精品解析：湖南邵阳市第二中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学

邵阳市二中2026年上学期期末考试 高一年一期数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则，的值分别为（ ） A. 1， B. 4，1 C. ，1 D. 1，3 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 3. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 4. 若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（ ） A. 31 B. 27 C. 13 D. 9 7. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若||＝||，则＝ B. 已知≠，且·＝·，则 C. 若＝，＝，则＝ D. 若＝，则||＝||且// 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，则_______． 13. 在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则___________. 14. 的面积为.若，，则角等于____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演步骤． 15. 向量，，． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. （1）证明：平面PCD； （2）求四棱锥的体积. 17. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 19. 在中，已知． （1）求C． （2）如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中2026年上学期期末考试 高一年一期数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则，的值分别为（ ） A. 1， B. 4，1 C. ，1 D. 1，3 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中平面公理即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A错误， 对于B，一条直线以及直线外一点可以确定一个平面,故B错误， 对于C，圆心和不与圆心在同一直线上的两个点才可以确定一个平面，故C错误， 对于D，两相交直线可以确定一个平面，故D正确. 故选:D 3. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 4. 若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆台上、下底的面积分别为，，设上底半径为，下底半径为， 所以，，解得，(负根舍去)， 设圆台母线为，由勾股定理得，且设圆台侧面积为， 故，故C正确. 故选：C 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理得， 所以． 故选：D． 6. 已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（ ） A. 31 B. 27 C. 13 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由样本数据的方差的性质求解． 【详解】因为，所以． 7. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，或与相交，故B错误； 对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误； 对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则， 过相交直线 作平面 ， 设 ，， 因为 ，，所以 ，又 ， 且  都在平面 γ内，所以 ， 因为 ， 根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ， 根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确. 8. 设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，换元即可求出最小值. 【详解】如图，，，， ，得. ，， 设，则. 当，即，也就是时，取最小值. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若||＝||，则＝ B. 已知≠，且·＝·，则 C. 若＝，＝，则＝ D. 若＝，则||＝||且// 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项． 【详解】两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确； 若≠，且·＝·，即（-）·=0，则，或=，B错误． 故选：AB． 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线的定义、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可确定ABC的正误，利用展开法和点到点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 因为为中点，所以， 因为 ，所以， 所以过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形， 又， 所以梯形的高为， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 因为，所以当为的中点时，， 此时直线与所成角最大为， 当与点或重合时，直线与所成角最小， 因为，所以直线与所成角最小为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C， 因为，又平面，平面， 所以平面，所以上的点到平面的距离均相等， 所以到平面的距离为定值，又的面积固定， 所以当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，将等腰直角三角形展开与矩形在同一个平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以 故答案为： 13. 在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长、相交于点，可得是的中点，由得，根据平面向量线性运算法则计算得到，可求得的值，即可得解. 【详解】延长、相交于点，因为，， 所以是的中点，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 又， 所以，故 故答案为：. 14. 的面积为.若，，则角等于____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理，可求角，再结合余弦定理和三角形的面积公式可求角，最后利用三角形内角和定理求角. 【详解】由正弦定理，可得， 所以. 因为为三角形内角，所以，所以，可得. 由余弦定理，， 由可得， 又，所以， 又为三角形内角，所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演步骤． 15. 向量，，． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示和向量相等的条件，得方程组，解出m，n即可； （2）由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 向量，， 若，则有，解得； 【小问2详解】 ，， 由，则有，解得. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. （1）证明：平面PCD； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 17. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】（1） （2） （3）中位数为，平均数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. 【小问2详解】 由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. 【小问3详解】 由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 19. 在中，已知． （1）求C． （2）如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1） 应用已知化简得出，再结合正弦定理边角转化应用余弦定理得出结合角的范围求角； （2）（ⅰ）应用平面向量的数量积运算律结合两角和差公式及正弦值域求解；（ⅱ）设，应用数乘运算及模长化简，最后结合基本不等式得出最小值. 【小问1详解】 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）设，则，， ， 所以，， 又，所以，则的取值范围为． （ⅱ）设（），则， 因为（）， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $