下图，化简 |a+c|+|c-b|-|a-b|。 （提示：a < c < 0 < b，且|c|>|a|） 五、小结与易错点 【本节核心】 1. 负数的引入是为了表示“相反意义的量”，这是数系扩充的核心动力。 1. 数系扩充路线：自然数 → 整数 → 有理数。 1. 相反数和绝对值是有理数的两个核心概念，后续学运算全靠它们。 1. 数轴是“数形结合”的起点，要养成“看到问题先画数轴”的习惯。 【易错点警示】 ✘ 概念混淆：认为“-a一定是负数”。当a=-2时，-a=2是正数！ ✘ 符号处理：-(-3)=3 和 -(+3)=-3 弄混。记住：“-”号就是“取相反数”的意思。 ✘ 绝对值计算：|-3+5| 写成 |-3|+|5|=8（应先算 |-3+5|=|2|=2） ✘ 比较大小：认为 -5 > -3（因为5>3）。记住：负数比大小，绝对值大的反而小！ 附：练习参考答案 A组： 1. 正数集合：{+2, 7, -(-1), |-4|, 3.14} 负数集合：{-3, -0.5, -π} 整数集合：{+2, -3, 0, 7, -(-1), |-4|, -|0|} 负分数集合：{-0.5}　 注意：-π是无理数 2. a) 5　b) 7　c) a=±3　d) 左，2 3. a) -1/3 > -2 > -5　b) -|-4| < 0 < -(-2) < |-3|　← 即 -4 < 0 < 2 < 3 B组： 1. 由|a|=5得a=±5，由|b|=3得b=±3。 因为a<b，所以a=-5，b=±3。 当b=3时：a-b=-5-3=-8；当b=-3时：a-b=-5-(-3)=-2 2. 高度差 = 8848-(-155) = 8848+155 = 9003（米） 3. 由|x+2|+|y-3|=0，得x=-2，y=3。 2x-y = 2×(-2)-3 = -4-3 = -7 4. 点B在A右侧，AB=4，所以B=-1+4=3 C组： 1. 由|a-2|+|b+3|=0，得a=2，b=-3。 |a|+|b|+|a+b| = |2|+|-3|+|2+(-3)| = 2+3+|-1| = 2+3+1 = 6 2. |x-1|+|x-2|+|x-3|表示x到1、2、3的距离之和。 当x=2（中间点）时，最小值 = |2-1|+|2-2|+|2-3| = 1+0+1 = 2 3. 由数轴：a < c < 0 < b，且|c|>|a|。 a+c < 0（两个负数之和），故|a+c| = -(a+c) c-b < 0（c<b），故|c-b| = -(c-b) = b-c a-b < 0（a<b），故|a-b| = -(a-b) = b-a 原式 = -(a+c)+(b-c)-(b-a) = -a-c+b-c-b+a = -2c 学科网（北京）股份有限公司 $