精品解析：湖北省武汉市青山区2025-2026学年下学期期末考试七年级数学试卷

青山区2026春期末考试七年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列给出的点的坐标，位于第三象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，选用的调查方式合理的是（ ） A. 统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B. 检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 C. 了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D. 了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于，的方程，的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 9. 小明参加100m短跑训练，今年2~6月的训练成绩及趋势图如下所示： 月份 2 3 4 5 6 成绩（s） 15.6 15.5 15.2 15.1 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你根据趋势图预测小明2个月后100m短跑的成绩为（ ） A. 14s B. 15s C. 14.6s D. 14.2s 10. 定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个大于5的无理数_______． 12. 2025年4月19日全球首场“人机共跑”半程马拉松赛事正式开跑．“天工”机器人以160分钟的成绩夺得冠军，排名最后的机器人成绩为230分钟．若将相关成绩绘制成频数分布直方图，组距为15分钟，则组数为_________． 13. 如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为_________．            14. 在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 15. 已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是______（填写正确选项的番号）． 16. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个整数值”到“结果是否大于100”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于100，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的最大值是_____，最小值是_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 18. x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 19. 为了掌握七年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师随机选取一个水平相当的七年级班级进行预测．将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布图表如图：（成绩得分均为整数） 组别 成绩分组（分） 频数 百分数 合计 根据表中提供的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的_________，_________，_________． （2）若将抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为_________． （3）若该校共有名学生，估计全校数学成绩不低于分的学生有多少人？ 20. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 21. 对于平面直角坐标系中的图形上的任意点，给出如下定义：将点 平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移称为将点进行“型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点，． （1）画出线段进行“型平移”后的对应线段，并直接写出，的坐标； （2）四边形的面积为________（平方单位）； （3）将线段进行“型平移”后与轴有公共点，直接写出的取值范围________； （4）将四边形进行“型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出的取值范围是________． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）“五一劳动节”前夕，该公司用不超过万元购进两型汽车各若干辆，其中型汽车与型汽车共辆，请你通过计算，求出共有几种购买方案； （3）已知销售每辆型车可以获利万元，为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，每辆型车原来获利万元，要使中所有方案获利相同，则的值为__________． 23. 如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． （1）求证：； （2）如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．与轴交于点，且．点坐标为． （1）直接写出_________，_________，_________； （2）动点在线段上，直线交直线于点，若，求点的坐标； （3）若为直线上一点， ①求与满足的数量关系为_________； ②若的面积大于面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青山区2026春期末考试七年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：0，，都是有理数， 是无理数， 故选：C． 2. 下列给出的点的坐标，位于第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，横纵坐标都为负数，直接判断各选项即可． 【详解】解：第三象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标小于，只有C符合要求． 3. 下列调查中，选用的调查方式合理的是（ ） A. 统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B. 检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 C. 了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D. 了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 【答案】D 【解析】 【详解】解：统计全班45名学生的身高，调查范围小，适合全面普查，A不合理； 检测无人机使用寿命的调查具有破坏性，不适合全面普查，B不合理； 了解全省中小学生的睡眠时间，调查范围大，全面普查成本过高，适合抽样调查，C不合理； 了解全市三万名14周岁学生的身高情况，调查范围大，适合抽样调查，D合理． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，进而确定不等式组的解集，结合数轴即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ∴只有C选项表示正确，符合题意 ． 5. 若，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，原不等式成立； B． ∵，∴，原不等式不成立； C． ∵，∴，原不等式成立； D． ∵，∴，原不等式成立； 故选：B 6. 已知是关于，的方程，的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 把x与y的值代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵是关于，的方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根据BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，从而根据平行线的性质得到∠CDB=2∠1，则∠2=180°-4∠1. 【详解】解：由题意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD， ∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180° ∴∠CFB=∠CDB ∴∠CAG=∠CDB 由折叠的性质得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180° ∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α ∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α 故选D. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 8. 古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只． 甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ； 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ． 联立两方程组成方程组． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 小明参加100m短跑训练，今年2~6月的训练成绩及趋势图如下所示： 月份 2 3 4 5 6 成绩（s） 15.6 15.5 15.2 15.1 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你根据趋势图预测小明2个月后100m短跑的成绩为（ ） A. 14s B. 15s C. 14.6s D. 14.2s 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计与预测，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 【详解】解：如图，根据趋势图的直线可预测得，小明2个月后短跑的成绩为． 故选：C． 10. 定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个大于5的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数定义及大小比较，根据已知的无理数在构造大于5即可 【详解】解：为无理数，且大于5． 故答案为：． 12. 2025年4月19日全球首场“人机共跑”半程马拉松赛事正式开跑．“天工”机器人以160分钟的成绩夺得冠军，排名最后的机器人成绩为230分钟．若将相关成绩绘制成频数分布直方图，组距为15分钟，则组数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据组数的计算规则，用最大值与最小值的差除以组距，若计算结果不为整数，则向上取整得到组数． 【详解】解：由题意得，最大值为，最小值为，， 因此组数为． 13. 如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为_________．            【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质以及垂直的定义，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），由，得，．同理，由，得．由，得，故．那么，可得． 【详解】如图，延长至． ， ． 又，即， ，． 又， ． ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：在轴且在轴，或在轴且在轴 ．利用平移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（轴上点纵坐标为，轴上点横坐标为 ）列方程求解． 【详解】解： 情形一：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 情形二：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 故答案为：或 ． 15. 已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是______（填写正确选项的番号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】先解出二元一次方程组得，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③，根据不等式的性质可判断④． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①正确； 当时，，， 此时，故②错误， 由①可得时，故③错误； 若，则， ∴， ∴即，故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，不等式的性质，熟练掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题关键． 16. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个整数值”到“结果是否大于100”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于100，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 ①. 18 ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集，然后根据x为整数得出最大值和最小值即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：， ∵x为整数， 输入的的最大值是18，最小值为2． 故答案为：18；2． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：可变形为， ①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 18. x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 【答案】 【解析】 【分析】先把两个不等式联立构成一元一次不等式组，然后求出每一个不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：建立不等式组 解不等式①得 解不等式②得 ∴ ∴x可取的整数值为． 19. 为了掌握七年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师随机选取一个水平相当的七年级班级进行预测．将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布图表如图：（成绩得分均为整数） 组别 成绩分组（分） 频数 百分数 合计 根据表中提供的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的_________，_________，_________． （2）若将抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为_________． （3）若该校共有名学生，估计全校数学成绩不低于分的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2） （3）全校数学成绩不低于分的学生有人 【解析】 【分析】（1）用的频数除以百分比即可求出总人数，利用总人数乘以的百分比得到，再根据减去其他组的百分比得到； （2）用乘以的百分比，即可求解； （3）用乘以数学成绩不低于分的百分比，即得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 成绩为“”所在扇形对应圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）， 全校数学成绩不低于分的学生有人． 20. 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？ 【答案】这些书有本，共有6个人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题关键是准确列出不等式组． 设共有x人，则这些书有()本．根据题意列出不等式组求解． 【详解】解：设共有x人，则这些书有()本．由题意， 得， 解得， ∵x为整数， ∴， ∴ (本)． 答：这些书有本，共有6个人． 21. 对于平面直角坐标系中的图形上的任意点，给出如下定义：将点 平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移称为将点进行“型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点，． （1）画出线段进行“型平移”后的对应线段，并直接写出，的坐标； （2）四边形的面积为________（平方单位）； （3）将线段进行“型平移”后与轴有公共点，直接写出的取值范围________； （4）将四边形进行“型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出的取值范围是________． 【答案】（1）线段见详解，(1，2)， (4，1)；（2）4；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中“型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段． （2）如图，构造出长方形，再计算，，，，从而可得四边形的面积． （3）当点向下移到x轴上时，求得a的最小值；线段继续下移，当点在x轴上时，a取得最大值． （4）找到图形左右移动，上下移动时的临界值，即可得a的取值范围． 【详解】解：（1）因为，， 所以将进行“型平移”后， ，， 即，． 线段如图所示． （2）如图，长方形的面积为，和的面积都为，和的面积都为， 所以． （3）因为， 所以当进行“型平移”后，B在x轴上，此时a取得最小值为3． 线段继续下移，因为， 所以当进行“型平移”后，A在x轴上，此时a取得最大值为4． 所以的取值范围为． （4）①先研究左右移动． 因为， 所以当进行“型平移”后，A在y轴上，此时a取得最大值为1． 因为， 所以当进行“型平移”后，在y轴上，此时a取得最小值为． 所以． ②研究上下移动． 因为， 所以当进行“型平移”后，A在x轴上，此时a取得最大值为4． 因为， 所以当进行“型平移”后，在x轴上，此时a取得最小值为． 所以． 因为满足上述任一情况，四边形即与坐标轴有公共点， 所以的取值范围是． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）“五一劳动节”前夕，该公司用不超过万元购进两型汽车各若干辆，其中型汽车与型汽车共辆，请你通过计算，求出共有几种购买方案； （3）已知销售每辆型车可以获利万元，为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，每辆型车原来获利万元，要使中所有方案获利相同，则的值为__________． 【答案】（1）型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； （2） （3） 【解析】 【分析】设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意得，然后解方程组即可； 设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，根据题意得，解得，又和都是正整数，则，求得，且为正整数，从而得解； 设总获利为万元，根据题意得，整理得，要使所有方案获利相同，则的取值与无关，得，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意得， 解得， 答：型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，则购进型汽车辆， 根据题意得， 解得， ∵和都是正整数， ∴， ∴， ∴，且为正整数， ∴可取，共个符合条件的值， 答：共有种购买方案； 【小问3详解】 解：设总获利为万元， 根据题意得， 整理得， 要使所有方案获利相同，则的取值与无关， 因此的系数为，即， 解得， 故答案为：． 23. 如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． （1）求证：； （2）如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）证明：如图过作 ， ， ， ， ， ． （2） ，理由如下： 平分，平分， 可设，, ． 由（1）同理可得，． ， ，即， ． ， ， ，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作  ，利用平行线性质将和转移为的两部分； （2）设，，则，，由（1）结论得．由得，从而，利用三角形内角和定理求得，代入计算化简得； （3）由（2）的结论设，，，，作延长线得，利用（1）结论得，代入，解得，再分点在直线左侧和右侧两种情况，利用三角形内角和、邻补角关系及角度代换，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，设，， 由（2）得，，， 如图，作的延长线，点是延长线上一点， ， ， ，即， 由（1）同理可得， ，即， 解得， ． 如图，当在左侧时， ，， ，即 ， ， 即． 如图，当在右侧时， 同理，， ， ，即． 综上，或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．与轴交于点，且．点坐标为． （1）直接写出_________，_________，_________； （2）动点在线段上，直线交直线于点，若，求点的坐标； （3）若为直线上一点， ①求与满足的数量关系为_________； ②若的面积大于面积的，求的取值范围． 【答案】（1）；； （2） （3）①；②或且 【解析】 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性得出当等式成立时，两个式子的值均为，列二元一次方程组，解方程得到的值，进而得到的面积． （2）设动点，先根据已知条件解得，进而根据待定系数法得到直线和直线的表达式，联立两直线方程，即可得到答案． （3）①根据点为直线上一点即可求得；②根据当点在点之间时，当点在点右侧时，当点在点左侧时，分情况讨论，解得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴可列方程，解得， ∴点， ∴，， ∴的面积为：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：设动点，其中， ∵， ∴，解得：， ∴， 设直线的表达式为：， ∵直线经过、， ∴代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ∵直线经过点， ∴代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立两直线方程，得，解得， ∴交点坐标为：； 【小问3详解】 解：①∵为直线上一点， 当时，， 故答案为：； ②如图，当点在点之间时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 如图，当点在点右侧时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 如图，当点在点左侧时，即时， 由题意得，， 根据题意有，即，解得：， ∴此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为：或且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $