河北沧州市部分校2025-2026学年第二学期教学质量监测高一数学试题

绝密★启用前 2025一2026学年第二学期教学质量监测 高一数学 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=1一3i对应的点关于y轴对称，则z1= A.-1-3i B.1+3i C.3+i D.-3+i 2.样本数据1,3,5,6,7,12,15,20,22,23的第80百分位数为 A.4 B.20 C.21 D.22 3.已知x,y∈R,若(3x一1)i=2y(i为虚数单位)，则 A=y= 1 B.x= C.x=0,y=0 1 D.==0 4.已知向量a=(6,一2)，b=(1,1),则a在b上的投影向量为 A.(1,1)》 B.（2,√2) C.(2,2) D.(4,4) 5.在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F为线段DE的中点，则 A=号A店+2A B-}店+子A市 C.应-A+2A D.A=A脑+A市 6.在△ABC中，BC=k,AC=2,A=30°，则使△ABC有两解的k的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,4) D.(2,4) 高一数学第1页（共4页） 屬巴王 7.某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为90、方差为 12,女生得分的平均数为81、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为 A.29 B.37 C.84 D.87 8.我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形.如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面）， 底面四边形ABCD为矩形，屋脊EF∥底面ABCD,AB=22m,BC=12m,EF=AE=DE= BF=CF=10.已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约儒的瓦片数为 F B A.9830 B.10560 C.12360 D.16770 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a,b为不重合的直线，a,B,y为不重合的平面，则下列命题为真命题的有 A.若a∥y,β∥y,则a∥3 B.若ay,b∥y,则ab C.若a⊥y,b⊥y,则a% D.若a⊥Y,B⊥Y,则ag 10.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子 的点数.设A表示事件“x=4”,B表示事件“y>3”,C表示事件“x十y≥10”，D表示事件 “x十y=6”,则下列说法错误的是 A.A与C相互独立 B.C与D相互独立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,P分别为线段A1D,BC1,AA1的 中点，则 D AC,E与DF所成角的余弦值为号 B.CE与平面A1BD所成角的正弦值为 C.A在平面PBD内的射影为△PBD的垂心 D.三棱锥A1-PBD的外接球的直径为√1I9 高一数学第2页（共4页） 圈任 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在复平面内，复数之1，之2，z3对应的点分别为A(1,1),B(一1,1)，C(2,1).若复数之= 1·之，则之的共轭复数之=— 22 13.在等腰梯形ABCD中，ABDC,AB=8,DC=2,AD=BC=5,F是DC边的中点，则AC· A方= 14.已知圆台O,O2的上、下底面半径之比为1：3，其侧面展开图是一个面积为16π的半圆环， 则其体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),且(a一c)⊥b. (1)求|a-c; (2)求向量a一c与向量b一c夹角的余弦值， 16.(本小题满分15分) 某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果 绘制了如下的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表)和中位数（精确到0.01）. 个频率/组距 0.13 0.1 0.095 0.07 246810121416运动时长/时 高一数学第3页（共4页） 霸E思 17.(本小题满分15分) 已知ab,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，A=,D是BC边上的一点，BD=2D心 a)求证：2sin(c+)=b生， (2)若2a2 sin Bsin C=9,求|AD|的最小值. 18.（本小题满分17分) 甲、乙两队进行投篮比赛，每队两人，每人投篮一次，投中者为本队赢得一分，不中得零分，最 终得分多的队伍获胜，若得分相等为平局.由以往统计结果可知，甲队两人投中的概率分别为 是，号，乙8队两人投中的概率均为号，且每人投中与否相互狼立。 (1)求甲队总得分为0分的概率， (2)求甲、乙比赛结果为平局的概率. (3)甲、乙两队哪队获胜的概率更大？请说明理由. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=AB=BC=CD=DA=BD=2,PA⊥BC,E为线 段PD的中点. (1)证明：AE⊥BD; (2)求三棱锥P-ABD的内切球的半径； (3)求二面角A-PD-C的余弦值， 高一数学第4页（共4页） 蠡田三 题号12345678910 11 答案ACDC D BABAC BCD ACD 1.A解析：因为z2=1一3i,所以其对应点为(1，一3)，又复数1对应的点与复数之2对应的点关于y轴对 称，所以1的对应点为（一1，一3），则1=一1一3i,故选A. 2.C解析：由10×80%=8，所以第80百分位数为20,2=21，故选C 2 3x-1=0. 1 3.D解析：由复数相等的充要条件得 y=0, 解方程组得x=3y=0,故选D. 4C解折：向量a在b上的投影向量为。=(2,2，放选C 高一数学答案第1页（共7页） .D解析：A-AD+D-A币+2D呢=AD+2(DC+CE)=AD+2(-2AD)=A+AD, 故选D. 6.B解桥：由正弦定理得C-B所以mBAC-名，又△ABC有两解，则片且k<2. BC 解得1<k<2.故选B. 2.A解折：记该小组这次考试的总体平均数为工，方差为，则工=X902X8=87,=音[12+ 6 G-90y门+号[9+G-81门=29故选A 8B解析：由题意得，等腰三角形EAD的边AD上的高为8，其面积S6uE=2×8X12=48,易得等腰梯 形FEAB的高为8，其面积SeEw=2×(22+10)×8=128,所以屋顶总面积为2X(48+128)=352, 又352×30=10560.所以铺满屋顶大约需要10560片瓦，故选B. 9.AC解析：显然A正确：若ay,by,则a,b可能平行、相交，也可能异面，所以B错误；垂直于同一平面 的两条直线平行，所以C正确：若a⊥y,B⊥y,则a和B可能相交，也可能平行，所以D错误故选AC 1aD解折：PA)=合PB)-=2PC)=3-日PD)-最PAC)= 36 36=P(A)P(C),所 以A正确：C与D互斥，所以P(CD)=O≠P(C)P(D),即C与D不独立，故B错误：P(BC)=专≠ P(B)P(C),所以B与C不独立，故C错误，P(BD)=8≠P(B)P(D),所以B与D不独立，故D错 误.故选BCD 11.ACD解析：如图1，连接AE,AF,易知AE∥FC1·AE=FC1,所以四边形AEC,F为平行四边形，所以 C,E∥AF,所以∠AFD为异面直线C,E与DF所成的角或其补角，易得DF=AF=√6，由余弦定理，得 CoS∠AFD-DE十AF、AD=名故A正确：连接A,C,DC·则三棱锥C-A,BD是棱长为22的 正四面体，所以C,在平面A,BD内的射影为△A,BD的中心，易得C,E与平面A,BD所成角的正弦值 为2,2，故B错误：因为AP,AB,AD两两垂直，由三垂线定理可得A在平面PBD内的射影为△PBD 的垂心，所以C正确：如图2，设N为BD的中点，延长A,N交三棱锥 0 C A,-PBD的外接球面于点K,由△A1BD是边长为2√2的等边三角形， 得A,N=后AK=5,又PB=PD=后，所以PN=,由三棱锥 A,-PBD关于平面A,PN对称，所以球心在平面A,PN内，所以△A,PK 外接圆的直径为三棱锥A,一PBD外接球的直径2R,由余弦定理，得 os∠PA,N=PATA N-PY=1+63=5,所以n∠PA,N= 图1 2PA1·A1N 2×1×63 器巴归金王 3 义PK=PA+AK-2PA·AK·cOsPA N3三3由正弦定理，得1 sin∠PA1N= 57 3 =√19=2R,故D正确.故选ACD. 3 3 D A K B 图2 121计公期折：由题号得岸=马已-产-所以：=-2+D=1-所以 z=1+2i. 13.36解析：如图.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得AF=(4,4),AC=(5,4),所以AC· AF=36. 14.26v3x 3 解折：设圆台的母线长为1，上.下底面的半径分别为，侧则片合设圆台的侧面展开图的 内环半径为R,则R,π=2πr1,即R1=2r1,同理R,十1=2r2,所以1=4r1,所以16π= （2，+2m,)X1=号21十2xX3)Xr,解得1=1所以，=3,1=4.所以圆台的高4=25. 1 所以圆台的体积V=专(x十9x十v97)×25=26 3 15.解：(1)a一C=(3一k,一1)，…1分 又(a一c)⊥b,所以(3一k)X1十（一1）X3=0,…3分 解得k=0,…5分 所以a-c|=√32+(-1)严=√10. (2)由(1)知a-c=(3,一1)，b-c=(1,1),a-c=√10，则b-c=√2.…10分 设0为向量a一c与向量b一c的夹角， 2 5 所以c0s0= …13分 √10×√2 5· 巴金 16.解：(1)由题意，(0.03十0.07十0.1十0.13十0.095十a十0.025)×2=1，…3分 解得a=0.05.…5分 (2)平均数 x=0.03×2×3+0.07×2×5+0.1×2×7+0.13×2×9+0.095×2×11+0.05×2×13+0.025×2× 15=8.76… …10分 设中位数为m,则0.03×2十0.07X2十0.1X2十(m一8)×0.13=0.5，…13分 2=8+18.77.… 17.解：运明：要证2nC+）-b牛，只劣证a6osC+snC=6十c,…1分 由正弦定理，可知只需证sin Acos C十√3 sin Asin C=sinB十sinC,…2分 因为A=子，所以等式左边=sin Acos C+sin Asin C=5。 2C0s13s6。-......·-··········4分 等式右边=sinB+sinC=-sin Acos C+-cos Asin C+sinC=5c0 2 cos C+3 sinC,…5分 左边=右边，得证.…6分 sin A sin B-sin C,又A=5 (2)由正弦定理知a, b 3 2·sin C=3.c 所以inB=5. 2 a ……8分 所以2a.5.b.5,￡=9.得c=6 2 a 2 a …9分 又Bi=2D元. 所以A市=A店+而=A店+号C=A店+号C-A)=A+号AC. …10分 所以=（传丽+号a到=日+都+号·46+e+2k)4w+2+12≥ 号22k+12)=号×(4×6+12)=4. …13分 所以AD≥2，当且仅当2b=c=2√5时，等号成立， 所以AD的最小值为2. …15分 18.解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A, 甲队总得分为0分，即甲队2人都不中，其概率PA)=(1-)×1-》=日 …4分 (2)记“甲队总得分为1分”为事件B,“甲队总得分为2分”为事件C, 甲队总得分为1分，即其中-人投中，一人不中，其概率P(B)=子×1-2》+(1-)×号 …5分 甲队总得分为2分，即两人都投中，其概率P(C)= 3 ,13 4×2=8 6分 餐巴全年 记“乙队总得分为0分”为事件A1,“乙队总得分为1分”为事件B1,“乙队总得分为2分”为事件C1, 乙队总得分为0分，即乙队2人都不中，其概率PA)=(1-号)×(1-）=)， ……7分 乙队总得分为1分即共中-人投中，一人不中，共概率PB,)=号×1-号》+1-号)×号-号 9 …8分 乙队总得分为2分，即两人部校中，共就率P(C)=号×号- …9分 记“比赛结果为平局”为事件O,有三种情况，都得0分，都得1分，都得2分， 所以比案结果为平局的概率P(O)=P()P(A,)+P(B)P(B,)+P(C)P(C)=72十专+6=72： 1+2+1_29 …1分 (3)记“甲队获胜”为事件D,包含1比0,2比0和2比1三种情况， PD)=PBPA)+PCPA+PCPB)=X号+xg+g×号-是 ……14分 记“乙队获胜"为事件E,则P(E)=1-P(0)-P(D)=1一2723 29191 ，……16分 因为P(E)>P(D),所以乙队获胜的概率更大. …17分 19.解：(1)证明：由AB=BC=CD=DA,得四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD, 又PA⊥BC,所以PA⊥AD,…1分 又PA=AD=2,所以PD=2√2， 又PB=BD=2,所以PB2十BD2=PD2,所以PB⊥BD.…2分 如图，连接AC交DB于点N,连接EN, 由四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC,且N为AC和DB的中点， E为线段PD的中点，所以ENPB,…3分 所以BD⊥EN. 又AC∩EN=N,所以BD⊥平面EAN,…4分 又AEC平面EAN,所以AE⊥BD. …5分 (2)由(1)知PD=√PB2+BD2=2√2.」 设AB的中点为O,连接DO,PO,易知PO⊥AB,DO⊥AB,PO=DO=√5， 由余孩定理，得s∠POD=n。=二3，所以sin∠POD22 ,……7分 2PO·DO 3 易知点P在平面ABD内的投影在直线OD上，所以三枚锥P-ABD的高h=PO·in∠POD=2y6 3 1 2√2 所以三棱锥P-ABD的体积为Vp-Am=3hS△m= .又易知SaPB=5,SAPn=2,Sam=2. 设三棱锥P-ABD的内切球的半径为R,则Vp-D= 3R(S△BD+S△PB+S△PD十SAPD),·9分 解得R=2√2-√6.…10分 瀏巴金任 (3)设二面角A-PD-C的平面角为0，二面角A-PD-B的平面角为a,二面角B-PD-C的平面角为 B,则0=a十B. 如图，连接BE,因为PA=AD=AB=BD,所以AE⊥PD,BE⊥PD,所以a=∠AEB, 易知AE=BE=√2，AB=2,所以AE2十BE2=AB2,即a=∠AEB=90°.…12分 th PA=PB=AB=BC=CD=DA=BD=2, 由上知PO⊥AB,DO⊥AB,所以AB⊥平面POD 又PDC平面POD,所以AB⊥PD. 又CD∥AB,所以CD⊥PD.…13分 设PC的中点为F,连接EF,BF,所以EFCD,所以EF⊥PD. 所以∠BEF为二面角B-PD-C的平面角，即B=∠BEF,…14分 由CD⊥PD,CD=2,PD=2√2，得PC=2√3. 又BC=BP=2,所以BF=1,…15分 又EFL2CD=1,BE=巨，所以△BEF为等腰直角三角形，所以B=∠BEF=45,…16分 综上，0=a+3=135°， 所以c0s0=00s135°=- 2 …17分 霸巴日全王