精品解析：山东省德州市齐河县2024—2025学年八年级下学期数学期末试题

2024-2025学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本大题共10个小题，40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 1，， 3. 某市新教师招聘中，七位评委独立给出分数，得到一组数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新数，那么这两组数的相关统计量中，一定相等的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表，则上述车速的中位数和众数分别是（ ） 车速 48 49 50 51 52 车辆数/辆 5 4 8 2 1 A. 50，8 B. 50，50 C. 49，50 D. 49，8 6. 如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 的解集是 8. 已知矩形的对角线、相交于点O，，，延长至点E，使得，连接交于点F，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 1.7 D. 1.6 10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分) 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温更稳定的是______． 13. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 14. 某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如表（单位：分），则学期总评成绩优秀的是________． 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 乙 丙 15. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论是____________． ①；②；③四边形菱形；④． 三、解答题(本大题8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点E，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点E，连接． 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 19. 在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． （1）列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； （3）进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 20. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． （1）求绳索的长； （2）直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 21. 北京时间年月日上午，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全顺利出舱，身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，又一次引起了“宇航”热，某商场欲购进一批宇航员玩偶，其中黄色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元，蓝色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元． （1）该商场购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，求和的值； （2）该商场决定每周购进两种玩偶共只，且投入的资金不少于元又不多于元，设购进黄色玩偶只，商场把这些玩偶全部销售完的利润为元，写出与的关系式，并求出最大利润． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 已知正方形中，点E边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：（本大题共10个小题，40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握两个小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，能构成直角三角形，故符合题意． 故选：D． 3. 某市新教师招聘中，七位评委独立给出分数，得到一组数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新数，那么这两组数的相关统计量中，一定相等的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变， 则这两组数的相关统计量中，一定相等的是中位数． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表，则上述车速的中位数和众数分别是（ ） 车速 48 49 50 51 52 车辆数/辆 5 4 8 2 1 A. 50，8 B. 50，50 C. 49，50 D. 49，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一组数据中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求． 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是50，得到这组数据的众数． 【详解】解：要求一组数据的中位数， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11两个数的平均数是50， 所以中位数是50， 在这组数据中出现次数最多的是50， 即众数是50， 故选B． 6. 如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 7. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程的应用，依据题意，根据所给函数图象的分布及两直线的交点的横坐标为-5进而逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵直线的图象经过第二、三、四象限， ∴，故A正确，不合题意． ∵直线与直线的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故B正确，不合题意． ∵直线的图象与y轴交于正半轴， ∴，故C正确，不合题意． 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， ∴不等式的解集为，即不等式的解集是，故D错误，符合题意． 故选：D． 8. 已知矩形的对角线、相交于点O，，，延长至点E，使得，连接交于点F，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等啊哟三角形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质可得，进而得到，结合，求出，再根据矩形的性质得到，推出是等腰三角形，根据题意易求出，进而求出，在中，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解： 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 1.7 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而利用等面积法即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：BC＝， ∵S△ABC＝4×4−×1×3−×3×4−×1×4＝6.5， ∴BC边上的高＝＝2.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC的长解答． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，若点和点均在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设的解析式为，把各点分别代入解析式，解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】设的解析式为， 点的坐标为，点B的坐标为，点和点均在直线AB上， 故，， 故，， 故． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分) 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据二次根式有意义条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 分式有意义， ，， 综上，． 故答案为：． 12. 甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温更稳定的是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】由图可知乙地的平均气温波动小，比较稳定． 【详解】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温波动小，比较稳定． 故答案为：乙 【点睛】本题考查根据方差判断稳定性．掌握方差越小，波动越小，越稳定是解题关键． 13. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案． 【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为， ∵图2中阴影小正方形的面积为49， ∴图2中阴影小正方形的边长为7， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如表（单位：分），则学期总评成绩优秀的是________． 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 乙 丙 【答案】甲、乙 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义分别计算三人的加权平均数，然后与90比较大小即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 甲的总评成绩是：90×50%+83×20%+95×30%=90.1， 乙的总评成绩是：88×50%+90×20%+95×30%=90.5， 丙的总评成绩是：90×50%+88×20%+90×30%=89.6， 则学期总评成绩优秀的有甲、乙二人； 故答案为：甲、乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和是解题的关键． 15. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论是____________． ①；②；③四边形是菱形；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的中线以及平行四边形的判定．运用等边三角形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等的判定和性质即可解出本题． 【详解】如图, 连接, ∵， ∴ ∵是直角三角形，F为中点， ∴ ∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴点和点是关于的对称点， ∴，故①成立； ∵是中点, 所以， ∴中是斜边,是直角边,即, ∴四边形不可能是菱形，故③不成立； ∵, ∴, ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即,， ∴， 故④成立； ∵四边形是平行四边形可得, 而, ∴, ∵， ∴，故②成立； 故成立的为①②④； 故答案为①②④． 三、解答题(本大题8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，注意运算顺序和运算法则是解题的关键，在解题过程中还可以运用乘法公式进行简便运算． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点E，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点E，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：证明四边形为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出是的中垂线，即可得证． 【详解】证明：（法一）∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是矩形． ∴． ∵， ∴． （法二）∵点D是中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质． 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）98，93，10 （2）450人 （3）男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； 【小问3详解】 解：男生更喜欢《哪吒2》， 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 19. 在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． （1）列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象： ①写出关于这个函数的一条性质：__________________； ②当时，的取值范围是__________________； （3）进一步探究函数图象发现； ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）①函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小（答案不唯一）；② （3）①2；② 【解析】 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）①根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质； ②根据函数图象写出当时，的取值范围即可； （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【小问1详解】 ①解：∵， ∴当时，； 当时，； 1 2 3 4 ②函数图象如图， 【小问2详解】 解：①函数最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； ②根据函数图象可知：当时，； 【小问3详解】 解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与直线无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 20. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． （1）求绳索的长； （2）直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 【答案】（1）绳索的长是 （2）1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，矩形的判定和性质． （1）先证四边形是矩形，设，根据勾股勾股定理解即可； （2）根据勾股勾股定理解求出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即绳索的长是． 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即秋千踏板离地的垂直高度为. 故答案为：1． 21. 北京时间年月日上午，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全顺利出舱，身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，又一次引起了“宇航”热，某商场欲购进一批宇航员玩偶，其中黄色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元，蓝色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元． （1）该商场购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，求和的值； （2）该商场决定每周购进两种玩偶共只，且投入的资金不少于元又不多于元，设购进黄色玩偶只，商场把这些玩偶全部销售完的利润为元，写出与的关系式，并求出最大利润． 【答案】（1）的值为，的值为 （2），时，最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据投入的资金不少于元又不多于元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，利用售出黄色玩偶的利润售出蓝色玩偶的利润，得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 解得：， 答：的值为，的值为． 【小问2详解】 解：设购进黄色玩偶只，则购进蓝色玩偶只， ∵投入的资金不少于元又不多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，运用数形结合思想解决问题是解答本题的关键； （1）根据一次函数平移性质可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据点结合图象，利用数形相结合的思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， 即过点； 将代入得： ， 解得， 当时，函数的值小于一次函数的值，如图， ． 23. 综合与实践 已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （2）过点作，证明，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （3）在上取点，使得，证明，则，则，那么，由勾股定理得，可得是的中位线，则，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：在上取点，使得，如图； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为P，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $