精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度下学期期末质量检测试题 八年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 下表是某社团20名成员年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 9. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是______． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 14. 如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为_______． 15. 如图，正方形的边长为2，它的两条对角线交于点，过点作边的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，的面积为，…，的面积为，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）使用直尺和圆规，按照下面作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：∵，___________， ∴四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（___________）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，求点坐标及矩形的面积． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求一次函数解析式； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并求出的面积． 19. 如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形菱形； （2）若，求四边形的面积及的长． 20. 某区八年级学生进行体质健康测试，抽取50名女生在一分钟内的仰卧起坐数量（单位：个），数据整理如下： a．50名女生仰卧起坐频数分布表 一分钟仰卧起坐个数 （单位：个） 频数 百分比 1 2% a 10% 20 40% 16 32% b c 合计 50 100% b．50名女生仰卧起坐频数分布直方图 c．数据如下： 52 53 53 53 53 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 60 60 60 （1）频数分布表中______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在这组数据中，中位数为______； （4）1分钟53个（不含53）以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全校1000人一共多少人可加分？ 21. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 22. 一年一度的校园文化节开始了，某班准备采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系，如图所示； （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（元）最少？ 23. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末质量检测试题 八年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含平方数；②分母不含根号，即可求解． 【详解】解：选项A：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：，将化为分数，被开方数为，分母，无平方因数，但分母含根号，需有理化为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项C：．被开方数，因数均为质数且无平方数，分母无根号，符合最简二次根式条件，故本选项符合题意； 选项D：．被开方数含分母，需有理化为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 3. 在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选：C。 4. 如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而可得，根据现有条件无法得到和的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到和的面积相等， 故选：D． 5. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质．先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、当时，，此时四边形是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 7. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故选：D． 8. 对于一次函数，下列结论正确是（ ） A. 当时， B. 随的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数值，一次函数图象经过的象限，根据解析式可得增减性和函数经过的象限，再求出当时和当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而减小，它的图象经过第二，三、四象限，故B、D结论错误； 当时，，当时，， ∴当时，，它的图象与轴交于点，故A结论错误，C结论正确； 故选：C． 9. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方形ABCD的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 【详解】∵，， ∴正方形ABCD的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查求方差和平均数，根据方差的计算公式，得到这组数据为，根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平均数为：； 故答案为：8． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ； 故答案为． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴k值不变，， ∴一次函数为：， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为：， 故答案为：． 14. 如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由平行四边形的判定定理，结合，可知，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，按照点和点的位置关系进行分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 如图所示： 当运动到点和点之间时， 则， 解得，， 当运动到点和点之间时， 则， 解得，， ∴当运动时间为或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 15. 如图，正方形的边长为2，它的两条对角线交于点，过点作边的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，的面积为，…，的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是图形的变化题，考查了正方形的性质、三角形面积的计算，解题的关键是通过计算三角形的面积得出规律． 由正方形的性质得出、、、、，，得出规律，再求出它们的和即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，，，， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先根据二次根式的乘法，算术平方根的性质，绝对值的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：∵，___________， ∴四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） ∵， ∴四边形是矩形，（___________）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，求点坐标及矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角为直角的平行四边形为矩形 （3），矩形的面积为 【解析】 【分析】（1）由题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理即可求解； （3）根据直线表达式求出点A、B、C的坐标，再根据矩形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意作图如下： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形） ∵， ∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形） 故答案为：，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角为直角的平行四边形为矩形． 【小问3详解】 解：∵直线：与轴，轴分别交于点，， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形和矩形的性质和判定、一次函数的性质、作图等． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． （1）求一次函数解析式； （2）若函数的图象与一次函数的图象的交点为，在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并求出的面积． 【答案】（1） （2）见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先列表，再描点画图，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点． ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 列表： 1 画图如下： 由图象可得，点C的坐标为 ∴的面积． 19. 如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积及的长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为96， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，再根据等角对等边得出，从而得出，然后根据一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形为菱形即可得证； （2）根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出，即可得出菱形的面积，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 证明， ． 平分， ． ． ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 证明：四边形是菱形， ，，， ． ， ， ． ， ． ， 菱形面积， ， 为的中点， ． ． 20. 某区八年级学生进行体质健康测试，抽取50名女生在一分钟内的仰卧起坐数量（单位：个），数据整理如下： a．50名女生仰卧起坐频数分布表 一分钟仰卧起坐个数 （单位：个） 频数 百分比 1 2% a 10% 20 40% 16 32% b c 合计 50 100% b．50名女生仰卧起坐频数分布直方图 c．数据如下： 52 53 53 53 53 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 58 59 60 60 60 （1）频数分布表中______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在这组数据中，中位数为______； （4）1分钟53个（不含53）以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全校1000人一共多少人可加分？ 【答案】（1）5，8，16%； （2）见详解 （3）55； （4）780人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，中位数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据频数、频率、总数之间的关系列式计算，即可作答． （2）结合（1）的结论进行作图即可； （3）结合排序后位于数据中间位置的数，为中位数，进行作答即可； （4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， ． 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：根据这组数据， 52，53，53，53，53，55，55，55，55，55，55，56，56，56，56，58，59，60，60，60 共有个数，排在中间位置为第和个数 即 ∴中位数为 【小问4详解】 解：依题意，（人） ∴那么根据抽取的结果预估全校1000人一共人可加分 21. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； 【小问2详解】 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 22. 一年一度的校园文化节开始了，某班准备采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系，如图所示； （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（元）最少？ 【答案】（1） （2）购买甲道具件，则购买乙道具件时，才能使该班付款总金额w（元）最少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）结合函数图象，分两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设购买甲道具件，则购买乙道具件，根据题意列一元一次不等式组，得到的取值范围，设该班付款总金额为w，结合（1）所得关系式，得到关于的解析式，再根据一次函数的增减性求最值即可． 小问1详解】 解：当时，设函数解析式为， 则，解得：， 即y与x之间的函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 则，解得：； 即y与x之间的函数解析式为， 综上可知，y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设购买甲道具件，则购买乙道具件， 则，解得：， 设该班付款总金额为w， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为， 即购买甲道具件，则购买乙道具件时，才能使该班付款总金额w（元）最少． 23. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）直角三角形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）菱形的性质，求出的度数，折叠得到，即可得出结果； （2）根据折叠和中点，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，作，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，三线合一求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故答案为：； （2）为直角三角形，理由如下： ∵翻折， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴为直角三角形； （3）∵折叠， ∴垂直平分， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $