精品解析：山东德州市齐河县2025-2026学年下学期期末教学质量检测八年级数学试题

2025-2026学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本大题共10个小题，40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选：A． 2. 下列各式一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，，该项错误； 对于B选项，，该项错误； 对于C选项，当时，，该项错误； 对于D选项，，该项正确． 3. 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均分 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量．根据中位数的意义即可求解． 【详解】解：某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，所用的统计量是中位数， 故选：D． 4. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 5. 在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件． 【详解】解：A． 由，结合三角形内角和为，得，故，为直角三角形，排除A． B． ，总份数为，对应角度分别为，，，最大角为，非直角，故不能判定为直角三角形． C． 展开得，即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除C． D． 设，，，验证即，满足勾股定理的逆定理，为直角三角形，排除D． 故选B． 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 7. 七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ）． A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据大正方形面积求出边长，再设七巧板最大等腰直角三角形直角边长为，利用大正方形对角线建立等量关系求出，最后结合图2矩形宽的组成，算出宽度． 【详解】解：已知图1完整正方形面积为4，设边长为， ， ， 大三角形斜边长度：， 图2中矩形竖直高度（宽）是大等腰直角三角形的直角边长，设为， 则， ∴， 因此图2矩形的宽为． 8. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）． A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数与轴交点横坐标对应一元一次方程的解；两个一次函数交点坐标对应方程组的解，交点横坐标对应方程的解；根据图像上下位置可判断不等式的解集． 【详解】解：一次函数与轴交于，即当时，， 因此方程的解是，A错误． 直线与交于点，即当时，， 因此方程的解是，B错误． 两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解．两直线交点为， 所以方程组的解是，C正确． 不等式的几何意义：直线图像在直线下方时的取值范围． 由图可知，交点横坐标为1，当时，在下方， 因此解集是，D错误． 9. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得，结合推出，即为等腰三角形；再结合是中点，得，在中，是斜边中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，对角线互相平分，． 已知，则， 得， 是等腰三角形． 为中点， 等腰中，中线， ， 即是直角三角形． 又为的中点， 在中，斜边中线． ， ． 10. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．设这条直线的解析式是，先根据这条直线经过坐标原点可得，再根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：设这条直线的解析式是， ∵这条直线经过坐标原点， ∴， 又∵这条直线经过点，且当时，有， ∴， ∴这条直线的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 14. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得到，，然后出的邻边长求出面积即可． 【详解】解：延长交于点H， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴，， 又∵， ∴是矩形， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 【答案】##④① 【解析】 【分析】本题考查了函数图象获取信息，从函数图象获取信息是解题的关键： 看图象中轿车初始距甲地的距离，确定①正确．用货车行驶全程的路程除以总时间，得速度，故②错误． 先算相遇时间，再减去轿车行驶的时间，得休息，所以③错误．分别算出货车、轿车（行驶用时+休息）的时间，作差得，故④正确． 【详解】①由图象知轿车初始距甲地，故甲乙两地相距，正确． ②货车行驶，速度为，错误． ③相遇时货车行驶，用时；轿车行驶用时，休息时长为，错误． ④货车行驶全程用，轿车行驶全程（含休息）：行驶需，休息，总用时，，正确． 正确结论序号为． 故答案为：． 三、解答题（本大题8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）请按照给出的作法使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据（1）完成证明． 【答案】（1）作图如图所示． （2）证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴四边形是菱形．（四条边相等的四边形是菱形）． ∴平分（菱形的每一条对角线平分一组对角） 即平分． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，，可得四边形是菱形，则平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表 测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中、的值； （2）比较与的大小； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； （4）若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 【答案】（1）10和9，8 （2） （3）B， （4）B机器人 【解析】 【分析】（1）根据图象信息，得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分），解答即可； （2）先计算各自的平均数，再根据方差公式解答即可； （3）C组的平均分为分，根据占比计算加权平均数即可； （4）根据方差越小越稳定作出决策即可． 【小问1详解】 解：根据图象信息，得得A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 由此得到A的众数为10和9； 故或； C组机器人打分：6分有个；8分有个；9分有个； 10分有个；中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 故； 【小问2详解】 解：∵B机器人得分为：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， A机器人得分为：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6求这组数据的方差？ ∴，， 故， ， 故． 【小问3详解】 解：根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占， 故综合成绩为：A机器人：（分）， B机器人：（分）， C机器人：（分）， 故综合成绩最高的是B机器人，综合成绩为分， 故答案为：B，． 【小问4详解】 解：， 故选择B机器人． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，方差，根据统计量作出决策，熟练掌握公式计算是解题的关键． 19. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 【答案】（1）；图象见详解 （2）双层部分的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．画一次函数，求一次函数解析式等． （1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据得求出x的值，从而求出y的值即可． 【小问1详解】 解：描点如下： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为 (k、b为常数，且)， 将坐标和分别代入， 得：， 解得： 则， 当时，，当时，得时，解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． 【小问2详解】 解：根据题意，， 即， 解得：， 当时，得， 解得：， ∴此时双层部分的长度为． 20. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 【答案】（1），理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， 为直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴购物车把手到的距离为． 21. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； （2）由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）全体实数， （2）见解析 （3）①； ②或；③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图像，即可解答；②根据函数图像，即可解答；③画出一次函数，的图像，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：由函数得 ∴自变量的取值范围是全体实数，的取值范围是． 故答案为：全体实数，． 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 ①由图像可知，当时，；； ②由图像可知，当时，或； ③如图所示 ∵对于的每一个值，函数的值都小于函数的值， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∴k的取值范围为． 22. 【阅读材料】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____． 【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3， 【解析】 【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案； （2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； （3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案． 【详解】（1）令a=x，b=， ∵， ∴=2， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2． 故答案为：1，2 （2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为米， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米． （3）设，则， ∵， ∴≥=4， ∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4， ∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为． 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，解题的关键是理解阅读材料介绍的知识． 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的动点，且，连接，交于点． （1）如图1，请直接写出和的关系______； （2）如图2，连接，若平分，求证：； （3）如图3，连接，若，为的中点，请求出的最大值． 【答案】（1）， （2）证明：过点作于点，作交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，再由全等三角形的性质求证； （2）过点作于点，作交的延长线于点，先证明四边形是矩形，然后证明，即可等量代换证明； （3）取的中点，连接，，取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，而，再由斜边中线的性质得到，然后由三角形中位线可得，再由求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点，连接，，取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， ，点为中点， ， ， ，点为的中点， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， 当点落在线段上时，取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本大题共10个小题，40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式一定正确的是（） A. B. C. D. 3. 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均分 C. 众数 D. 中位数 4. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 5. 在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（ ）． A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）． A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 9. 如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 13. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 14. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 15. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后再以原速度继续行驶．设两车出发时间为（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为和（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．下列四个结论中： ①甲乙两地相距； ②货车行驶的速度为； ③轿车在途中休息的时长为2小时； ④货车行驶全程所用的时间比轿车行驶全程所用的时间（含休息时间）多小时． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）请按照给出的作法使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据（1）完成证明． 18. 我国机器人产业正处于高速发展时期．某科研团队研发了、、三款智能机器人．为测试这三款机器人在图像识别和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分100分）分别为88分、85分、89分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力的测试成绩．以下是、、三款机器人运动能力测试的部分数据信息： a．、两款机器人运动能力得分的折线图 b．款机器人运动能力得分的扇形统计图 c．、、三款机器人运动能力测试情况统计表 测试员打分情况 机器人 中位数 众数 运动能力测试成绩 方差 A 84 B 8 87 C 8 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中、的值； （2）比较与的大小； （3）按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，在、、三款机器人中综合成绩最高的是 ，其综合成绩是 分； （4）若选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请说明理由． 19. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 20 30 40 50 60 70 双层部分的长度 55 50 45 40 35 30 （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 20. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 21. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ； （2）由设计如下画图方案： 将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象； （3）利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 【阅读材料】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____． 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的动点，且，连接，交于点． （1）如图1，请直接写出和的关系______； （2）如图2，连接，若平分，求证：； （3）如图3，连接，若，为的中点，请求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $