湖南邵阳市沅邵联盟2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是（ ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 4．在中，点D在边上，．记则（ ） A． B． C． D． 5．某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，，点D是的边上的动点，则的最小值为（ ） A．-1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若在上恰好有三个零点，则 D． 11．如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的值为___________． 13．已知一组数据分别是，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是___________． 14．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平面向量与的夹角为，且，． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 16．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17．在中，角所对的边分别为，满足． （1）求的大小； （2）若且面积为，求的周长． 18．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD底面为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥A-PDC的体积； （3）求二面角的正弦值． 19．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． （1）已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求； （3）已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． “沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BC 10．ACD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.4 13.8 14． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由题意得 （2）因为与垂直 所以 即，解得 16．（1）由频率分布直方图，得，则； 平均数为 （2）评分在，的频率分别为0.05，0.1， 则在中抽取人，记为； 在中抽取4人，记为． 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件A， 则，共有8个结果， 所以． 17．（1）． ， ， ， ， ． （2）由，解得 根据余弦定理得 所以 所以，可得的周长为15分 17．（1）证明：如图，连接交于，连接， 因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点， 所以，又平面平面， 所以平面； （2）取的中点为，连接， 易知，且， 又平面底面，平面底面， 所以平面， （3）取BC的中点G，连接FG，PG 因为底面为正方形，F，G为AD与BC的中点， 所以BC 因为PF平面，所以PF 又因为PFFG=F 所以平面PFG，所以 所以为二面角的平面角 中，， 所以 ，二面角的正弦值 19．解：（1）， 所以函数的“和谐向量”向量， 因为，所以， 所以的取值范围为 （2）设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以 （3）由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以，所以，即， 而，则，此时，等式不成立， 所以在的图象上不存在一点，使 学科网（北京）股份有限公司 $