精品解析：山东省日照市岚山区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024～2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组数，属于勾股数的是（ ） A. 1，，2 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 2，3，4 3. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 6. 下表是在某次比赛中，7位评委对某参赛选手的评分统计表．如果去掉一个最高分和一个最低分后，将剩余5位评委的评分再重新进行统计，那么表中的数据一定不发生（ ） 众数 中位数 平均数 方差 8.5 8.4 8.5 0.25 A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 7. 如图，点E是线段上一动点，，在点E的运动过程中，始终有，，点M，N分别是的中点，已知，当时，长为（ ） A. 2 B. 或 C. 或 D. 1或3 8. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 13. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 15. 一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是________． 16. 如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． （1）求出的长； （2）根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 19. ①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． （1）__________； （2）求值． （3）比较________（用“”、“”或“”填空）． 20. 东方对虾是日照的海产四珍之一，在国内外享有盛誉．某虾产业园为了解一号养殖池和二号养殖池的对虾生长情况，园区分别从两个池内各随机捞取50只虾，并将每只虾的重量（单位：g）作为样本数据，将数据分组，并绘制了两个样本的统计图： 组别 A B C D E x 根据以上信息，解答下列问题： （1）一号养殖池对虾样本数据频数分布直方图中m的值是________，中位数落在________组； （2）求扇形统计图中，组别D所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据市场调研，单只重量在范围内的对虾占比越高，综合收益越大，请估计哪个养殖池收益更大． 21. 某高铁候车厅饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： （1）若接温水的时间为，求水杯中水的温度； （2）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； （3）若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 22. 如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 23. 【问题呈现】在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，探究点P的位置随a的变化规律． 【初步探究】 （1）某同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表如下： a 0 1 2 点P的坐标 请直接写出点坐标，并在已建立的平面直角坐标系中描出点； 【问题解决】 （2）小组的同学通过观察，实验，归纳，大致猜想出点P的位置随a的变化规律后，有以下两种验证猜想的方法： 方法1：用待定系数法，选择其中的点，，求出y关于x的解析式，再将点，的坐标代入验证． 方法2：设点P的坐标为，令，，消掉字母a，求出y关于x的解析式． 请分别用以上两种方法求出y关于x的解析式； 【拓展应用】 （3）如图2，点A是y轴正半轴上一点，，求周长的最小值； （4）当时，点P都在直线的上方，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有可开方的因数4，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数，属于勾股数的是（ ） A. 1，，2 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义．掌握勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是解题关键． 根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数即可选择． 【详解】A.1，，2，三个数不都是正整数， 故A中三个数不是勾股数， 不符合题意； B. 6，8，10，三个数都是正整数，且， 故B中三个数是勾股数， 符合题意； C. 0.3，0.4，0.5，、三个数都不是正整数， 故C中三个数不是勾股数， 不符合题意； D. 2，3，4，三个数都是正整数，但， 故D中三个数不是勾股数， 不符合题意． 故选：B． 3. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 分析】根据k＞0确定一次函数经过第一、三象限，根据b＜0确定函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限，从而判断得解． 【详解】解：一次函数y=x﹣2， ∵k=1＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣2＜0， ∴函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限， ∴函数图象不经过第二象限． 故选B． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下表是在某次比赛中，7位评委对某参赛选手的评分统计表．如果去掉一个最高分和一个最低分后，将剩余5位评委的评分再重新进行统计，那么表中的数据一定不发生（ ） 众数 中位数 平均数 方差 8.5 8.4 8.5 0.25 A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数和众数．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：C． 7. 如图，点E是线段上一动点，，在点E的运动过程中，始终有，，点M，N分别是的中点，已知，当时，长为（ ） A. 2 B. 或 C. 或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，得，分两种情况求出的长即可 【详解】解：连接， ∵M，N分别是的中点，， ∴， ①当时，过D作于 F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，过C作于 F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：C 8. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，轴对称问题． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：A． 10. 在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】证明可判定①；设，则，求得，从而得，即可判定②；连接，由直角三角形斜边上中线的性质得，再由，即可判定③；取的中点G，连接，则；由直线是的垂直平分线及等腰三角形的性质得：，由勾股定理即可求得的长，从而判定④；最后可得答案． 【详解】解：在正方形中，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 故①正确； ∵为等腰直角三角形， ∴； 在正方形中，； 设，则， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 如图，连接， ∵，且M是斜边的中点， ∴， ∴； 在正方形中，， ∴是线段的垂直平分线； 故③正确； 取的中点G，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵直线是的垂直平分线，且，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理即得， 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件求解即可 ． 【详解】∵代数式有意义， ∴≠0，x+1≥0， ∴x＞-1， 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 12. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 13. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：， 平均数是，这组数的个数为， 则该组数据的总和是：， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，掌握其定义，判别式求根的情况是关键． 根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且 ． 15. 一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用勾股定理得出，再利用平行四边形的性质、折叠的性质可知，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， 在中，，， ，， 四边形是平行四边形，D为的中点， ，， 将沿折叠得到， ，， ， ， 则此平行四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行四边形性质、勾股定理、折叠的性质的知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，公式法解一元二次方程，掌握二次根式的混合运算法则，公式法解一元二次方程是关键． （1）运用二次根式的混合运算法则去括号，再计算加减即可； （2）确定，运用求根公式，代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． 18. 如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． （1）求出的长； （2）根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】（1）； （2）符合安全标准． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 19. ①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． （1）__________； （2）求的值． （3）比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化方法计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 东方对虾是日照的海产四珍之一，在国内外享有盛誉．某虾产业园为了解一号养殖池和二号养殖池的对虾生长情况，园区分别从两个池内各随机捞取50只虾，并将每只虾的重量（单位：g）作为样本数据，将数据分组，并绘制了两个样本的统计图： 组别 A B C D E x 根据以上信息，解答下列问题： （1）一号养殖池对虾样本数据频数分布直方图中m的值是________，中位数落在________组； （2）求扇形统计图中，组别D所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据市场调研，单只重量在范围内的对虾占比越高，综合收益越大，请估计哪个养殖池收益更大． 【答案】（1）17；C； （2）； （3）一号养殖池的收益更大． 【解析】 【分析】难题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用减去其它组的数量即可得出的值，根据中位数的定义即可得解； （2）先求出组别D所占的比例，再乘以即可得解； （3）分别求出一号养殖池对虾样本在范围占比、二号养殖池对虾样本在范围占比，比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 由题意可得，中位数应为第、个数据的平均数，故中位数落在组； 【小问2详解】 解：， ， ∴组别D所对应的扇形圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：一号养殖池对虾样本在范围占比为：， 二号养殖池对虾样本在范围占比为：， ∵ ∴一号养殖池的收益更大． 21. 某高铁候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： （1）若接温水的时间为，求水杯中水的温度； （2）求关于函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； （3）若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 【答案】（1）72度； （2）关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； （3）当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，一次函数，一元一次不等式组的运用，理解数量关系是关键． （1）设接温水的时间为，水杯中水的温度为，根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，列式求解即可； （2）温水体积为，开水体积为，由此列式得，即可求解； （3）根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设接温水的时间为，水杯中水的温度为， ∴温水的体积为：，则开水体积为， ∴温水升高的温度为，开水降低温度为, 根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，可列式： ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，温水体积为，开水体积为， ∴， 化简，得， 当都是温水时，，则， 解得，， 当都是开水时，，则， 解得，， ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； 【小问3详解】 解：由题意可知，， ∴， 解得， ，， ∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 22. 如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，；当时，； （2）①2或8；②存在，． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理计算得出，再分两种情况：当时；当时，分别计算即可得解； （2）①证明四边形为矩形，得出，由矩形的性质可得，由①可得当时，；当时，，再分情况计算即可得解；②连接，交于点O，连接，．由菱形的性质可得，，，证明四边形是平行四边形得出，即可得出是的垂直平分线，从而可得，设，则，由勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∵E，F的运动速度均为每秒1个单位长度， ∴E，F相遇的时间为（秒），E，F运动的总时间为（秒）， 故当时，；当时，； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由①可得当时，；当时，， 故当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，当2或8时，四边形是矩形； ②存在．连接，交于点O，连接，． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：，即 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23. 【问题呈现】在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，探究点P的位置随a的变化规律． 【初步探究】 （1）某同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表如下： a 0 1 2 点P的坐标 请直接写出点的坐标，并在已建立的平面直角坐标系中描出点； 【问题解决】 （2）小组的同学通过观察，实验，归纳，大致猜想出点P的位置随a的变化规律后，有以下两种验证猜想的方法： 方法1：用待定系数法，选择其中的点，，求出y关于x的解析式，再将点，的坐标代入验证． 方法2：设点P的坐标为，令，，消掉字母a，求出y关于x的解析式． 请分别用以上两种方法求出y关于x的解析式； 【拓展应用】 （3）如图2，点A是y轴正半轴上的一点，，求周长的最小值； （4）当时，点P都在直线的上方，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1），描点见解析；（2）；（3）6；（4）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，，，即可得出的坐标，再描点即可； （2）利用待定系数法计算即可得解； （3）由（2）可得，点在直线上，由题意可得，令直线于轴交于点，则当时，，即，则，作点关于直线的对称点，连接、，，则，，，当、、在同一直线上时，的值最小，求出，再由勾股定理计算即可得解； （4）当时，，由题意可得，，计算即可得解． 【详解】解：（1）当时，，，即， 描点如图所示： ； （2）设与的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴与的函数关系式为， 当时，，当时，； 设点P的坐标为，令，，消掉字母a可得：， ∴与的函数关系式为； （3）由（2）可得，点在直线上， ∵点A是y轴正半轴上的一点，， ∴， 令直线于轴交于点，则当时，，即， ， ∴， 作点关于直线的对称点，连接、，， 则，， ∴， ∴当、、在同一直线上时，的值最小， 设，则的中点坐标为，且该点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； （4）当时，， 如图：当时，，此时均满足当时，点P都在直线的上方， ∵当时，点P都在直线的上方， ∴，， 解得：． 第1页/共1页 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