精品解析：云南昆明市官渡区2025-2026学年下学期期末学业质量监测（一） 八年级数学试题卷

2025-2026学年下学期期末学业质量监测（一） 八年级数学试题卷 （全卷三个大题 共27个小题 满分100分 考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 将下列长度的线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 3，4，7 D. 4，5，6 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到函数（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，静止的跷跷板抽象出几何图形，为跷跷板板面，垂直地面于点，支撑杆的端点分别是，的中点．若支撑杆的长度为，则点离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，八角窗是中国传统建筑中的独特元素，八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，均在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 9. 如图，在平行四边形中，，，若的平分线交边于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 13. 一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 14. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 15. 如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数中，自变量的取值范围是_____． 17. 学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如表： 项目 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 舞台仪态表现 若总成绩按语言表达能力（）和舞台仪态表现（）计入，根据总成绩择优推荐，那么应推荐______． 18. 如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 19. 如图，已知一次函数（）与（）的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在四边形中，，，，．求的度数． 22. 每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； （3）你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 23. 观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 24. 根据素材，解决问题． 【背景】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗． 素材：某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子共袋进行销售，甲、乙两种粽子均需购进，且购进乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍． 素材2：已知甲种粽子的进价为元/袋，乙种粽子的进价为元/袋． 【解决问题】 购买甲种粽子多少袋时，所需费用最少？最少费用是多少元？ 25. 如图，在中，，是边上的中线，平分交于点，于点，连接，交于点．记四边形的周长为，的周长为，的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 26. 【项目学习】水杯水位测算：用函数模型解析杯型与液面高度的变化规律 【实验探究】实践小组选取3个造型不同的水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.5 4.8 （1）分析数据发现可以用函数刻画与之间的关系．如图，在平面直角坐标系中，已画出与的图象，请描出其余各点，画出与，与的图象； （2）根据以上信息，推测下列三种杯型对应的杯号： A型水杯对应________号杯； B型水杯对应________号杯； C型水杯对应________号杯． （3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯中的水面高度约为________（精确到0.1），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子中的水面高度约为________（精确到0.1）． 27. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，，矩形的顶点，，，． （1）直接写出，________，________，________； （2）如图①，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图②，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．当矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末学业质量监测（一） 八年级数学试题卷 （全卷三个大题 共27个小题 满分100分 考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列各曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于自变量的每一个取值，因变量都有唯一确定的值与之对应． 在图象上体现为：作垂直于轴的直线，该直线与函数图象最多只有一个交点． A、任意作一条垂直于轴的直线，与图象只有一个交点，符合函数定义，故本选项符合题意； B、当时，作垂直于轴的直线，与图象有两个交点，不符合函数定义，故本选项不符合题意； C、在轴右侧部分区域，作垂直于轴的直线，与图象有三个交点，不符合函数定义，故本选项不符合题意； D、在轴附近，作垂直于轴的直线，与图象有两个交点，不符合函数定义，故本选项不符合题意． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项中被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项中被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项中满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 3. 将下列长度的线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 3，4，7 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，先确定三边中的最长边，计算最长边的平方，再计算两短边的平方和，比较二者是否相等，若相等则能组成直角三角形，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形； B、∵，， ∴， ∴能组成直角三角形； C、由于，不满足三角形的三边关系，故不能组成三角形，更不能组成直角三角形； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，本选项运算错误，不符合题意； B、，本选项运算错误，不符合题意； C、 ，运算正确，符合题意； D、，本选项运算错误，不符合题意． 5. 正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到函数（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数沿轴平移的“上加下减”法则，按规律直接计算即可得到结果． 【详解】∵一次函数图象沿轴向上平移个单位时，遵循“上加”规律， 即在原解析式后加上平移的单位长度， 已知原函数为， 沿轴向上平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为． 6. 如图，静止的跷跷板抽象出几何图形，为跷跷板板面，垂直地面于点，支撑杆的端点分别是，的中点．若支撑杆的长度为，则点离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知、分别是、的中点，利用三角形中位线定理即可求解的长度． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ． 7. 如图，八角窗是中国传统建筑中的独特元素，八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：图中正八边形的内角和为． 8. 已知点，均在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】∵ 直线解析式为，一次项系数， ∴ 随的增大而减小， ∵ 两点横坐标满足， ∴ ． 9. 如图，在平行四边形中，，，若的平分线交边于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可求出的长． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 11. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 12. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可得，得到，进而化简式子． 【详解】解：根据算术平方根的性质：， 原式可转化为：， 由数轴可知，实数的取值范围是，因此， ， 化简结果为． 13. 一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 14. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 运动时间 1 2 3 4 … 运动速度 11 10 9 8 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中自变量每增加，对应因变量的值减小，可得与之间存在一次函数关系，再进一步利用待定系数法求解解析式即可. 【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为，代入，， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 15. 如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 17. 学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如表： 项目 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 舞台仪态表现 若总成绩按语言表达能力（）和舞台仪态表现（）计入，根据总成绩择优推荐，那么应推荐______． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据给定的权重分别计算四位候选人的加权总成绩，比较总成绩大小，择优推荐总成绩最高的同学． 【详解】解：根据题意分别计算四人的加权总成绩， 甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴甲的总成绩最高，应推荐甲． 18. 如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入已知数据计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， 这个菱形的面积 ． 19. 如图，已知一次函数（）与（）的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系. 根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与图象相交于点， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先用完全平方公式展开，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理逆定理说明，即可得出答案． 【详解】解：连接， ，， . 在中，， 在中，，， ∴，， ， ， 22. 每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； （3）你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）， （2），； 补全图形如下： （3）理由：因为八年级的平均数大于七年级的平均数，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级平均分更高，成绩更稳定． 所以八年级竞赛成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出八年级数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 【小问1详解】 解：由七年级的数据可得，出现的次数最多，故众数； 八年级共12个数据，且已经从小到大排列，则中位数是第6、7个数据的平均数， 故中位数； 【小问2详解】 解：∵八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96； 方法一：前半部分为前6个数（70，77，79，81，88,89），中位数是，则下四分位数为，后半部分数据为（91，92，92，94，95，96），中位数是，则上四分位数为； 方法二：，那么第3，4个数据的平均数即为下四分位数，即； ，那么第9，10个数据的平均数即为上四分位数，即； 八年级的数据最大值为96，最小值为70，而中位数为90， 故补全箱线图略. 【小问3详解】 略 23. 观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 【答案】（1）； （2）（为正整数）， 证明：， ∴． 【解析】 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【小问1详解】 解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（为正整数）， 证明略． 24. 根据素材，解决问题． 【背景】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗． 素材：某超市在端午节前购进甲、乙两种粽子共袋进行销售，甲、乙两种粽子均需购进，且购进乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍． 素材2：已知甲种粽子的进价为元/袋，乙种粽子的进价为元/袋． 【解决问题】 购买甲种粽子多少袋时，所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】购买甲种粽子袋时，所需费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】设购买甲种粽子袋，则购买乙种粽子袋，根据乙种粽子的数量不少于甲种粽子数量的倍确定的取值范围，根据总费用的函数是一个一次函数得到当时，总费用最少，代入计算即可． 【详解】解：设购买甲种粽子袋，则购买乙种粽子袋， 总费用设为元，根据进价可得：， 根据题意可得：，且，， 解得：，（且为整数） ∵总费用的函数为一次函数，其中的系数， ∴总费用随着的增大而减小， ∴当时，总费用最少，（元）． 答：购买甲种粽子袋时，所需费用最少，最少费用为元． 25. 如图，在中，，是边上的中线，平分交于点，于点，连接，交于点．记四边形的周长为，的周长为，的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∵平分交于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，结合等腰三角形的性质证明，进一步可得结论； （2）求解，结合矩形性质可得，可得，，结合勾股定理与直角三角形斜边上的中线可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形的周长为，的周长为，的周长为． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 26. 【项目学习】水杯水位测算：用函数模型解析杯型与液面高度的变化规律 【实验探究】实践小组选取3个造型不同的水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.5 4.8 （1）分析数据发现可以用函数刻画与之间的关系．如图，在平面直角坐标系中，已画出与的图象，请描出其余各点，画出与，与的图象； （2）根据以上信息，推测下列三种杯型对应的杯号： A型水杯对应________号杯； B型水杯对应________号杯； C型水杯对应________号杯． （3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯中的水面高度约为________（精确到0.1），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子中的水面高度约为________（精确到0.1）． 【答案】（1）解：描点画图如下： （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）利用描点法补全函数图象即可； （2）观察（1）中的函数图象即可求解． （3）观察（1）中的函数图象即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第一个杯子是上下一样宽，则随着匀速增大，所以为2号杯， 第二个杯子是下窄上宽，则的变化是先急后缓，所以为1号杯， 第三个杯子是下宽上窄，则的变化是先缓后急，所以为3号杯， ∴A型水杯对应号杯； B型水杯对应号杯； C型水杯对应号杯． 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，2号杯与3号杯中的水面高度约为，1号杯的水面高度约为； ∵， ∴操作完成后三个杯子的高度约为． 27. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，，矩形的顶点，，，． （1）直接写出，________，________，________； （2）如图①，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图②，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．当矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形. （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）证明可得结论. （3）分两种情况讨论：当时，易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S，当，同法可得答案. 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∴； 连接，交于一点M，如图所示：     ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，记与的交点为，记与的交点为， ∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，如图，取的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，，． ∴， 同理，得， ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， 此时的取值范围是． 如图，当时，矩形和菱形重叠部分为五边形，过作轴，轴的平行线，交于，交于，交于，记的交点为，记的交点为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 同理可得：， ∴ ， 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $