湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项符合题目要求的.) 1.若复数2=1-（为虚数单位1，则在复平面内，复数x对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 别 2.已知单位向量a,b满足a⊥(a十2b),则a与b夹角的余弦值为 A号 B.0 c 吗 地 3.已知两条不同的直线a,b,三个不同的平面a,B,Y,则下列结论正确的是 邮 如 A.若a∥B,a∥a,则a∥B) 製 B.若aLB,b⊥Y,β∥y,则a⊥b C.若&⊥B,a⊥Y,β∩y=a,则a⊥a 郡 D.若a⊥a,bCβ，a⊥b,则a⊥3 茶 鱼.已知平面向量a=(5,0),b=(2,一1)，则向量a十b在向量b上的投影向 岗 量为 A.(6,-3) B.(4,-2) C.(2,-1) 山.(5,0) 5.风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞 行器.如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD,E为 垂足，AC=4AE,CD=√13AE,则tan∠ADC= 北 A.-8 B.-7 c D.8 高一数学试题(N)第1页（共8页） 6.已知一个古典概型的样本空间2和事件A,B,满足n(2)=10,n(A)= 4,n(B)=3,n(AUB)=6(n表示事件包含的样本点的个数)，则下列说 法正确的是 APB-是 BPAB)=品 C.事件A与事件B互斥 D.事件A与事件B独立 7.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评 委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计 图，则 分数 90 87 86 85 8181 .82 84 80 80 83 82 81 79 75 01 2 345 6评委编号 ◆一甲◆乙 A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的中位数小于飞得分的中位数 C.甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 8.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间 弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的 差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个 面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π一3×否=元若正四 棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为√反，则正四棱锥 S-ABCD在顶点A处的曲率为 A号 B.π c 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分.) 9.已知i为虚数单位，之∈C,以下选项正确的是 A.若十21=2十i,则之的虚部为一1 B若∈R,则x∈R C设x中则=号 2 D.若1≤|z≤2，则之在复平面内所对应的点的集合所构成的图形面积 为π 高一数学试题(N)第2页（共8页） 10.下列说法正确的是 A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的 样本，个体m被抽到的概率是0.2 B.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b,则logb为整数 的概率是日 C.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球 与至少有一个红球是两个对立的事件 D.若样本数据01，x2,…,x1o的标准差为8，则数据2一1,2x2一1，… 2x10一1的标准差为16 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AiB1CD1中，点P满足BP= λBC+uBB1,其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，则 A当|AP|=2时，点P的轨迹长为 B当入=2时，有且仅有一个点P,使得AP⊥平面ABD C.当A=2时，不存在点P,使得AP∥AB D,当入十H=2时，三棱锥P-A1BD的体积为定值 选择题答题卡 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取 一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45,36，则 该校高一年级的女生人数为 13.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4，它的侧面展开图扇环的圆 心角为90°，则这个圆台的侧面积为 高一数学试题(N)第3页（共8页） 14.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的 一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动 构成，如从1移动到9,1→2→3→5→7→8→9就是其中一条移动路线： 从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为rn,从1移动到 9的事件中，经过数字n(n=2,3,…,8)的事件概率记为，则rs= ;5= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m= (cosA,cosB),n=(a,2c-b),且m∥n. (1)求角A的大小； (2)若a=4,求△ABC面积的最大值， 高一数学试题(N)第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要 组成部分，并入选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游 的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满 意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该 兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段： [40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这100名游客满意度分值的众 数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在[70,80)的平均数之1=75，方差s=9,在[80， 90)的平均数为2=85，方差s3=4,试求满意度分值在[70,90)的平 均数乏和方差s2. 高一数学试题(N)第5页（共8页） 17.（本小题满分15分) 如图所示，直三棱柱ABC-A1B,C1的所有棱长均相等，点D为BC的 中点，点E为A1C的中点. A B (1)求证：DE∥平面AA1BB; (2)若三棱锥B-CDE的体积为，求该三棱柱的外接球表面积 高一数学试题(N)第6页（共8页） 18.（本小题满分17分) 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进人决赛.已知甲与乙 比赛时，甲获胜的概率为1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为2，乙与 丙比赛时，乙获胜的概率为3.其中，1,2,3∈(0,1)，且每局比赛相 互独立. 决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛， 丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类 推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜 者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束 (1)假设1=2=p3=0.6. (ⅰ)求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； (ⅱ)求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若1十p3<1,假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手 的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略。 高一数学试题(N)第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2√3的菱形，∠BAD=否，平 面PAC⊥平面ABCD,PD⊥AB. A (1)证明：PB=PD; (2)设直线CP与平面ABCD所成角为于.若点M为棱CP上的动点 (不包括端点)，求二面角A-BM-C的正弦值的最小值. 高一数学试题(N)第8页（共8页）高一数学期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项符合题目要求的.) 1.若复数z=1一(1为虚数单位)，则在复平面内，复数之对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 说 2.已知单位向量a,b满足a⊥(a+2b),则a与b夹角的余弦值为 A- B.0 c n号 如 3.已知两条不同的直线a,b,三个不同的平面a,β，Y,则下列结论正确的是 啟 如 A.若a∥B,a∥a,则a∥g 製 B.若a⊥B,b⊥Y,β∥y,则a⊥b C.若a⊥B,a⊥Y,∩y=a,则a⊥a 弥 D.若a⊥a,bCB,a⊥b,则&⊥β 南 箭 4.已知平面向量a=(5,0),b=(2,一1)，则向量a十b在向量b上的投影向 常 期 量为 A.(6,-3) B.(4,-2) C.(2,-1) D.(5,0) 5.风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞 行器.如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD,E为 垂足，AC=4AE,CD=√13AE,则tan∠ADC= A.-8 B.- c D.8 高一数学试题(N)第1页（共8页） 6.已知一个古典概型的样本空间2和事件A,B,满足n(2)=10,n(A)= 4,n(B)=3,n(AUB)=6(n表示事件包含的样本点的个数)，则下列说 法正确的是 AP(B)=是 B.P(AB)-0 C.事件A与事件B互斥 D.事件A与事件B独立 7.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评 委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计 图，则 ↑分数 90 86 85 8181 80 80 8284 83 82 81 75 79 0 1 23456评委编号 。甲…。. A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的中位数小于乙得分的中位数 C.甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 8.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间 弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的 差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个 面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2x一3×号=元，若正四 棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为√2，则正四棱锥 S-ABCD在顶点A处的曲率为 A号 B.元 C.Bx 4 D.5x 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分.) 9.已知i为虚数单位，x∈C,以下选项正确的是 A.若之十2i=2十i,则之的虚部为一1 B.若∈R,则x∈R C设=则-罗 2 D.若1≤之≤2，则之在复平面内所对应的点的集合所构成的图形面积 为π 高一数学试题(N)第2页（共8页） 10.下列说法正确的是 A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的 样本，个体m被抽到的概率是0.2 B.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b,则logb为整数 的概率是号 C.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球 与至少有一个红球是两个对立的事件 D.若样本数据x1,x2,…,x1o的标准差为8，则数据2x1一1,2x2一1，， 2x10一1的标准差为16 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD,中，点P满足BP= λBC+μBB1,其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，则 A当|AP=√2时，点P的轨迹长为 B当入=2时，有且仅有一个点P,使得AP⊥平面A1BD C.当=时，不存在点P,使得AP∥AB D.当入十H-2时，三棱锥P-A1BD的体积为定值 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取 一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45,36，则 该校高一年级的女生人数为 13.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4，它的侧面展开图扇环的圆 心角为90°，则这个圆台的侧面积为 高一数学试题(N)第3页（共8页） 14.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的 一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动 构成，如从1移动到9,1→2→3→5→7→8→9就是其中一条移动路线。 从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为rn,从1移动到 9的事件中，经过数字n(n=2,3,…,8)的事件概率记为pm,则rs= ;5= 2文4 68 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m= (cosA,cosB),n=(a,2c-b),且m∥n. (1)求角A的大小： (2)若a=4,求△ABC面积的最大值， 高一数学试题(N)第4页（共8页） 16.（本小题满分15分) 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要 组成部分，并入选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游 的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满 意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该 兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段： [40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. ↑频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这100名游客满意度分值的众 数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在[70,80)的平均数1=75，方差s=9,在[80， 90)的平均数为z2=85,方差s号=4，试求满意度分值在[70,90)的平 均数之和方差s2 高一数学试题(N)第5页（共8页） 17.（本小题满分15分) 如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，点D为B1C的 中点，点E为AC的中点. B D (1)求证：DE∥平面AA1B1B; (2)若三棱锥B-CDE的体积为。，求该三棱柱的外接球表面积 高一数学试题(N)第6页（共8页） 18.（本小题满分17分) 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙 比赛时，甲获胜的概率为p1,甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2,乙与 丙比赛时，乙获胜的概率为3.其中，1,2,3∈(0,1)，且每局比赛相 互独立 决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛， 丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类 推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜 者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束 (1)假设1=2=p3=0.6. (ⅰ)求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； (ⅱ)求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若p1十3<1，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手 的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略。 高一数学试题(N)第7页（共8页） 19.（本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2√3的菱形，∠BAD=,平 面PAC⊥平面ABCD,PD⊥AB. (1)证明：PB=PD； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为.若点M为棱CP上的动点 (不包括端点)，求二面角A-BM-C的正弦值的最小值 高一数学试题(N)第8页（共8页）