精品解析：山东省日照市岚山区2025-2026学年八年级下学期 期末数学试题

2025~2026学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；第II卷须用黑色签字笔将答案须写在答题卡各题目指定的区域内．在试卷上答题不得分． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度为边的三角形，能判定是直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，6 C. 8，6，10 D. 14，8，7 3. 技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 小刚设计了下面四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以平面密铺的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 6. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 7. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（ ） A. 甲方案可行，乙方案不可行 B. 甲方案不可行，乙方案可行 C. 甲乙两方案均可行 D. 甲乙两方案均不可行 8. 如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（ ） A. B. C. D. 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 12. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，75，则该班四项综合得分为________分． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了________． 15. 定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 17. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明和同学放学后一起放风筝，牵线放风筝的手到地面的距离为．为了测得风筝的垂直高度，小明想到利用“勾股定理”的知识来进行计算，为此他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度长； （2）如果想让风筝沿方向下降，则应该往回收线多少？ 18. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 19. 文具店购进，两种型号的计算器进行零售，进价和零售价如下表所示： 类型 进价（元/个） 零售价（元/个） 型计算器 型计算器 若购进型计算器个，型计算器个，正好花费元．请解决下列问题． （1）________（用含的代数式表示）； （2）根据市场销售情况，型计算器的进货数量不多于型计算器的，请问文具店如何进货，才能使两种计算器全部售完后能获得最大利润？ 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了”航空航天“知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的统计表和箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 （1）上述表中，________，________，并补全七年级抽取学生成绩箱线图； （2）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图表进行说明． 21. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 22. 如图1，，两地之间有，两个景点，春假期间，小云和小敏相约分别从，两地同时出发，驾车开往景点游玩．小云从地行驶小时到景点，游玩后，又驾车按原速度再行驶到达景点．小敏从地出发，先以的速度行驶，后又加速，以的速度行驶至景点，比小云早到．小云、小敏与景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． （1），B两地的距离为________，图2中________，________； （2）求小敏加速前所行驶的时间； （3）当小云与小敏之间的距离在（包括端点）时，直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 【探究主题】利用矩形纸片折出角． 【探究一】 （1）如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平． ①直接写出图中一个的角：________ ，并说明理由； ②若与交于点．求证：； 【探究二】 （2）如图2，取一张正方形纸片，将边，分别沿直线，向正方形内部翻折，并使得，两点的对应点恰好在点处重合，得到折痕，，同时得到线段，，把纸片展平．则图中是否存在的角？若存在，请写出图中所有的角，并给出证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；第II卷须用黑色签字笔将答案须写在答题卡各题目指定的区域内．在试卷上答题不得分． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 以下列各组长度为边的三角形，能判定是直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，6 C. 8，6，10 D. 14，8，7 【答案】C 【解析】 【分析】找出每组边长中的最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则该三角形是直角三角形． 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形． 选项B，最长边为，，，，不能构成直角三角形． 选项C，最长边为，，，，能构成直角三角形． 选项D，最长边为，，，，不能构成直角三角形． 3. 技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】方差越小，数据波动越小，麦苗长得越整齐． 【详解】解：∵甲地小麦比乙地小麦长得整齐， ∴， ∵，， ∴， 四个选项中只有13满足． 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察可知，只有选项A中的图象满足对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数； 其他选项中，都存在一个确定的的值，对应2个值，y不是x的函数. 5. 小刚设计了下面四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以平面密铺的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【详解】解：①正三角形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ②正方形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； ③正五边形每个内角是，不能整除，故不能进行密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，故能进行密铺； 综上，能密铺平面的是①②④． 6. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 7. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（ ） A. 甲方案可行，乙方案不可行 B. 甲方案不可行，乙方案可行 C. 甲乙两方案均可行 D. 甲乙两方案均不可行 【答案】C 【解析】 【分析】甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：甲方案：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 乙方案：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 综上所述，甲乙两方案均可行． 8. 如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 10. 如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由折叠的性质和正方形的性质得，，证得，得到，设，则，，利用勾股定理列方程求出的值，得到，，，利用等面积法求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由正方形性质得，，， 点是边的中点， ， 折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得，即， 解得， ，，， ， ， ， ． 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，解题关键是掌握并正确运用该公式．将点与原点的坐标代入公式，即可求出点到原点的距离． 【详解】解：原点坐标为，根据两点间距离公式，点到原点的距离为． 故答案为：． 12. 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，75，则该班四项综合得分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，将各项得分乘以对应权重，求和即可得到综合得分. 【详解】解：根据题意计算该班四项综合得分： （分）. 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 14. 某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了________． 【答案】 【解析】 【分析】连接菱形的对角线，根据菱形的性质及勾股定理求出时菱形的水平对角线长，根据等边三角形的判定和性质求出时菱形的水平对角线长，最后计算个菱形的总长度差即可． 【详解】解：设菱形的边长为 当时， 如图，连接，相交于点，  四边形是菱形，， ，，， ， ， 在中，， ，  此时伸缩门的总长度为； 当时，如图，连接，  四边形是菱形，， ， 是等边三角形，    此时伸缩门的总长度为； ∴伸缩门的总长度缩小了． 15. 定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“值线组”的定义得出两条直线的解析式，结合矩形的顶点坐标，分析直线与矩形恰有4个交点时，每条直线需与矩形有两个交点，通过计算直线经过矩形顶点时的斜率临界值，确定的取值范围． 【详解】解：由题意得，当时，“值线组”对应的两条直线分别为和， 记和， 当时，，， ∴直线恒过定点，直线恒过定点， 若“值线组”与矩形恰有4个交点，则直线与矩形有2个交点，直线与矩形有2个交点， 当时，直线从左下向右上延伸，直线从左下向右上延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 当时，直线从左上向右下延伸，直线从左上向右下延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 综上所述，的取值范围为或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明和同学放学后一起放风筝，牵线放风筝的手到地面的距离为．为了测得风筝的垂直高度，小明想到利用“勾股定理”的知识来进行计算，为此他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度长； （2）如果想让风筝沿方向下降，则应该往回收线多少？ 【答案】（1）风筝的垂直高度长为 （2）应该往回收线 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据计算即可； （2）设风筝下降到点F，得到的长，连接，根据勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，在中，，，， ∴， ∴． 答：风筝的垂直高度长为． 【小问2详解】 解：设风筝下降到点F，即， ∴， 连接， ∴在中，， ∴， 答：应该往回收线． 18. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键； （1）利用平行四边形性质和推出，，可证四边形是平行四边形，再由可证四边形是矩形； （2）由平分，可得，结合，推出，可得 ，再由勾股定理和矩形的性质求解． 【小问1详解】 四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， ，， 四边形是平行四边形， 由可得， 四边形是矩形． 【小问2详解】 若平分，则， ， ， ， ， 由，得， ， 由（1）知四边形是矩形， ． 19. 文具店购进，两种型号的计算器进行零售，进价和零售价如下表所示： 类型 进价（元/个） 零售价（元/个） 型计算器 型计算器 若购进型计算器个，型计算器个，正好花费元．