精品解析：山东省济宁市汶上县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二次根式的基本性质即可计算出结果． 【详解】， ． 2. 在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数．根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，． 统计各数值出现的次数：出现1次，出现1次，出现3次，出现1次． 其中9出现的次数最多， 因此这组数据的众数为， 故选：C． 3. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】根据题意得， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次计算验证即可． 【详解】解：选项A：，，，不能组成直角三角形； 选项B：，，，不能组成直角三角形； 选项C：，，，不能组成直角三角形； 选项D：，，即，能组成直角三角形． 5. 已知点，点在正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两点的横坐标分别代入正比例函数解析式，求出和的值，再逐一判断选项即可． 【详解】∵点，在正比例函数的图象上， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴，且，， 因此只有选项A正确． 6. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 7. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 9. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：将代入得： ． 故答案为：． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，垂足为点E，连接．若，，则菱形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，可计算的长，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，可计算的长，进而得到的长，再由勾股定理得菱形边长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴  ∴菱形的周长为． 15. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可． （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）． （2）． 17. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】（1）； （2）D； （3）该景区月份的服务质量良好， ， ， 该景区月份的服务质量良好． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，，组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； 【小问3详解】 略 18. 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； 【小问2详解】 略 19. 如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等腰三角形的性质得出结论即可； （2）先利用平行四边形性质得，结合已知推导得到，进而证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵点，分别是边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵，点是边上的中点， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，得到；再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）如图，在同一平面直角坐标系中画出一次函数与的图象，并结合图象直接写出不等式的解集； （3）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）两个函数图象，如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入，然后解关于k、b的方程组即可； （2）找出图象中的两个点，画出函数图象即可；根据函数图象写出不等式的解集即可； （3）根据题意画出图形，结合图形，得出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把和分别代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得，两个一次函数的解析式分别为：和， 画出图象略： 由图象可得，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即经过点时，，此时， 当时，直线与平行， 如图， 根据图象可以看出，经过原点，在直线和之间的直线，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值， ∴m的取值范围为． 22. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）6． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】（1）购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【小问1详解】 设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 【小问2详解】 设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 【小问3详解】 ①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知点，点在正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 9. 已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，那么__________． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，垂足为点E，连接．若，，则菱形的周长是________． 15. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 18. 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 19. 如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 20. 如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）如图，在同一平面直角坐标系中画出一次函数与的图象，并结合图象直接写出不等式的解集； （3）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值，请直接写出m的取值范围． 22. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 23. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $