2.8 函数与方程（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 该练习围绕函数与方程核心知识，通过基础判断、方法应用到综合探究的分层设计，实现从概念理解到逻辑推理的能力进阶，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（零点区间判断）|单选题直接考查零点存在性定理，夯实抽象能力与几何直观| |提升层|方法应用与性质综合（二分法、参数范围）|多选题结合函数奇偶性、周期性，填空题训练运算能力与推理意识| |综合层|多知识点综合与问题解决|解答题多问设计，融合函数性质与方程根分析，培养数学建模与创新意识|

2.8 函数与方程（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三上·上海·专题练习）已知定义在上最小正周期为的奇函数满足，则在区间内，方程的解至少有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26高三上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 7．（2026·四川德阳·三模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．命题：“，”的否定是“，” C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．函数不能用二分法求其零点近似值 10．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 13．（26-27高三·全国·暑假作业）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 16．（2026高三上·广东深圳·竞赛）已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 17．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 18．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知． (1)求的最大值； (2)证明：方程有两个不等正根． 19．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 函数与方程（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 2．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理计算判断. 【详解】函数单调递增， 且，， 函数在连续不断， 所以函数零点存在的区间为. 3．（25-26高三上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 4．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 5．（2026高三上·上海·专题练习）已知定义在上最小正周期为的奇函数满足，则在区间内，方程的解至少有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用抽象函数的奇偶性和周期性，反复迭代求解. 【详解】因为为上的奇函数，则. 又，则.而的最小正周期为， 则，， ，. 而，则， 所以. 综上，在区间内，方程的解至少有个. 故选：C. 6．（25-26高三上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 7．（2026·四川德阳·三模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如 ）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可. 【详解】已知的零点为 ， 则 ，因为对于任意实数 ， 都有 ，所以 ， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，又因为 单调递增，且 ， 所以其零点 必定在 的左侧，即 . 已知的零点为 ， 因为函数 的定义域为 ，且 ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以函数 在定义域上是单调递增的， 则， 又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧， 又因为定义域要求 ，所以 . 已知的零点为， 则，因为对于任意实数， 都有，所以，即， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，因为 单调递增且 ， 所以 是函数 的唯一零点，故 . 由以上知，，，故 . 8．（25-26高三上·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．命题：“，”的否定是“，” C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．函数不能用二分法求其零点近似值 【答案】AD 【分析】根据函数图像过定点问题确定、全称命题的否定、抽象函数定义域求解以及二分法的适用条件，需逐一分析选项. 【详解】A选项：对数函数恒过，令得，代入，所以过，A正确； B选项：全称命题的否定是特称命题，“”否定应为“”，B错误； C选项：定义域，对于，解得，定义域是，C错误； D选项：二分法要求零点两侧函数值符号相反，在两侧函数值非负（绝对值），不满足，D正确. 故选：AD. 10．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用零点的意义，结合函数的图象可得，再利用指对数运算及指数函数、对数函数性质，结合零点存在性定理逐项分析判断即可. 【详解】函数，由，得， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象得函数的图象有两个交点，函数有两个零点，且， 则，，即，， 对于A，，因此，A正确； 对于B，，， 而，则由零点存在性定理得，B正确； 对于C，函数在上都单调递减，则函数 在上单调递减，，， 而，因此，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 13．（26-27高三·全国·暑假作业）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．若存在实数，使在区间上有两个不等实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】写出分段函数，分、两种情况讨论，结合图象讨论即可. 【详解】函数， 二次函数与图象的对称轴均为直线， 当时，函数在上单调递增， 此时在区间上至多有一个实数根，不满足题意，则， 作出函数的图象，如图， 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在区间上有两个不等实数根， 所以函数在区间上不单调，则或， 故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 【答案】 【分析】先化简得出，，再结合函数图象应用反函数的对称性解题. 【详解】将方程整理得，． 如图可知，a是指数函数的图像与直线交点A的横坐标， b是对数函数的图像与直线交点B的横坐标． 由于函数与互为反函数，所以它们的图像关于直线对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线对称，于是A、B两点的坐标为，． 而A、B都在直线上，所以（A点坐标代入），或（B点坐标代入）， 故． 16．（2026高三上·广东深圳·竞赛）已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围； （2）对对称轴分类讨论，结合函数单调性分析，即可求出a的值. 【详解】（1）①当时，解得：，此时， 则的零点为，0，不合题意； ②当时，解得：，此时， 则的零点为，1，不合题意； ③当时，解得：， 当时，的零点为，不合题意； 当时，的零点为，不合题意； ④当时，， 解得：，此时满足方程在区间上有且仅有1个实根， 综上：a的取值范围是 （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去）， 综上，a的值为 17．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. （2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 18．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知． (1)求的最大值； (2)证明：方程有两个不等正根． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数的单调性判断函数的单调性，进而求解即可； （2）令，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 则时，取得最大值4. （2）令， ①当时，，方程无解； ②当时，， 当时，，，则， 根据零点存在定理，连续函数在上有零点， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上只有一个零点； 同理，当时，，，则， 根据零点存在定理，连续函数在上有零点， 因为在上单调递减， 则在上单调递减，即在上只有一个零点. 综上所述，函数在时有两个零点， 所以方程有两个不等的正根. 19．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $