陕西省商洛市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学参考答案 1.C3i+4-i=4+2i. 2.D AB+CD-CB-AB+BD-AD. 150 3.A被选中的博士生人数为3000十900+150X135=5, 4.B若l⊥a,则L与a内无数条直线垂直；若l与a内无数条直线垂直，则l与a的位置关系 不确定 5.A由题可知，方程的另外一个复数根为m一i,且 1mD+(m-iD=-4, m=一2则 l(m+i)·(m-i)=n, n=5, m"=(-2)5=-32. 6.B新数据的平均数为3×5=15，方差为32×2=18. 7.A由正弦定理可求出sinB的值，又因为A是钝角，所以B只能是锐角，即B有唯一解，则 △ABC解的个数为1. 8.C如图，分别设上、下底面对角线的交点为O1,O,连接 O1O,由棱台的侧棱长均相等，可得O1O⊥平面ABCD. B 作B,T⊥BD于点T,可得T为BO的中点，且B,T⊥ 平面ABCD.由BC=2AB=8,B1C1=2A1B1=4,可得 BT=√5.因为BB1=3,所以B1T=2,则该棱台的高为 2,则谈楼合的体积为行×2X1+4X8+√2X1X48)X?=号 9.ACD由题可知，该组数据的众数为8，极差为7，第60百分位数为8，A正确，C正确，B不正 确.若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第60百分位数为8，D正确. 1aD得*9得号=1+么则=1-2红，=个于子=5：在复平肉对 的点位于第一象限，A不正确，B正确，C不正确.由x十a十bi=(1十a)+(2十b)i是纯虚 数可得十8则8-2数。-+6=6叶}”号≥，D正晚 11.ABD因为A1N⊥平面AA1D1D,A1MC平面AA1D1D,所以A1N⊥A1M,则MN= √A1N2+A1M≤√A1N2+A1D=3,A正确.易知B1D⊥平面A1BC1,则当MN/∥B1D 时，MN⊥平面A1BC1.因为N是A1B1的中点，所以M是A1D的中点，故存在唯一的点 M,使得MN⊥平面A1BC1,B正确.由M,N分别为AA1,AB1的中点，可得D1M=D1N -5,MN=巨，则△MND,的面积为号×E×√5-（受）'=多VAaN=专××2X1 X1=设点A,到平面MND,的距离为d,则由Va四，=VA,可得日×含d=子， 【高一数学·参考答案第1页（共4页）】 得d=号，C不正确，取AD的中点P,AD,的中点Q,连接PQ,NP,NQ(图略)，易得平面 NPQ平面BDD1B1,若点M在PQ上运动，则MN∥平面BDD1B1,故点M的运动轨迹 为线段PQ,长度为2，D正确， 12.4√2因为A'C=2,AC'⊥B'C,所以B'C=A'C'=2,A'B'=2√2，则BC=B'C=2,AB =2A'B′=42 1g2 ,因为2a-3b|=6,所以|2a-3b12=4a2-12a·b+9b2=36.又|b|=2a|=2, 所以4知2-12a·b十9b2=40-12a·b=36,得a·b=3,a在b上的投影向量为 6= a·b, 1460v下由题可知am608贺n80-85则0A=00=600m,0B OP tan30。 1800m.∠AOB=90°+30°=120°，则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB= 4680000,则AB=600√/13m. 15.解：(1)由mn,可得4x+12=0,解得x=-3, …2分 则m十n=(一5,10)，…4分 故m+n=√(-5)2+102=5√5.… 6分 (2)由m⊥n,可得一2x十24=0，解得x=12,…8分 则m十n=(10,10).… 9分 设m与m十n的夹角为0，则cos0=m:(m十n） mm+n 10分 -2×10+4×10 = √(-2)2+42×√102+10210· ……13分 16.证明：(1)连接BC.因为AB是底面圆O的直径，C在圆O上，所以AC⊥BC.…2分 又CC是圆柱的母线，所以CC1⊥平面ABC.…3分 因为ACC平面ABC,所以AC⊥CC1.…4分 又BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1.…6分 因为BC1C平面BCC1,所以AC⊥BC1.…7分 (2)连接EF,BD.因为E,F分别是AC1,CC1的中点，所以EF∥AC. …9分 又AB,CD是底面圆O的两条直径，所以∠ACB=∠DBC=90°， ………10分 则AC∥BD,… …12分 得EFBD,… …14分 则B,D,E,F四点共面. 15分 【高一数学·参考答案第2页（共4页）】 17.解：(1)因为sinA十cosA=√2sin(A+开)=√2， 2分 所以sin(A十牙）=1.… 3分 因为0<A<,所以A+至-受，即A=至 4… 5分 (2)因为bsin C=csin2B,所以bsin C=2 csin Bcos B, 6分 由正弦定理得bc=2cbC0SB,……8分 即cosB=2又0<B<x,所以B= 3 …10分 由正弦定理得A=sBSC2/2,……e…11分 11分 所以=2w2nB=22×'-6, …12分 c=2w2sinC=22sinA+B)=2sin(+5）=2w2×6+2-5+1 …14分 故△ABC的周长为2+√6+√3+1=3+√6+√3， …15分 3b=7a, a=0.015, 18.解：(1)由题意知 解得 …5分 0.1+0.4+10b+10a=1, b=0.035. (2)此次修习评分在[70,90)内的频率为(0.035+0.040)×10=0.75，…8分 所以估计此次修习评分在[70,90)内的参训人数为100×0.75=75.…10分 (3)超过60%的人的修习评分在77分及以上，即为40%分位数大于或等于77.·11分 因为修习评分在[60,70)内的频率为0.15<0.4，修习评分在[60,80)内的频率为0.5>0.4， 所以40%分位数在[70,80)内，…13分 由70+8485×10-50，可以估计40%分位数为9>71，…15分 0.5-0.15 所以有超过60%的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标. …17分 19.(1)证明：因为AB/∥CD,AB中平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB平面PCD.… …1分 又ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥L, 2分 易知P∈l,P在平面ABCD,所以I中平面ABCD. 3分 又ABC平面ABCD,所以l/平面ABCD.…4分 (2)解：(i)因为DE=BF,DE∥BF,所以四边形BDEF为平行 四边形 取BD的中点Q,连接PQ.由P是EF的中点，可得PQDE …5分 因为DE⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,则PQ⊥AB. 过点Q作HG⊥AB,并与AB,CD分别交于点G,H,连接PG, 【高一数学·参考答案第3页（共4页）】 PH.又PQ∩HG=Q,所以AB⊥平面PGH,从而AB⊥PG,AB⊥PH.…6分 由(1)可知AB∥亿，所以∠GPH即为二面角A--C的平面角.…7分 因为AB=2,AD=1,∠DAB=60°，所以BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos,∠DAB=3, 则Ag=AD+BD,从而AD1BD,则器品-号则QG=9则QH=QG- 4 PG-PH-/PQFQGT_/1 4 8分 又cos∠GPH=PG2+PH-GH_13 2PG·PH 19 9分 所以二面角A1-C的余弦值为9 10分 (ⅱ)因为AD⊥BD,所以△ABD外接圆的圆心为AB的中点M. 设三棱锥E-ABD外接球的球心为O,连接OM,则OM⊥平面ABD, 因为DE⊥平面ABD,所以OM=专DE=2,则三棱锥EABD外接球的半径R= √AMP+OMr-5 …11分 由题可知PQ/OM,PQ中平面AOB,OMC平面AOB,则PQ平面AOB, 则VO-PAB=VP-AOB=VQA0B=V0-ABQ,…12分 因为Q是BD的中点，所以5m号Sm=3×分X1X5-】 …13分 则V,3Sam·OM=5 1 241 …14分 又5%m=AB,PG=×2X年- 4 4,设点O到平面PAB的距离为d,所以Vopa -5心·d-侣-货解得d- 38 ……15分 由题可知，平面PAB截三棱锥E-ABD外接球所得截面为圆面，设圆的半径为r,则r2=R2 器 …16分 则平面PAB截三棱锥E-ABD外接球得截面的面积为 3π 19 …17分 【高一数学·参考答案第4页（共4页）】20252026 0ET 乙.. >》 S 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回, 4,本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册第六章至第九章, 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.3i+4-i= A.4+4i B.4-2i C.4+2i D.3-3i 2.AB+CD-C克= A.AC B.BD C.CA D.AD 3.某农业类高校有本科、硕士、博士三类在读学生,人数依次为3000,900,150.按比例采用分层 随机抽样的方法从中选取135人,则被选中的博士生人数为 A.5 B.10 C.15 D.20 4.已知直线l和平面a,则“L与a内无数条直线垂直”是“l⊥ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知m,n∈R,m十i是关于x的方程x2+4x十n=0的一个复数根,则m”= A.-32 且动 c是 D.32 6.已知一组数据x1,22,23,x4,x5的平均数x=5,方差2=2,每个数据都乘3后,则新数据的 平均数和方差分别为 A.15,20 B.15,18 C45,6 D.45,18 7.在 ABC中,内角AB,C所对的边分别为a,b若a=7,6=5,A-答,则 ABC解的个数为 A.1 B.0 C.2 D.3 8.如图,四棱台ABCD-A1B,C1D1的侧棱长均为3,上、下底面均是矩形,且BC=2AB=8: B,C1=2A1B1=4,则该棱台的体积为 56 A A D 62 B c号 D.124 3 【高一数学第1页(共4页)】 Tic1eE”-t3-i￡^元—i6￡nt18.^元—i性“i'一￡一I'B”“无“ 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分, 9.t-i⑦%o— ⑦叶i”81”fl. ('03 10).“35,6,7,8,828,9,9,10,10,” %E’". A.该组数据的众数为8 B.该组数据的极差为13 C.该组数据的第60百分位数为8 D.若去掉一个最高分和一个最低分,则新数据的第60百分位数为8 10.“, 3十1 之=则下列结论正确的是 A.x=-1+2i B.|z|=√5 C.之在复平面内对应的点位于第二象限 D.若z十a十bi(a,b∈R)是纯虚数,则a2+b2+b的最小值为 4 11.“”.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C1D1中,M是侧面 D AA1D,D上的动点,N是A1B,的中点,则下列结论正确的是 A B A.MN的最大值为3 B.存在唯一的点M,使得MN⊥平面A1BC, D C C若M为AA1的中点,则点A,到平面MND,的距高为号 D.若MN∥平面BDD,B1,则点M的运动轨迹长度为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.如图, A'BC是用斜二测画法绘制的水平放置的 ABC的直 观图,A',C分别在y',x轴上,B'与O'重合,且A'C=2,A'C ⊥B'C',则在 ABC中,AB= 13.已知向量a,b满足1b|=2|a|=2,且|2a-3b|=6.则ab= ;a在b上的投影向量为 t,'B) 14.高出海平面600V3m的观测点P在海平面上的正投影为O,海平面上有两处航标A,含,其 中A在O的正北方向上,从P观测A的俯角为60 ,B在O的东偏南30 方向上,从P观测 B的俯角为30 ,则A,B之间的距离为 m. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量=(一2,4),n=(x,6). (1)若mn:求|n十n|; (2)若m⊥n,求向量m与m十n夹角的余弦值, 【高一数学第2页(共4页)) 16.(15分) 在如图所示的圆柱中,AB,CD是底面圆O的两条直径,CC1是圆柱的母线,E,F分别是 AC1,CC的中点. (1)证明:AC⊥BC1 (2)证明:B,D,E,F四点共面 17.(15分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA+cosA=√2. (1)A: (2)若a=2,且bsin C=csin2B,求 ABC的周长 【高一数学第3页(共4页)】 18.(17分) 牛03-%0/一乙”拉e一乙 “,⑦et$T“无,-”附 一”附一￡一无"T100,十.。-%o:一~“元 ~ ￡ ” ~“分布直 方图(分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).已知3b=7a. (1)求a,b的值. (2)估计此次修习评分在[70,90)内的参训人数, (3)将评分77分及以上视为修习效果合格,若合格人数频率大于60%,则判定本期研习活 动达标.试问本期活动是否达标?并阐述理由. 个频率组距 0.040 6 0.010 60708090100评分分 19.(17分) 如图,AB,/CD,DE=BF=BC=CD=AD=号AB=1,∠DAB=60 ,DE⊥平面ABCD, DE∥BF,P是线段EF上的动点(含端点),设平面PAB∩平面PCD=L. (1)证明:l/平面ABCD, (2)设P是EF的中点. ( )求二面角A-l-C的余弦值; ( )求平面PAB截三棱锥E-ABD外接球所得截面的面积. 【高一数学第4页(共4页)】