精品解析：河北沧州市部分校2025-2026学年第二学期教学质量监测高一数学试题

2025—2026学年第二学期教学质量监测 高一数学 班级________姓名_______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据1，3，5，6，7，12，15，20，22，23的第80百分位数为（ ） A. 4 B. 20 C. 21 D. 22 3. 已知，若（为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则使有两解的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为、方差为，女生得分的平均数为、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（ ） A. B. C. D. 8. 我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形．如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面），底面四边形为矩形，屋脊底面，，，．已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为（ ） A. 9830 B. 10560 C. 12360 D. 16770 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b为不重合的直线，，，为不重合的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，表示第一次抛掷骰子的点数，表示第二次抛掷骰子的点数．设表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则下列说法错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，P分别为线段，，的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 在平面内的射影为的垂心 D. 三棱锥的外接球的直径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．若复数，则的共轭复数________． 13. 在等腰梯形中，，，，，是边的中点，则_________． 14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，其侧面展开图是一个面积为的半圆环，则其体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与向量夹角的余弦值． 16. 某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）． 17. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，D是边上的一点，． （1）求证：； （2）若，求的最小值． 18. 甲、乙两队进行投篮比赛，每队两人，每人投篮一次，投中者为本队赢得一分，不中得零分，最终得分多的队伍获胜，若得分相等为平局．由以往统计结果可知，甲队两人投中的概率分别为，，乙队两人投中的概率均为，且每人投中与否相互独立． （1）求甲队总得分为0分的概率． （2）求甲、乙比赛结果为平局的概率． （3）甲、乙两队哪队获胜的概率更大？请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，，，为线段的中点． （1）证明：； （2）求三棱锥的内切球的半径； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期教学质量监测 高一数学 班级________姓名_______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则其对应的点为， 又复数对应的点与复数对应的点关于轴对称， 所以复数对应的点为，所以. 2. 样本数据1，3，5，6，7，12，15，20，22，23的第80百分位数为（ ） A. 4 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以第80百分位数为. 3. 已知，若（为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数相等的充要条件，即两个实数域上的复数相等时实部、虚部分别对应相等，列方程组求解的值. 【详解】将等式两侧的复数化为标准代数形式，左侧，实部为0，虚部为； 右侧，实部为，虚部为0， 根据复数相等的充要条件，列方程组得：解得. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量，，得，， 所以在上的投影向量为. 5. 在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】平行四边形中，，为边的中点， 则, 因为为线段的中点， 所以． 6. 在中，，，，则使有两解的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，得到不等式，即可求解. 【详解】在中，因为，，， 由正弦定理得，即， 又因为有两解，则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 7. 某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为、方差为，女生得分的平均数为、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总体平均分，再计算组内和组间加权方差，最后相加求出总体方差． 【详解】总共6人，总体平均数：， 男生方差，女生方差，以人数为权重，则组内加权方差为： ； 各组均值与总体均值的偏差的加权平均为：； 故该小组这次考试的总体方差为：． 8. 我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形．如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面），底面四边形为矩形，屋脊底面，，，．已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为（ ） A. 9830 B. 10560 C. 12360 D. 16770 【答案】B 【解析】 【分析】该屋顶（不含底面）由，等腰梯形、等腰梯形四个面组成，进而求出表面积即可求解. 【详解】由题意可知，底面四边形为矩形，则，， 该屋顶（不含底面）由，等腰梯形、等腰梯形四个面组成． 而， 取的中点，连接，则， 而，则， 则， 过点分别作，垂足为， 则，即， 所以， 则该屋顶（不含底面）的表面积为， 因为每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b为不重合的直线，，，为不重合的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系，结合相关性质定理和反例判断命题真假. 【详解】选项A：根据面面平行的传递性，平行于同一个平面的两个不重合平面互相平行，题干明确平面不重合， 因此若 ， ，则 ，该命题为真； 选项B: 平行于同一平面的两条直线位置关系不确定，可平行、相交或异面， 例如正方体上底面的两条相交棱均平行于下底面，此时两条直线不平行，该命题为假； 选项 C :根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条不重合直线互相平行，题干明确直线不重合， 因此若 ，则 ，该命题为真； 选项D: 垂直于同一平面的两个平面位置关系不确定，可平行或相交， 例如正方体的正面和右侧面都垂直于底面，此时两个平面垂直不平行，该命题为假. 10. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，表示第一次抛掷骰子的点数，表示第二次抛掷骰子的点数．设表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则下列说法错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义先计算各事件及对应交集的概率，再逐一验证即可. 【详解】连续两次抛掷骰子，总共有个等可能的样本点， ， ， ， 所以，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，,故C错误； 对于D，，故D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，P分别为线段，，的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 在平面内的射影为的垂心 D. 三棱锥的外接球的直径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据正方体棱长为及各点位置，写出所有相关点的坐标.异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值，所以用向量点积公式计算.直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，所以用向量点积公式计算.对于射影为垂心问题：设在平面内的射影为点，先求平面的法向量得到的坐标，再验证与顶点的连线和对边是否垂直，即对应向量点积是否为.对于三棱锥外接球直径问题：设外接球的球心坐标，根据球心到四个顶点距离相等列方程，求解得到球心坐标后计算直径。 【详解】建立空间直角坐标系，以为原点，为轴，为轴，为轴， 正方体棱长为，各点坐标为：   , 由中点定义得：，，, 选项A：  设异面直线所成角，因为， , ， , 所以，A正确. 选项B：因为， , 设平面的法向量为， 则 ,令，得.    , 因此与平面所成角的正弦值为，B错误. 选项C：设在平面的射影为，则与平面的法向量平行. 因为， , 设法向量，则  令， 得，因此， 即  又在平面上，平面方程为， 代入得：  ,因此. 验证是的垂心（垂心为三条高的交点，需满足高垂直对边）： ，， ，， ，， 三条高都过，因此是的垂心，C正确. 选项D：设外接球球心为，球心到四个顶点 距离相等，因此：  解方程得： 由得 由，代入得 由，代入得 因此球心为，半径满足：  , 直径为，D正确. 综上，正确选项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．若复数，则的共轭复数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，求得，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，，对应的点分别为，，， 可得， 则， 所以 13. 在等腰梯形中，，，，，是边的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，确定各点坐标后计算向量坐标，再利用向量点积的坐标运算公式求解． 【详解】建立平面直角坐标系：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则， 在等腰梯形中，上底，下底，则点横坐标为， 由勾股定理得梯形的高， 因此，， 因为是的中点，所以， 所以，， ． 14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，其侧面展开图是一个面积为的半圆环，则其体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用侧面展开图是一个面积为的半圆环求得母线长和上、下底半径，从而可算出高，再计算体积. 【详解】如图①，设圆台轴截面为，过作，交于点.设上底半径为，则下底半径为. 将圆台侧面沿母线展开后得图②，则，所以，. 所以. 所以圆台侧面积为.所以.所以，. 在图①中，. 所以圆台体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量坐标运算求出，再利用坐标求出向量的模. （2）由（1）中信息，利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 由向量，得， 而，，则， 解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以向量与向量夹角的余弦值为. 16. 某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）． 【答案】（1） （2）平均数为，中位数约为 【解析】 【分析】（1）利用概率和为1即可求的值. （2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得. 【小问2详解】 平均数为. 中位数为. 17. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，D是边上的一点，． （1）求证：； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）， 由正弦定理可得， 所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦和正弦定理化简可得； （2）由向量的加法和运算律结合正弦定理和基本不等式化简可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由可得，即， 平方后可得， 由和正弦定理可得，（为三角形外接圆半径） 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 18. 甲、乙两队进行投篮比赛，每队两人，每人投篮一次，投中者为本队赢得一分，不中得零分，最终得分多的队伍获胜，若得分相等为平局．由以往统计结果可知，甲队两人投中的概率分别为，，乙队两人投中的概率均为，且每人投中与否相互独立． （1）求甲队总得分为0分的概率． （2）求甲、乙比赛结果为平局的概率． （3）甲、乙两队哪队获胜的概率更大？请说明理由． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 当甲乙两队比分为1：0，2：0，2：1时，甲队获胜. 当甲乙两队比分为1：0时，概率为； 当甲乙两队比分为2：0时，概率为； 当甲乙两队比分为2：1时，概率为. 则甲队获胜概率为：.又由（2）可得甲，乙两队非平局概率为：， 则乙队获胜概率为：，因，则乙队获胜概率更大. 【解析】 【分析】（1）由独立事件概率乘法公式结合题设可得答案； （2）由题设可知当两队比分为时，两队平局，然后由互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式可得答案； （3）分别计算两队获胜概率，比较大小可得答案. 【小问1详解】 设甲队两人投中分别为事件，乙队两人投中为事件， 由题可得. 则甲队总得分为0的概率为：； 【小问2详解】 当两队比分为时，两队平局. 则比分为的概率为：； 比分为的概率为：； 比分为的概率为：. 则平局概率为：. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，，，为线段的中点． （1）证明：； （2）求三棱锥的内切球的半径； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 由，得为等边三角形，故， 由菱形得，结合得， 在中，，故， 在中，，满足， 故, 为中点，为中点，故是的中位线，， 故， 由，，且平面，得平面， 又平面，故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据四棱锥的性质，结合已知条件，由线面垂直证明线线垂直； （2）利用几何法求出棱锥的表面积及体积，再利用分割法求出内切球的半径； （3）利用几何法求出相关边长，利用平面向量结合余弦定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 均为边长为2的等边三角形，面积均为， 为直角三角形，面积为， 为直角三角形，面积为， 故三棱锥的表面积， 由（1）知，是等边三角形，故， 过作平面的垂线，垂足为， 由，故它们在底面的射影也相等，即， 故在线段的垂直平分线上， 因为，由三垂线定理的逆定理得， 在底面中，，由于，故， 则在等腰中，底角为，顶角， 由正弦定理：，故， 在直角三角形中，， 故， 四面体的内切球球心到四个面距离等于半径，将四面体分割为4个小三棱锥， 由体积关系得， 故． 【小问3详解】 在面中，为等腰直角三角形，取中点，则， 且， 连接，在菱形中，对角线， 在中，，，， 在等边三角形中，， 故， 解得， 由余弦定理， 故， 故，故， 过作，且，连接则四边形是平行四边形， 且， 由，则为二面角的平面角， 由平面，故， 在中，，故， 在中，， 由余弦定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $