2.5 指数与指数函数（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 指数与指数函数精练以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖从概念运算到实际应用的完整路径，适配一轮复习学情，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与运算|单选1-3直接考查指数式求值、奇偶性判断等基础，强化运算能力| |提升层|性质综合与简单应用|多选9-10结合幂函数综合性质判断，填空13通过图像交点考查数形结合，发展推理意识| |综合层|复杂情境与探究性问题|解答19以存在性问题整合函数最值与逻辑推理，题6结合冷却模型培养模型观念，提升数学语言表达能力|

2.5 指数与指数函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 2．（25-26高三上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 3．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 4．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【答案】D 【分析】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D 7．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质求出在的值域，再由在上的值域包含分类求解. 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 8．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，由解得或，即与.要使存在3个不同的零点，结合图象可知须满足，即可得解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且；当时，函数在区间上单调递增，其图象如图所示. 令，则，解得. 由函数存在3个不同的零点， 可得，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 11．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 14．（25-26高三上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】化简不等式，转化为上恒成立，利用单调性求不等式右边式子的最小值即可得解, 【详解】因为函数，， 所以对任意时，恒成立， 即任意时，恒成立， 令，， 又在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用指数幂的性质，化简根式、分式指数幂为最简分数，进而计算求解； （2）根据对数的运算法则，对同底数对数合并化简，进而计算求解； （3）通过两次平方构造目标式，再整体代入分式求解． 【详解】（1）； （2） ； （3）已知，则，解得， ，则， ． 16．（25-26高三上·全国·期末）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求； （2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为恒成立，然后利用函数的单调性求解最小值即可. 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，得， 所以，由，得或（舍）， 综上，，； （2）由（1）知，， 则恒成立， 即恒成立，又当时，， 所以对恒成立， 所以恒成立， 设，函数由外层函数和内层函数复合而成， 当，，单调递增，当，单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为， 所以，解得. 17．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 18．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质结合题目条件即可求出的值 （2）先求出的值域，再根据值域的关系求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知方程且，有两个不相等的实根， ，则， 又，所以； （2）由题意对任意，都存在，使得， 即， ，令，， 令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故函数在时取到最小值，即 代入端点可得：，故，即， ，在单调递增，， 满足对任意，都存在，使得， 则需 故的范围为. 19．（25-26高三上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【详解】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 指数与指数函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 3．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 7．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 11．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 14．（25-26高三上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知 ，求的值． 16．（25-26高三上·全国·期末）已知函数（，且）是奇函数，且． (1)求，的值； (2)若对于，不等式成立，求的取值范围． 17．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 18．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 19．（25-26高三上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $