精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2025-2026学年第二学期期末学情质量监测高一数学试题

2025—2026学年第二学期期末学情质量监测 高一数学 （分值：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】已知， 则原式可化为：. 3. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与相交 C. A，B，C，D四点中可以有三点共线 D. A，B，C，D四点中不存在三点共线 【答案】D 【解析】 【详解】若直线与平行或相交，则两条直线确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，故A、B均错误. 若四点中有三点共线，则这条直线与第四个点确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，因此四点中不存在三点共线，故C错误，D正确. 4. 为提高学生学习数学的热情，学校举行高一年级数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的8人的成绩：（单位：分）78，70，72，79，80，81，84，83，则这8人成绩的第80百分位数是（ ） A. 84 B. 83 C. 83.5 D. 70 【答案】B 【解析】 【详解】将数据按升序排列可得：70，72，78，79，80，81，83，84， 因为，所以这8人成绩的第80百分位数是83. 5. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，A，B，C三种不同型号的产品的月产量分别为200件，300件，500件.现用分层抽样的方法抽取1个容量为100的样本，则样本中A种型号的产品件数为（ ） A. 40 B. 60 C. 20 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】总产量为件， 抽样比为， 型号样本数为件， 所以答案是C. 6. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 7. 某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设塔高 ，利用三角函数将 用 表示，再结合 三点共线及余弦定理建立关于 的方程求解. 【详解】设寂光塔的高度米，由题意可知 平面， 所以 均为直角三角形； 在 Rt 中， ，则 ； 在 Rt 中， ，则 ； 在 Rt 中， ，则 ； 在 中，由余弦定理得： ， 在 中，由余弦定理得： ， 因为三点共线，所以 ， 即 。所以 ， 解得 ， 所以 .故寂光塔的高度为米. 8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 则可设，设， 由， 得， 即，化简整理得， 所以，所以， 所以， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简复数，利用复数的性质依次判断即可. 【详解】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，，其中虚部为的系数，故B正确； 对于C，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故C错误； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 10. 软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确． 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以； 两组同学该周课外运动时长的方差分别为， ，所以， 因此. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则形状为_____. 【答案】直角三角形 【解析】 【详解】将代入，可得， 解得，即， 即，化简得， 因为三角形边长，所以，即， 则是直角三角形. 14. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是弧的中点，则圆锥的表面积为_____.直线与平面所成角的正弦值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用圆锥的表面积计算公式即可；第二空先作出直线与平面所成角，再求出直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】第一空：； 第二空：取中点，连接，,，作于点， 因为，点为中点，所以， 又因为平面，所以， 又,平面， 所以平面，平面， 所以，又，且平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 因为为圆锥底面圆的直径，是弧的中点， 所以为等腰直角三角形，, 在中，,, 得到,则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. （分第一～五组区间分别为、、、、） （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数. 【答案】（1）， （2）平均数为，第80百分位数为 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数的关系求年龄在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为5，年龄在 内的频率为 ， 故选取的市民年龄在内的人数为 ， 由于直方图所有小矩形的面积之和为1， 所以，整理得，解得. 【小问2详解】 根据频率分布直方图，各组的频率分别为， 估计这200名市民年龄的平均数为： . 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 因为，所以第80百分位数位于第四组内， 设第80百分位数为，则，解得， 故估计第80百分位数为. 16. 如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接 交于， 连接， 则为的中位线， 所以， 又平面，平面， 平面； （2）在边长为2的正方体中，平面， 平面， ， 底面为正方形， ， 平面平面， 平面，又平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 交于， 连接，证明后得线面平行； （2）借助平面，可得平面平面； （3）根据棱锥的体积公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 17. 如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若D为BC边上一点，，求AB的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角的性质得，即可得； （2）应用余弦定理求得，最后应用正弦定理求AB的长. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即，即． ∵，则． ∴，即，又， ∴． 【小问2详解】 在中，，，， ∴，， ∴． 在中，，，， 由正弦定理，得，可得. 18. 如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.是边长为的等边三角形. （1）证明：平面面； （2）求直线和所成角的余弦值； （3）点在棱上，如图2，，求二面角的正切值. 【答案】（1）因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面． （2） （3） 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质得出平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）分别取的中点M、N，连接，得到异面直线和所成角（或其补角）即为，再根据已知求其余弦值； （3）过点E作交于N，过点N作交于点M，连接，利用面面垂直、线面垂直的判定和性质定理，确定为二面角的平面角，再由已知求其正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图，分别取的中点M、N，连接， 因为为中点，所以且， 所以异面直线和所成角（或其补角）即为， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 由，得，得， 在直角三角形中，则， 在中，， 所以直线和所成角的余弦值为． 【小问3详解】 如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以，，则， 在中，因为，所以，而，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为，，为的中点，则， 因为，则，且是的中点， 又，则，所以， 所以， 所以二面角平面角的正切值为． 19. 在中，已知，的面积满足：. （1）求的值； （2）如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记. （i）用含的式子分别表示、与的面积； （ii）若，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （i）的面积为，的面积为，的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比； （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出，的面积； （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，得， 又，所以，而， 在中，由余弦定理可知，， 所以，则. 【小问2详解】 （i）记，，的面积分别为，，， 因为，，则， 设，在中，由余弦定理可知， ①， ②， 由①②得到，又由（1）知， 则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为，的面积为. （ii）由（i）知的面积为，由， 可得， 令，则，， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学情质量监测 高一数学 （分值：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与相交 C. A，B，C，D四点中可以有三点共线 D. A，B，C，D四点中不存在三点共线 4. 为提高学生学习数学的热情，学校举行高一年级数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的8人的成绩：（单位：分）78，70，72，79，80，81，84，83，则这8人成绩的第80百分位数是（ ） A. 84 B. 83 C. 83.5 D. 70 5. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，A，B，C三种不同型号的产品的月产量分别为200件，300件，500件.现用分层抽样的方法抽取1个容量为100的样本，则样本中A种型号的产品件数为（ ） A. 40 B. 60 C. 20 D. 100 6. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第三象限 D. 10. 软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. C. D. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则形状为_____. 14. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是弧的中点，则圆锥的表面积为_____.直线与平面所成角的正弦值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. （分第一～五组区间分别为、、、、） （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数. 16. 如图，在边长为2的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 17. 如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若D为BC边上一点，，求AB的长. 18. 如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.是边长为的等边三角形. （1）证明：平面面； （2）求直线和所成角的余弦值； （3）点在棱上，如图2，，求二面角的正切值. 19. 在中，已知，的面积满足：. （1）求的值； （2）如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记. （i）用含的式子分别表示、与的面积； （ii）若，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $