精品解析：山东省临沂市兰陵县2025-2026学年八年级数学下学期期末试题

2025—2026学年度下学期质量调研（三） 八年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的平行四边形是正方形 5. 如图，在数轴上点A表示的数为2，在点A的右侧作一个长为2，宽为1的长方形，将对角线绕点A逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（　　） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 7. 如果直线与直线的交点在轴上，那么当时，和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 小明早晨跑步上学，途中跑累了，便走着到学校．下列哪幅图描述了他上学的过程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当时，代数式的值是_____． 12. 某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占的比例为．小明本学期这三部分的成绩分别是80分、90分、80分，则小明的数学总评成绩为_____________分． 13. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 14. 在函数y= (m -3)x -2(m是常数)中， y随着x的增大而增大，则m的取值范围是______． 15. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 17. 2022年3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的路程是 　 　米；小刚在书店停留了 　 　分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了 　 　米；一共用了 　 　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议． 18. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 19. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点D作于点M，连接，延长 至点 N，连接. （1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ，并进行证明； （2）若，，求  的长. 20. 传统跳绳是某校的体育特色课程．八年级（1）班两组各10位同学进行跳绳测试，次数如下表． 【数据收集】 组 112，126，128，130，136，146，146，150，152，158 组 127，131，134，135，145，148，150，152，152，155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 跳绳的次数 最小值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最大值 组 112 141 150 158 组 127 134 152 155 （1）直接填写表中的数据：___________，___________； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图如图所示，则___________（填“”、“”或“”）； 【数据应用】 （3）利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 21. 近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为万元，应如何安排进货数量，才能使最大？最大利润为多少万元？ 22. 综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期质量调研（三） 八年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】若二次根式有意义，则被开方数是非负数， 即， 解得， 所以B选项满足条件， 故选B． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 3. 随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 众数是9 C. 中位数是9 D. 方差是9 【答案】D 【解析】 【分析】利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解． 【详解】解：A、平均数是：=9，故命题正确； B、众数是9，命题正确； C、中位数是9，命题正确； D、方差是：[2（7-9）2+12（8-9）2+20（9-9）2+16（10-9）2]=0.72，故命题错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义，理解方差的计算公式是关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，涉及知识点：特殊四边形的判定条件、命题真假的判断．解题技巧是逐一分析每个选项，根据判定定理判断正误；解题关键是准确记忆特殊四边形的判定条件，避免混淆判定定理；易错点是忽略判定定理的前提条件（如 “平行四边形”）． 【详解】∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确； ∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误； ∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误； ∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误． 故选A． 5. 如图，在数轴上点A表示的数为2，在点A的右侧作一个长为2，宽为1的长方形，将对角线绕点A逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先根据勾股定理求出，再根据向左就用减法求解． 【详解】解：由题意得：， ∵是长方形， ， ， ， 点A表示的数为2， 点E表示的数为：， 故选：C． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上，垂直平分，若，则的长为（　　） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得是等边三角形，则可得，利用三角函数的定义可求出的长，进而可得的长． 本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质以及利用三角函数解直角三角形．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，，且， ， ∵垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 7. 如果直线与直线的交点在轴上，那么当时，和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出一次函数的增减性是解答本题的关键． 由两直线交点在x轴上，可求得参数b的值，再代入计算和的值进行比较． 【详解】将代入，得： 解得 ∴交点为 将代入，得： 解得 ∴ ∴时， ∵ ∴ 故选：A． 8. 小明早晨跑步上学，途中跑累了，便走着到学校．下列哪幅图描述了他上学的过程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了行程问题，先理解速度等于路程除以时间，再结合小明早晨跑步上学，途中跑累了，便走着到学校，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵小明早晨跑步上学，途中跑累了，便走着到学校． ∴速度先快后慢， 观察四个选项，能体现出速度先快后慢的是A选项， 故选：A 9. 如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，从而得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当时，代数式的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】将已知的值代入代数式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入得：． 12. 某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占的比例为．小明本学期这三部分的成绩分别是80分、90分、80分，则小明的数学总评成绩为_____________分． 【答案】83 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数． 根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，小明的数学总评成绩为：（分）， 故答案为：83． 13. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键． 根据以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积． 故答案为：144． 14. 在函数y= (m -3)x -2(m是常数)中， y随着x的增大而增大，则m的取值范围是______． 【答案】m>3 【解析】 【详解】试题解析：因为一次函数 中， 随 的增大而增大，所以 ，解得 . 故本题的正确答案为. 点睛：在一次函数 中，当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小. 15. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理得出的长． 【详解】解：连接， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵为的中点，正方形中， ∴， ∵正方形中，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． （1）求长方形广场的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形广场的周长为 （2）购买地砖需要花费元 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长； （2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． 【小问2详解】 解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 17. 2022年3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的路程是 　 　米；小刚在书店停留了 　 　分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了 　 　米；一共用了 　 　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议． 【答案】（1）1500；4； （2）2700；14． （3）12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； 根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 【小问1详解】 根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米； 根据函数图象，小刚在书店停留的时间为从（8分）到（12分）， 故小刚在书店停留了4分钟． 故答案为：1500；4； 【小问2详解】 解：有函数图象可知，一共行驶的总路程=1200+（1200-600）+（1500-600） =1200+600+900=2700米； 一共用了14分钟， 故答案为：2700；14． 【小问3详解】 解：由图象可知：0～6分钟时，平均速度= 1200÷ 6 =200米/分， 6～8分钟时，平均速度= （1200−600）÷（8−6） =300米/分， 12～14分钟时，平均速度=（1500−600）÷（14−12）=450米/分， 所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内． 建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行； 【点睛】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 18. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． 【小问2详解】 解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 19. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点D作于点M，连接，延长 至点 N，连接. （1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是 ，并进行证明； （2）若，，求  的长. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）添加的条件为．证明四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得，利用勾股定理求出，得到，再利用菱形的面积即可求出的长； 【小问1详解】 解：添加的条件为． 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 20. 传统跳绳是某校的体育特色课程．八年级（1）班两组各10位同学进行跳绳测试，次数如下表． 【数据收集】 组 112，126，128，130，136，146，146，150，152，158 组 127，131，134，135，145，148，150，152，152，155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 跳绳的次数 最小值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最大值 组 112 141 150 158 组 127 134 152 155 （1）直接填写表中的数据：___________，___________； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图如图所示，则___________（填“”、“”或“”）； 【数据应用】 （3）利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 【答案】（1）128，146.5 （2）> （3）解：B组同学整体的跳绳水平比A组高； 理由：由箱线图知，B组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于A组，且B组数据的方差比A组小，成绩更稳定，所以B组同学整体的跳绳水平比A组高． 【解析】 【分析】（1）根据第一四分位数是前半部分数据的中位数可求出a的值；根据中位数的定义可求出b的值； （2）根据箱线图和A,B两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知A组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将A组数据从小到大排序为112，126，128，130，136，146，146，150，152，158， ∵前半部分数据为112，126，128，130，136， ∴A组的第一四分位数， 将B组数据从小到大排序为127，131，134，135，145，148，150，152，152，155， 故B组的中位数； 【小问2详解】 由箱线图可知，A组数据比B组数据分散，即B组数据比较集中， 所以B组数据的方差较小，即； 【小问3详解】 略． 21. 近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为万元，应如何安排进货数量，才能使最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元 （2）应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用等知识． （1）设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元 ,根据题意列出关于a，b的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人台，根据题意求出x的取值范围，再分别求出两种机器人的利润，最后列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元， 根据题意，得 ， 解得：， ∴每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元． 【小问2详解】 解：设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人台， 且， 解得又，故， 工业制造型机器人每台利润为万元 生活服务型机器人每台利润为万元 销售总利润 ∵， ∴W随x增大而增大 ∴当时，W最大，最大值为万元 此时生活服务型机器人数量为台 答：应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万元． 22. 综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 【答案】（1）1，1；（2）见解析；（3）当时函数取最小值，最小值为；（4）①②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）①观察（2）中的函数图象，即可求解； ②画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1；1； （2）如图， （3）根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）①由（1）知：当时，或， 由（2）中图象知：当时，， 故答案为：； ②画出函数和的图象，如图所示： 函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，， 故答案为：，． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 【答案】 （1）证明：过作于点，过作于点， 正方形， ， ，且， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，由，得到，即可求解， （2）由，得到，即可求解， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到，即可求解， 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】解：（1）略 （2）矩形为正方形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （3）∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $