安徽省六安市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题A

高一数学A 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘 贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹 清晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题日的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知复数=号+ 2,其中i为虚数单位，则= A司 B.1 c号 D.1+3 2 2.已知向量a=(1,2),b=(m,一1)，若a⊥b,则实数m的值为 A.2 B.-2 c 3.某科技公司为测试新推出的智能手环健康监测功能，随机抽取了7名测试者，记录他们连续 一周的日均步数（单位：千步）分别为：6,7,7,8,9,9,10.则这组数据的第60百分位数是 A.6 B.7 C.8 D.9 4.已知p:log2(x一1)<1，q:lx一2|<a(a>0).若p是g的充分不必要条件，则实数a的取 值范围是 A.(1,十∞) B.[1,+∞) C.(0,1] D.(0,1) 5.如图，在正四面体A一BCD中，F为CD中点，则异面直线AF与BD所成角的余弦值为 A. 2 3 n 第5圈 第6题 6.一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为3m,转轮中心O距离水面6m,已知转轮按逆时 针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上P点到达最高点时开始计时，当1=20秒时，点P 离水面的高度为 A.4.5m B.6.0m C.7.5m D.8.6m 【高一数学A第1页（共4页）】 7.现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为18cm,完 全展开时扇骨间的夹角为若扇面的上弧长与下弧长之比为3：1，将该扇面围成一个圆 台，则该圆台的高为 上弧长L 扇而下弧长！ 扇骨=18cm A.6√2cm B.63 cm C.8√2cm D.83 cm 8.已知△ABC的外接圆圆心为O,且满足1AB+AC|=|AB-AC1,|AC1=OA1,则向量 BA在向量BC上的投影向量为 A.BC B.B D.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知m,n是互不重合的直线，a,3是互不重合的平面，则下列结论正确的是 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n B.若m∥an∥a,则mn C.若m∥a,a∩3=n,则m∥n D.若m⊥a,m⊥n,n史a,则n∥a 10.某光伏企业对钙钛刊矿薄膜组件进行抽样检测，随机抽取3块组件，定义事件：A=“3块组件 全部合格”，B=“3块组件全部不合格”，C=“3块组件不全合格”.已知单块不合格的概率 为子，且每块组件合格与否相互独立，则下列说法正确的是 A.A与B是互斥事件 B.B与C是互斥事件 C.A与C是对立事件 D.P(AUB)-16 7 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且sinBcosC+-sinCcosB=3 asinA,则下 列说法正确的是 A.若A=行则△ABC的外接圆的面积为3x B.若A=千，且△ABC有两解，则b的取值范围为3,3] C.若b=4,且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(7,5) D.若C=2A,且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3√2,35) 【高一数学A第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知e1e2是两个不共线的向量，a=e1一2e2,b=2e1十ke.若a与b共线，则实数k= 13.在R上定义运算☒：x☒y=4一2*'，当x>0时.不等式x⑧1<a有解，则实数a的取值 范围是 4,如图，三棱锥A-BCD的外接球O的体积为06，E为BC的中点，AE⊥平面BCD AB=BC=23,则球O被平面BCD截得的截面面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数之=（m2一2m一3)十(m2十4m十3)i,其中m∈R,i为虚数单位. (1)若复数之在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围： (2)若复数：对应的点在直线y=一x上，求复数：的共轭复数； 16.(15分) 为测验设备性能，在卫星测控任务中启用甲、乙、丙三套地面测控系统.已知每次测试中， 套系统相互独立工作，且各次测试结果相互独立·成功捕获目标信号的概率依次为氵，；，宁 (1)求甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号的概率； (2)测试规定：若至少两套系统成功捕获信号，则单轮测试合格；若单轮测试不合格，则按 相同标准立即进行且仅进行一次复测.求前两轮测试内就能得出合格结果的概率. 17.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=(a,3b),n= (cosA,sinB),且m∥n. (1)求角A的大小： (2)若a=23,且△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长； (3)在(2)的条件下，若点D为BC的中点，求中线AD的长度. 【高一数学A第3页（共4页）】 18.(17分) 为了了解青少年对人工智能(AI)科普知识的掌握情况，某校开展了AI科普知识挑战赛， 从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩（均为整数，满分100分）作为样本，整理后绘制了 如图所示的频率分布直方图. (1)先求：的值，并估计本次参赛学生成绩的平均数（四舍五人取整）； (2)采用分层抽样法，从[40,50)和[90,100]巾抽取5个样本，再从中随机选取2个进行人 工智能科普知识的获取渠道进行分析，求这2个样本中最多有1个来自[90,100]区间的概率； (3)若规定成缋在80分及以上认定为“掌握情况良好”.现已知原始样本数据中，“掌握情 况良好”的学生成绩的平均数为88，方差为18，若成绩在[80,90)内的平均数为86，方差为2， 求成绩在[90,100]内的平均数和方差. (附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x1,;n,x2,,记两组数 据总体的样本平均数为西，总体样本方差为s,则总体样本平均数四=” n十n m十n2?:总 体样本方差=m4ni+G-0)门+m千n+-面)门) 频率 0.034 组距 0.030 0.018 0.006 0.004 405060708090100分数 19.(17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC, ∠BCD=受，BC=CD=1.AD=2,二面角P-CD-A为子 (1)证明：平面PAB⊥平面PBD: (2)在PA上是否存在点M,使得BM/厚面PCD,若存在，求A若不存在，说明理由： (3)求PA与平面PBD所成角的正弦值. 【高一数学A第4页（共4页）】 高一数学A参考答案 选择题：1-8题，每题5分；9-11题，每题6分，共58分。 2 3 5 6 7 8 9 10 11 B A D A D C C B AD ACD ACD 填空题：每题5分，共15分。 12.-4 13.(-1,+0) 14.4π 15.(1)(-1,3)(6分) (2)当m=0时，之=一3+3i,共轭复数之=-3一3i;当m=-1时，之=0，共轭复数z=0(7分) 【解析】(1)复数之在复平面内对应的点的坐标：(m2-2m-3,m2十4m十3)， m2-2m-3<0,① 第二象限的点满足实部<0，虚部>0，即： m2+4m+3>0,② 解不等式①得-1<m<3,解不等式②得m<-3或m>-1; 综上得实数m的取值范围为{m一1<m<3};…6分 (2)直线y=一x上的点满足虚部=一实部，即m2十4m十3=一(m2-2m一3)，…7分 化简得：2m2+2m=0→2m(m+1)=0, 解得=0或=一1.………………9分 当m=0时，之=一3十3i,共轭复数之=一3-3i;…11分 当m=一1时，之=0，共轭复数之=0.…13分 16.1) 32(6分) e9分， 【解析】(1)设甲、乙、丙三套系统成功捕获信号分别为事件A,B,C, 则PA)=PB)=是PC)号 1 甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号，等价于恰有一套未捕获信号，其概率为 P1=P(ABC)十P(ABC)十P(ABC)…3分 =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) …………………………………………6分 (2)前两轮测试内就能合格包含首轮直接合格和首轮不合格，第二轮复测合格两种情况， 计算三套都捕获的概率：P,=P(A)P(B)P(C)∴X3x,1 41 232…9分 计计年轮酒试合格的短率：P,=R,+P,一授+品-导 …11分 1、33 计算“首轮不合格且复测合格”的概率：P,=(1一P3)·P3=一× ……………13分 41 4161 所以前两轮测试内就能得出合格结果的概率P=P十P,三年十6=6、· ……………………15分 1.14分) (2)2√+6(5分) (3)W7(6分) 【解析】(1)由mn,得asinB=√3 bcosA, .2 R sinA·sinB=√5·2 RsinB·cosA, 由于0<B<π，所以sinB≠0， 化简得sinA=√5cosA→tanA=√3， …………………………3分 A<元，A不；cto心 【高一数学A参考答案第1页（共6页）】 （2)由三角形面积公式：She sinA, 代入S=2B,A专牙，得23专bc·$i西父→bc=8,…6分 由余弦定理：a2=b2十c2-2 bc cosA, 00s交=号，得12=b2+C2-b0→b2十C2=20, b,c>0,∴b+c=6. △ABC的周长为a十b十c=2√5+6；… …………9分 (3)点D为BC的中点，根据向量中点公式得A市-=专A店+AC) 1A市2=(A+2A店.AC+C)=2+2c08A+b3),…12分 由(2)问可知b2十c2=20,bc=8,代入得： |Ad12=1X(20+8)=7今|Ad1=7.…15分 18.(1)a=0.008,平均数为72(5分) 7 (2)105分) (3)平均数为94，方差为18(7分) 【解析】(1)在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得(0.004+0.006+a+0.018十0.03+0.034)X10=1,解得a=0.008,…2分 平均数为45×0.04+55×0.08+65×0.34+75×0.3+85×0.18十95×0.06=71.8≈72；…5分 (2)由题意，抽取5个样本，其中成绩在[90,100]内的有3个，记为A1、A2、A3, 成绩在[40,50)内的有2个，记为B1、B2;…7分 从这5个样本中随机抽取2个，试验的样本空间 2={A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2},n(2)=10;…8分 记事件A=“2个样本中最多有1个来自[90,100]区间”， 则A=(A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2},n(A)=7,…9分 、7 所以2个样本中最多有1个来自[90,100]区间的概率为P=0……10分 (3)由题成绩在[80,100]内的为“掌握情况良好”， 成绩在80,90)内占成绩在[80,10]的比例为0.18+0.064， 0.183 成绩在90,10]内占成绩在[80,10]的比例为0.18+0.06=4' 0.06 1 …12分 设成绩在[90,100]内的平均数和方差分别为x2s2, 由分层随机抽样的平均数公式可得3X86十=88，解得C2=94,…11分 由分层随机拍样的方差公式可得子2十(86-8)门+十94-8)门=18，解得=18. 4 所以成绩在[90,100]内的平均数为94，方差为18.…17分 19.(1)见解析(5分) (2)存在，当M为PA中点时满足条件，AM=1 'AP=25分) 8?分) 【解析】(1)取AD的中点E,连接CE,BE 因为AD∥BC,AD=2,BC=1, 【高一数学A参考答案第2页（共6页）】 所以DE=BC=1,且BC∥DE 所以四边形BCDE为平行四边形，………………………………………………1分 又BC=CD=1,∠BCD=90°， 平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥EC,…3分 因为E为AD中点，所以AE=1=BC且AE∥BC, 故四边形ABCE为平行四边形，得AB/∥CE,…4分 所以BD⊥AB, M 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD. 又PA∩AB=A,PA、ABC平面PAB,所以BD⊥平面PAB, 由BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAB;…5分 2存在，M为PA中点，比时-号证明如下。 连接ME,连接BE, 由(1)知四边形BCDE为正方形，所以BE∥CD, 因为BE中平面PCD,CDC平面PCD, 所以BE平面PCD.… …7分 因为M,E分别为PA,AD中点，所以ME∥PD. 又ME丈平面PCD,PDC平面PCD,所以ME∥平面PCD. 因为ME∩BE=E,ME,BEC平面BME, 所以平面BME平面PCD. 又BMC平面BME,所以BM∥平面PCD;… …10分 (3)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PA⊥CD. 又∠BCD=AD/BC,所以ADLcD, 因为PA∩AD=A,PA,PDC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD. 放∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，即∠PDA=不，12分 π 在Rt△PAD中，PA=ADan4=2. 由(1)知，平面PAB⊥平面PBD,交线为PB. 在平面PAB内，过点A作AF⊥PB于点F,则AF⊥平面PBD 所以F为点A在平面PBD内的射影，PF为直线PA在平面PBD内的射影. 根据线面角的定义，即∠APB为PA与平面PBD所成的角. 在Rt△PAB中，AB=√2，PA=2,PB=√AB2+PA=√6， 所以sin∠APB=AB-E_B PB 6 3 √3 即直线AP与平面PBD所成角的正弦值为 …………17分 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 【高一数学A参考答案第3页（共6页）】 【详解】 1.B【解析】=√（之 +1 2.A【解析】由a⊥b得a·b=0,即1×m十2X(-1)=0,解得m=2. 3.D【解析】因为n=7,p%=60%, 所以i=7×60%=4.2为非整数，向上取整的位置，所以第60百分位数为排序第5项，即9. 4.A【解析】p:log2(x-1)<1,所以0<x-1<2,解得1<x<3,即条件p对应的集合为A=(1,3)； g:x-2<a(a>0),解得-a<x-2<a,即2-a<x<2十a,即条件q对应的集合为B=(2-a,2+a). 因为p是q的充分不必要条件，则对应集合满足A车B,可得 2-a≤1， ,得a≥1. 2+a≥3 当a=1时，集合B=(1,3),此时A=B,p是q的充要条件，不符合题意，故a=1舍去. 因此，a的取值范围是a>1,即(1，十∞). 5.D【解析】不妨设四面体的棱长为2，取BC中点E, 连接AE,EF,则EF∥BD, 所以∠AFE(或补角)即为异面直线AF与BD所成角. 则AF=AE=√3，EF=1, 由余弦定理可得cos∠AFE=AF+EF-AE尽 2AF·EF 6 2ππ 6.C【解析】由题知转轮转动的角速度为12060ad/s, 因为转轮的半径为3，转轮中心距离水面为6，设P点到水面的高度为y, 根据匀速园周运动的数学模型有：y=3c0s(需)十6，当1=20秒时，y=7.5, 所以点P离水面的高度是7.5m. 7.C【解析】设圆台的上下底面半径分别为r1r2,由题知扇面的外径为18cm, 内径为6cm, 所以圆台的母线长2cm,上弧长L2w2名xX18=2xcm,则r=6cm 下孤长1=2m1=号xX6=4标cm,则r=2m, 则圆台的高h=√2-(r2-r1)产=√12-(6-2)=8V2cm. 8.B【解析】已知AB+AC1=|AB-AC1,得(AB+AC)2=(AB-AC)2→AB.AC=0, 因此AB⊥AC,即∠BAC=90°.因此O是BC的中点，BC为外接圆的直径 设外接圆半径为R,则|OA=R(半径)，|BC1=2R(直径). 已知AC1=|OA|,故|AC1=R. 在RIAABC中，sinB=AC=R⊥ |BC2R-2· 因为B∈(0，受)（三角形内角且为锐角），所以∠B=30。 BA|=√BC12-ACP=√(2R)2-R=5R, 则向量BA在向量BC上的投影向量为 【高一数学A参考答案第4页（共6页）】 BA.BC.BC-BA BC cos30.BC 5R·2R.5 BC BC (2R)P .B就-2BC, 9.AD【解析】垂直于同一平面的两条直线平行（线面垂直性质定理），A正确； 若ma,n∥a,则m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误； 若ma,a∩B-n,缺少mC3,m与n可能异面，故C错误； 设直线m与平面a交于点P。过点P作直线l∥n。因为m⊥n,且l∥n,所以m⊥l。 又因为m⊥a,且l经过垂足P,由线面垂直的性质可知，直线l必须在平面a内（即lCa)。 因为l∥n,lCa,且n文a,由线面平行的判定定理可得n∥a。故D正确. 10.ACD【解析】A与B不可能同时发生，所以A与B是互斥事件，故A正确； B表示全部不合格，C表示不全合格，B发生则C发生，B与C不是互斥事件，故B错误； A与C互斥，且AUC=样本空间，符合对立事件定义，故C正确； Pa-(是'-器，PB)=宁-PAUB-PA+PB-6版D正 1.ACD【解折】因为sinBcoC+-sinCeosB=-子asinA,得3sin(B+C)=asinA, 因为A十B十C-π，所以sin(B十C)=sinA,且sinA≠0，所以a-3. 若A=行，所以△ABC的外接园的直径2R=品A=2,5,所以R=5, 所以△ABC的外接圆的面积为π×（√5）2=3π，故A正确； 若△ABC有两解，则a<b<s品A解得6∈(3.3D),故B错误： 锐角三角形的充要条件是三个角均为锐角，即每个角的余弦值大于0（等价于每个边的平方小于另外两 边平方和). 已知a=3,b=4,因为a<b,所以A<B,故A必为锐角， 要使△ABC为锐角三角形，只需保证角B和角C均为锐角即可（即最大角为锐角） ①若B为最大角（即c<4时），需满足B<分， 由余弦定理推论需满足b2<a2+c2,即16<9十c2,解得c>√7； ②若C为最大角（即c>4时），需清足C<受， 由余弦定理推论需满足c2<a2+b2,即c2<9十16=25，解得c<5. 综上所述，只需满足√7<c<5即可保证最大角为锐角.选项C正确； sinA-sin2A,即c=2 acosA,因为a=3,所以c=6cosA, 由正弦定理，得4。 0<A<0<A< 因为△ABC为镜角三角形，所以0<B<受，即0<一3A<受，所以君<A<, 0<c< 0<2A<8 所以c=6cosA∈(3√2,3√3)，故D正确. 12.-4【解析】将向量代入得2e1十ke2=入(e1-2e2)=入e1-2λe2,解得k=-4. 【高一数学A参考答案第5页（共6页）】 13.(-1,十0)【解析】依题意，x⑧1=4-2x+1D=(2)2-2·2, 令t=2,由x>0得t>1,则y=t2-2t=(t-1)2-1. 函数在t∈(1，十m)上单调递增，故y>-1,不等式有解等价于a>y的下确界，即a>-1. 14.4π【解析】：AE⊥平面BCD,AE⊥BC,∴.AB=AC, 又.AB=BC,.△ABC是等边三角形. 取AC中点为G,连接BG交AE于H,则H是△ABC外心. 设F为△BCD外心，连接OH,OF,OB, 易知OH⊥平面ABC,OF⊥平面BCD, 则四边形OHEF是矩形，OF=HE-号AE-号×怎×25-1. 连接OB,BF,设△BCD外接圆半径FD=BF=r,设球O半径为OB=R. 球0的体积为20小号成0，R-5 3 ∴.在Rt△OBF中，r=BF=√R2-OF=√5-1=2， .球O被平面BCD截得的截面面积为πr2=4π. 【高一数学A参考答案第6页（共6页）】