精品解析：山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期期末学业水平检测初二数学试题（五四制）

2025~2026学年度第二学期期末学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上．） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，即可解答． 【详解】A. ，是二元一次方程，此选项符合题意； B. ，不是二元一次方程，此选项不符合题意； C. ，不是二元一次方程，此选项不符合题意； D. ，不是二元一次方程，此选项不符合题意； 故选A． 2. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 确定事件 C. 不确定事件 D. 必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】掌握不同类型事件的概念即可作出判断，确定事件包含必然事件和不可能事件，不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：∵“明天下雨”可能发生，也可能不发生， ∴该事件属于不确定事件． 3. 在数轴上表示不等式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：不等式， 故数轴表示为． 4. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 5. 下列各个不透明的袋子中，分别装有不同数量的白色乒乓球和黄色乒乓球，每个乒乓球除颜色外完全相同．若从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解四个选项中从中任意摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率，再比较大小即可. 【详解】解：A选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； B选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； C选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； D选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为. ∴D选项符合题意. 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，由，不等式两边不是同时加减同一个整式，无法得到，例如取，，此时，故A错误； B选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，，不等式两边同时加，不等号方向不变，，故B正确； C选项，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，，故C错误； D选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，，故D错误． 7. 如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法做出选择即可，找出三角形全等的条件是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即， 又∵，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 、∵，，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 、，，，不能判定， 故该选项符合题意； 、∵，，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 故选：． 8. 本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 9. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质结合三角形内角和为表示出各个角，化简即可得出解． 【详解】解：由题意得垂直平分，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 10. 爱思考的小明同学发现：当题目条件出现三角形的角平分线时，往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，是的角平分线，，，，求的长．小明同学的解决方法为：如图2，在边上截取，连接，可得，且是等腰三角形，由此即可得的长为10．试通过小明同学的方法解决问题：如图3，在中，是的角平分线，且，．若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在边上取点，使，连接，在边上取点，使，连接，再结合全等三角形的性质可得，进一步可得结论． 【详解】解： 如图，中，，， ，， 平分， ，， 在边上取点，使，连接， 在和中， ∴， ，， ， 在边上取点，使，连接， 同理可证， ，，， ， ， ， ， ∴的周长为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上．） 11. 请写出满足不等式组的一个解______． 【答案】（答案不唯一，只要即可） 【解析】 【详解】解：不等式组的解集为， 故（答案不唯一，只要即可）． 12. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为______． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故答案为：． 13. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解和代数式求值． 将解代入方程得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：8． 14. 汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 15. 如图，在中，，，P是直角边上一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，则周长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先得到，设中点为，点关于的对称点为，连接，则为等边三角形，得到，再证，得到，然后可得． 【详解】解：在中，，，， ，， 设中点为，点关于的对称点为，连接， 则，又， 为等边三角形， 中点为， ，，， 又为等边三角形， ，，即， 又， ， 在和中， ， ， ， 则周长， 则周长的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共计90分．请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上．） 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以3，得， 所以，原不等式的解集为：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，解不等式②得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示 因此，原不等式组的解集为：． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ，得，， 将代入①，得， 所以，原方程组的解为． 【小问2详解】 解：， ，得，即③， ，得，， 将代入②，得，， 所以，原方程组的解为． 18. 如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）通过以上实验，估计盒子里红球的数量为______个； （2）若先从盒子中取出个红球，再从盒子中随机摸出1个球，若“摸出的这1个球是黑球”为必然事件，则a的值为______； （3）若先从盒子中取出b个红球，再放入b个相同的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值． 【答案】（1）6 （2）6 （3）b的值为2 【解析】 【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到红球的概率，再用总球的个数乘以红球的概率即可得出盒子里红球的数量； （2）根据盒子里有6个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为：（个）． 【小问2详解】 解：盒子里有6个红球，“摸出黑球”为必然事件， ； 【小问3详解】 解：由（1）知红球6个，黑球14个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，符合题意， 故． 20. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】（1）甲队修路的天数；乙队修路的天数；； （2）乙队修建了8天 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据方程组等式的意义进行判断即可； （2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 21. 阅读理解：我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”． 初步感知： （1）组合是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）； 问题解决： （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求m的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”，求n的取值范围． 【答案】（1）无缘组合 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别解方程及不等式，再根据题意判断即可； （2）先解方程得，解不等式得，然后根据“有缘组合”可得，再解不等式即可； （3）先解方程得，解不等式得，然后根据“无缘组合”可得，再解不等式即可； 【小问1详解】 解：，解得， ，解得， 则一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， 故组合是“无缘组合”； 【小问2详解】 解：解方程，得， 解关于x的不等式，得， 因为，关于x的组合是“有缘组合”， 所以，方程的解，也是关于x的不等式的解， 所以，，所以，解得， 所以，m的取值范围是． 【小问3详解】 解：解关于x的方程，得， 解关于x的不等式，得， 因为，关于x的组合是“无缘组合”， 所以，关于x的方程的解，不是关于x的不等式的解， 所以，，解得， 所以，n的取值范围是． 22. 如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． （1）当，时，直接写出的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） （2） ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，所以． 因为，，所以是等边三角形， 所以， 所以， ， 所以，， 所以，． 因为D是边的中点，所以， 所以，在中，由知， 所以，． （3） ， 证明：如图，以为边在的右侧作等边三角形，连接， 延长至点F，使，连接． ∴，． ∵，， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∵D是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，（即）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，再由即可求解； （2）由题可知是等边三角形，进而得到，然后根据直角三角形中所对的边等于斜边一半即可求解； （3）以为边在的右侧作等边三角形，连接，延长至点F，使，连接，可得是等边三角形，再证、、，利用全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【阅读理解】我们知道二元一次方程有无数组解，如：，，，…，如果我们将二元一次方程的每一组解看成一组有序数对，如：，，，…，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程的解为坐标的点都落在同一条直线上（如图1所示），同时这条直线上的所有点的坐标全都是方程的解，我们把这条直线称为方程的图象． 【问题探究】 （1）请在如图2的平面直角坐标系xOy中，画出二元一次方程组中这两个二元一次方程的图象，并根据图象直接写出该方程组的解为__________； （2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在如图3的平面直角坐标系中，画出符合题意的两条直线．设方程①的图象与，轴的交点分别是A，B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C，D，求与的和； 【拓展应用】 （3）如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线，相交于点，直线，相交于点，直线，相交于点，且已知在直线，，中，有两条是关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解__________． （4）在（3）的条件下，若直线，，的表达式分别是，，，则请直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别取两个方程的点描线：过点；过点，两条直线交点为，因此方程组的解为： ； （2）方程组无解说明两条直线平行，过一、二、四象限，过二、三、四象限，将方程变形后令斜率相等，再根据两直线平行，同位角相等得，即可求得； （3）解方程组，通过消元法两个式子相减，得到关于参数的方程，让其系数为0即可； （4）根据交点坐标先分别求出直线的表达式，，，，再解方程组即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 方程组无解说明两条直线平行，将方程变形：①，②，平行则斜率相等：​， 找交点：，，， ∵两直线平行，同位角相等得， 在中，， ∴； 【小问3详解】 联立方程组，两式相减得， 当时，，代入得， ∴方程组的解为：  【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴无论取何值，当时，恒成立， ∴， 把点纵坐标代入，得， 解得，即， ∴  ∵是和交点，是和交点， ∴过点和， 设的解析式为， ∴解得 ∴的解析式为， 同理求得， 解不等式组： 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上．） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 确定事件 C. 不确定事件 D. 必然事件 3. 在数轴上表示不等式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列各个不透明的袋子中，分别装有不同数量的白色乒乓球和黄色乒乓球，每个乒乓球除颜色外完全相同．若从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 爱思考的小明同学发现：当题目条件出现三角形的角平分线时，往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，是的角平分线，，，，求的长．小明同学的解决方法为：如图2，在边上截取，连接，可得，且是等腰三角形，由此即可得的长为10．试通过小明同学的方法解决问题：如图3，在中，是的角平分线，且，．若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上．） 11. 请写出满足不等式组的一个解______． 12. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为______． 13. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 14. 汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 15. 如图，在中，，，P是直角边上一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，则周长的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共计90分．请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上．） 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）通过以上实验，估计盒子里红球的数量为______个； （2）若先从盒子中取出个红球，再从盒子中随机摸出1个球，若“摸出的这1个球是黑球”为必然事件，则a的值为______； （3）若先从盒子中取出b个红球，再放入b个相同的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值． 20. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 21. 阅读理解：我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”． 初步感知： （1）组合是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）； 问题解决： （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求m的取值范围； （3）若关于x的组合是“无缘组合”，求n的取值范围． 22. 如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． （1）当，时，直接写出的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 23. 【阅读理解】我们知道二元一次方程有无数组解，如：，，，…，如果我们将二元一次方程的每一组解看成一组有序数对，如：，，，…，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程的解为坐标的点都落在同一条直线上（如图1所示），同时这条直线上的所有点的坐标全都是方程的解，我们把这条直线称为方程的图象． 【问题探究】 （1）请在如图2的平面直角坐标系xOy中，画出二元一次方程组中这两个二元一次方程的图象，并根据图象直接写出该方程组的解为__________； （2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在如图3的平面直角坐标系中，画出符合题意的两条直线．设方程①的图象与，轴的交点分别是A，B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C，D，求与的和； 【拓展应用】 （3）如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线，相交于点，直线，相交于点，直线，相交于点，且已知在直线，，中，有两条是关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解__________． （4）在（3）的条件下，若直线，，的表达式分别是，，，则请直接写出关于x的不等式组的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $