20.1 认识二次根式 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念与性质，通过“知识回顾—情景导入—获取新知—例题讲解—课堂小结”链，以平方根、算术平方根为基础，结合“人参果下落时间”等情景问题及“试一试”填空，引导学生从旧知过渡到新知。 其亮点在于以情景化问题链培养数学眼光，通过(√a)²与√a²对比表格深化数学思维，用分类讨论例题强化数学语言表达。学生能提升抽象能力与推理意识，教师可依托结构化资源高效教学。

20.1 第1课时 二次根式的概念 随堂演练 获取新知 情景导入 例题讲解 知识回顾 第20章 二次根式 课堂小结 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 知识回顾 情景导入 唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷查询得知人参果下落的时间t与高度h之间的关系式为 . 是单项式吗？ 是多项式吗？ 不是 不是 它叫什么式子呢？ 答案马上揭晓! 胡123 (胡123) - 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础. 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为　　　,面积为S的正方形的边长为　 　.  (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为　 　m.  (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为　　　.  它们有什么共同特征? 都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. Administrator (A) - 让学生通过观察思考，学会用自己的语言来描述二次根式，以此锻炼学生的思考能力和语言表达能力。 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗? 一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. a≥0 1.从形式上看,都含有二次根号“ ” ;“ ”的根指数为2，即“ ” ，我们一般省略根指数2，写作“ ” 2.被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数. 3.二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”? 负数没有算术平方根， a≥0是二次根式有意义的前提条件，反之，称之为二次根式无意义。 1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数； 反之也成立，即： 有意义⇔a≥0. 2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数； 反之也成立，即： 无意义⇔a＜0. 3.二次根式双重非负性： ≥0， a≥0 二次根式 的值能小于0吗？ 不能，非负数的算术平方根≥0 二次根式定义的根本所在。 6 例题讲解 例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解： (1) ∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式． (2) ∵不论x为何值，都有x2＋1＞0， ∴ 是二次根式． (3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式． (4)∵|x|≥0，∴ 是二次根式． 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 二次根式的识别方法 例2 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) . (3)欲使 有意义，则必有 ∴x＞ . 解：(1)由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， 在实数范围内有意义. (2)由5-x≥0，得 x≤5. 当x≤5时， 在实数范围内有意义. (1)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数；分式的分母不等于0； (2)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. 课堂小结 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求其解集 被开方数为非负数 第20章 二次根式 随堂演练 例题精讲 情景导入 知识回顾 获取新知 20.1 第2课时 二次根式的性质 课堂小结 知识回顾 练习:求下列各式中x的取值范围: （1）x≥1; （2）x≤0; （3）x≤5; （4）x取任意实数; （5）x>0; （7）x< ; （6）x>-1; （8）x≠1. 情景导入 观察下图，你能推测出 和a有什么关系吗？ 面积a a 所有的二次根式都具有这样的性质吗？ 获取新知 参考右图,完成以下填空: 2 7 你能发现什么规律？ 面积a 猜想： a 胡123 (胡123) - 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力, 1. 是一个非负数 2. 的平方等于a 二次根式 有什么特性？ (a≥0)表示一个非负数a的算术平方根. 也就是说： ⇒ ≥0 ⇒ ()2=a 二次根式的重要性质: 归纳总结 二次根式定义的根本所在。 16 根据算术平方根的意义填空，你发现了什么？ ... 平方运算 算术平方根 a(a≥0) 2 0.1 0 ... ... 观察两者有什么关系？ ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当a＜0时， = ？ -a Administrator (A) - 此处老师可以补充对于a是负数的情况，从而可以更加完美更加贴近实战的总结成结果为|a|的形式，并提醒学生养成先加绝对值再去绝对值的习惯 a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 的性质： 归纳总结 二次根式的又一重要性质: 比较分析 和 , 它们有什么区别？ 读法 运算顺序 a的取值范围 运算结果 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取全体实数 a ∣a∣ 根号a的平方 根号下a的平方 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 全品文教 (批注) - 这是容易记错的点，通过对比让学生们观察到这两个式子的区别，防止学生初次做题的时候没有看清楚题目，而功亏一篑 例题讲解 例1 计算： 解： 这部分内容是在实数运算中的基础内容，运算经常用到，因此一定要让学生掌握！ 例2 计算: 解： 例3 已知2＜x＜3，化简: . 解：原式= . ∵2＜x＜3，∴x-2＞0，x-3＜0， ∴原式=x-2-(x-3)=1. 1.若 =a,则 ( ) A. a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0 C 随堂演练 2. 计算：(1)( )2; (1)( )2=3; 解： (4) . (3) . 3. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. a b 课堂小结 二次根式的性质 二次根式的重要性质1： 二次根式的重要性质2： |a|（a为全体实数） 随堂演练 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C 2.[2025徐州] 使有意义的 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 3. 如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) C 4.若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( ) B A. B. C.且 D. 30 5.请写出一个二次根式：______________________，使它满足 只含有一个字母，且当 时有意义. （答案不唯一） 6. 如果代数式 有意义，那么在直角 坐标系中，点 位于第____象限. 三 31 7. 已知是正整数，是整数，则满足条件的所有 的值为_________. 9，7，1 解题支架 32 8. 直线 （, 是常数）如图所示，则化简 的结果为___________. 【点拨】由题图得解得 . 33 9. 已知,满足， ， 则 的值为____. 【点拨】，当 时， 不成立，，则 ，解得 .， 或0，解 得或， . 34 10.下列各式哪些一定是二次根式？ （1）；（2）；（3）；（4） ； （5）；（6）；（7） ； （8） . 35 解：（1），是二次根式； 的根指数为3， 故不是二次根式；,是二次根式； 的被开方数是负数，故不是二次根式； 的被 开方数，是二次根式； 的取值范围 不确定，不一定是二次根式；（7）因为 ，所以 是二次根式；， 不是二次根式.综 上， 一定是二次根式. 36 11.求使下列各式有意义的字母x的取值范围． 解：(1) 4-2x≥0，解得 x≤2. (2) 2x+2≥0，解得 x≥-1. (3) x2≥0，x2+1>0，所以x为任意实数. 解得，1＜x≤3. (4) 由题意，得 二次根式有意义的条件是实数部分常考内容，做完题目后可让学生尝试总结。 12.（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法. 例：已知，求 的值. 解：由得 ______， ______， _____. 2026 2025 38 （2）尝试应用：若，为实数，且 ， 化简： . 解：由得 ， ， . 39 （3）拓展创新：已知 ， 求 的值. 解：由得， ， ， . 40 $