请解决下列问题． （1）________（用含的代数式表示）； （2）根据市场销售情况，型计算器的进货数量不多于型计算器的，请问文具店如何进货，才能使两种计算器全部售完后能获得最大利润？ 【答案】（1） （2）购进型计算器个，型计算器个，可使全部售完后获得最大利润 【解析】 【分析】（1）根据购进两种型号的计算器的费用之和等于元列出方程，再变形，即可求解； （2）先根据题意列不等式求出的范围，再设获得的总利润为元，得到，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 由题意可得，， 解得， 设获得的总利润为元， 根据题意得，， ， 随的增大而减小， 、为整数， 当时，为整数，且有最大值， 此时， 答：购进型计算器个，型计算器个，可使全部售完后获得最大利润． 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了”航空航天“知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的统计表和箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 87 （1）上述表中，________，________，并补全七年级抽取学生成绩箱线图； （2）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图表进行说明． 【答案】（1）90，93； （2）估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人 （3）八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出b，c，然后求出a，再补全箱线图即可； （2）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解； （3）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如图 【小问2详解】 解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人. 【小问3详解】 略 21. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）如图，作点关于轴的对称点，连接，与y轴交于点，点即为所求， 由（1）得， ∴一次函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ 【解析】 【分析】（1）把点分别代入与，解方程即可求，的值； （2）找出直线的图象在直线图象下方部分，结合图象及交点坐标即可解答； （3）作点关于轴的对称点，连接，与y轴交于点，此时最小，先结合（1）中求出点坐标，由对称得点坐标，用待定系数法求出直线解析式，直线与轴交点即为点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入，得 ，解得， 把点代入，得 ，解得； 【小问2详解】 解：由图象可知，位于下方部分在交点右侧， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 略 22. 如图1，，两地之间有，两个景点，春假期间，小云和小敏相约分别从，两地同时出发，驾车开往景点游玩．小云从地行驶小时到景点，游玩后，又驾车按原速度再行驶到达景点．小敏从地出发，先以的速度行驶，后又加速，以的速度行驶至景点，比小云早到．小云、小敏与景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． （1），B两地的距离为________，图2中________，________； （2）求小敏加速前所行驶的时间； （3）当小云与小敏之间的距离在（包括端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据、两地到地的距离即可求出、两地之间的距离；根据小云行驶的速度和时间求出的值；求出小云到达地的时间，再根据小敏比小云早到求出的值； （2）设小敏加速前行驶的时间是，则加速后行驶的时间是，列方程求解即可； （3）根据小云和小敏行驶的方式可知当时，小敏与小云之间的距离是，设当小敏与小云之间的距离是千米时，行驶的时间是，列方程求出的值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，地与地的距离是，地与地的距离是， 、两地之间的距离是； 小云从地到地行驶的时间是，路程是， 小云行驶的速度是， ， 小云从地到地用的时间是， 小敏比小云早到， ； 【小问2详解】 解：设小敏加速前行驶的时间是，则加速后行驶的时间是， 根据题意可得：， 解得：， 答：小敏加速前行驶的时间是； 【小问3详解】 解：当时，小敏与小云之间的距离是， 当时，小敏与小云之间的距离是， 当时，小敏与小云之间的距离是， 当时，小敏与小云之间的距离是， 设当小敏与小云之间的距离是千米时，行驶的时间是， 根据题意可得：， 解得：， 当小云与小敏之间的距离在时，． 23. 综合与探究 【探究主题】利用矩形纸片折出角． 【探究一】 （1）如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平． ①直接写出图中一个的角：________ ，并说明理由； ②若与交于点．求证：； 【探究二】 （2）如图2，取一张正方形纸片，将边，分别沿直线，向正方形内部翻折，并使得，两点的对应点恰好在点处重合，得到折痕，，同时得到线段，，把纸片展平．则图中是否存在的角？若存在，请写出图中所有的角，并给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①（答案不唯一，其余符合条件的角如、）；理由如下： 如图，连接， 由第一次对折可知，是矩形的对称轴， 是线段的垂直平分线， ， 由第二次折叠的性质可知，，且平分， ， 为等边三角形， ， ； ②证明：由①中结论可知，， 在中，，， ， ，是线段的垂直平分线， ，即， 又， ， ， ； （2）存在，所有的角为：、、、； 证明：由折叠性质可知，，， 四边形是正方形， ，， ， 为等边三角形， ， ，， 由折叠性质可知，平分，，，， ， ， 同理可得， ，， 、、、均为的角． 【解析】 【分析】（1）①第一次对折得到为的垂直平分线，结合第二次折叠，可推导出三边相等的等边三角形，得到的内角，再由折叠的性质直接得到角；②先在中利用角对的直角边是斜边一半，得到，再通过等角对等边推导，等量代换即可得到要证明的结论； （2）由正方形边长相等，结合折叠对应边相等可推导出，得到等边三角形，其内角为，用正方形内角减去即可得到和两个角，再通过折叠的性质，计算出的度数，最后利用减去两个角即可得证． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $