5.1 平面向量的概念及其线性运算（精讲）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念、线性运算及共线定理等核心考点，按知识系统复习与典型例题分类精讲的架构整合内容，通过考点梳理构建知识网络，结合方法指导与真题训练，帮助学生突破向量表示、共线证明等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以分层典例为亮点，如共线定理证明题引导学生用数学思维构建逻辑链条，推论应用中通过参数关系探究培养数学语言表达能力。设置概念辨析、运算应用、参数求解等梯度训练，配合即时方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

5.1 平面向量的概念及其线性运算（精讲） 第一部分：知识复习 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 第二部分：典型例题 典例一：平面向量的概念 1．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．（25-26高三上·福建福州·期中）（多选）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 4．（25-26高三上·广东江门·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 典例二：平面向量的线性运算 5．（25-26高三上·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津宝坻·期末）在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东梅州·期末）（多选）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南京·期末）（多选）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河北·期中）在中，，，，为中点，则（     ） A． B． C． D． 典例三：平面向量共线定理 11．（25-26高三上·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量，，； (2)若，用平面向量证明，，三点共线． 12．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 13．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线，如果，，，求证：A，C，D三点共线． 14．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 16．（25-26高三上·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 典例四：已知向量共线(平行)求参数 17．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（   ） A． B． C．3 D．6 18．（25-26高三上·天津·期末）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 19．（25-26高三上·四川成都·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 20．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）在中，，且三点共线，则___________． 21．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 22．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 典例五：平面向量共线定理的推论 23．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高三上学期期末学业质量测评数学试题）如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·山东淄博·期末）如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （    ） A．1 B．2 C．4 D．8 25．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）（多选）如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 27．（25-26高三上·江苏南京·期末）在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 29．（25-26高三上·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 30．（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 平面向量的概念及其线性运算（精讲） 第一部分：知识复习 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 第二部分：典型例题 典例一：平面向量的概念 1．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．（25-26高三上·福建福州·期中）（多选）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 4．（25-26高三上·广东江门·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】BD 【分析】根据单位向量的定义，可判定A错误；根据零向量的定义，可判定B正确；根据向量的数量积的计算公式，可判定C错误；根据共线向量的定义和的意义，可判定D正确. 【详解】对于A，若，为单位向量，但向量与的方向不一定相同， 所以与不一定相等，所以A错误； 对于B，由零向量的定义知，若，则，所以B正确； 对于C，例如：向量， 则， 此时满足，但，所以C不正确； 对于D，由是与非零向量同向的单位向量，所以与是共线向量，所以D正确. 典例二：平面向量的线性运算 5．（25-26高三上·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 6．（25-26高三上·天津宝坻·期末）在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以平行四边形邻边对应的向量为基底，利用向量加法的线性运算逐步拆解目标向量，化简得到最终表达式. 【详解】由是的中点，可得： 由是的中点，平行四边形中，因此：， 所以. 7．（25-26高三上·广东梅州·期末）（多选）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出来. 【详解】 ，，所以，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C正确； ，， 选项D错误. 8．（25-26高三上·江苏南京·期末）（多选）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 对于A，因为，而， 所以，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 9．（25-26高三上·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 10．（25-26高三上·河北·期中）在中，，，，为中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，结合图象的几何运算求解即可. 【详解】如图所示：连接, 因为为中点， 所以 典例三：平面向量共线定理 11．（25-26高三上·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量，，； (2)若，用平面向量证明，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)因为，所以点在的延长线上，如图： 又因为，， 所以. ，. 由向量共线定理得，与共线，又与公共点为， ，，三点共线． 【分析】（1）直接根据向量的线性运算可得； （2）由条件可得，再由向量的加法可得，从而可证明三点共线. 【详解】（1）因为，，所以． 是中点．且在平行四边形中，， 所以． ．，所以． 因此，，. （2）略 12．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 13．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线，如果，，，求证：A，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据，即可得证. 【详解】∵，， ∴， 又，∴，∴与共线． 又∵与有公共点C， ∴A，C，D三点共线． 14．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，，三点共线．证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【详解】（1）， 因为． 所以. （2），，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2）由平面向量的共线定理进行证明． 【详解】（1）在中，因为，，所以， ， ； （2）因为， ， 所以，所以与共线，且有公共点， 所以，，三点共线． 16．（25-26高三上·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 典例四：已知向量共线(平行)求参数 17．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】因为与共线，所以存在实数，使得. 即. 由于不共线，则得 由第一式得，代入第二式，解得. 18．（25-26高三上·天津·期末）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 【答案】 【详解】，已知，， 所以， 已知三点共线，则与共线， ，且，不共线，所以存在一个实数，使得：， 即，则，故. 19．（25-26高三上·四川成都·期末）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【详解】由已知可得，， 因为A，C，D三点共线，所以，共线，则，使得， 即，整理可得 因为，不共线，所以有，解得. 20．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）在中，，且三点共线，则___________． 【答案】 【分析】由三点共线，可得，再由题设及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因三点共线，则， 又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理， 可得. 21．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【答案】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以， 所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2） 【分析】（1）根据向量共线定理证明与共线，再由与有公共点，得三点共线； （2）由向量共线定理设存在实数，使得，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数的值. 【详解】（1）略 （2）若与共线， 则存在实数，使得， 即， 因为与不共线，所以， 整理得，，解得. 所以. 22．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)若与互为相反向量，求实数的值； (2)用，表示，并证明三点共线． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据相反向量及相等向量的定义即可求解； （2）根据平面向量线性运算求解，再根据向量共线证明三点共线即可． 【详解】（1），则． （2）， 证法一：因为，， 所以，又为公共点， 所以三点共线； 证法二：由已知，得， 因为，所以，又与有公共点， 所以三点共线． 典例五：平面向量共线定理的推论 23．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高三上学期期末学业质量测评数学试题）如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将用表示，建立的方程. 【详解】由题意，点为边上靠近的三等分点，则， 所以 ， 已知，，所以 ， 因为三点共线，且不在直线上， 所以与的系数之和为，即，整理得：. 24．（25-26高三上·山东淄博·期末）如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】首先结合分别为中点的条件，通过向量中点公式将用、线性表示，再结合、的已知条件，将转化为以、为基底的线性形式，最后利用三点共线时向量系数和为的性质即可求解目标式. 【详解】∵ 为的中点，根据向量中点公式，可得. 又∵ 为的中点，∴ . 由题知，，变形得，，代入上式可得 . ∵三点共线，根据共线向量的系数性质，可得. 等式两边同乘，得. 25．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）（多选）如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A根据余弦定理求解；选项B由向量线性运算用基底表示；选项C先将向量用基底表示，利用向量数量积公式求解；选项D利用三点共线的充要条件求解. 【详解】在中，，，， ， 选项A正确； ，， 选项B正确； 点为的中点，， ， ， 选项C错误； 设， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， ，选项D正确. 26．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 27．（25-26高三上·江苏南京·期末）在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三等分点的向量关系用、表示，代入已知向量关系后，利用三点共线的向量系数性质求解. 【详解】如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，故， 由向量减法的运算法则可得，整理得， 即. 将条件，代入上式，可得， 因为、、三点共线，且与为不共线的非零向量， 根据平面向量共线的充要条件：若（），则， 因此，解得. 28．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 29．（25-26高三上·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为三点共线， 所以，所以． 30．（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【详解】（1）（i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． （2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $