精品解析：河南省平顶山市新华区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025~2026学年第二学期校内学业质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题：（本题共10道小题，每小题3分，满分30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N，并测出的长为50步，小明知道自己的一步约为米，则A，B之间的距离约为（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交于点E，平分交于点F．下列结论不一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 四边形是平行四边形 7. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期．设原计划每天修建盲道x米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 8. 在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 二、填空题：（本题共5道小题，每小题3分，满分15分） 11. 分解因式_________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 13. 已知一个多边形的内角和是它外角和的3倍，且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的一个内角的度数为_________． 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 15. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点．则线段与的数量关系是_________．若把绕点在平面内自由旋转，如图2所示，当，时，则面积的最大值为_________． 三、解答题：（本大题共8道小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）解不等式组：； （2）化简：． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 18. 兄弟俩比赛跑步，哥哥先让弟弟跑了a米，然后自己才开始跑．设哥哥跑步的时间为x秒时，哥哥和弟弟离起点的距离分别（米），（米），如图，，分别表示为，与x之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）_________，_________，_________； （2）当_______秒时，哥哥刚好追上弟弟； （3）哥哥出发多少秒后，兄弟俩之间的距离大于10米？请你计算说明． 19. 如图，在中，，点D，E在边上，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 阅读下列材料：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，，则5，16都是智慧数．解决下列问题： （1）判断：10_______智慧数，11_______智慧数；（填“是”或“不是”） （2）小明为了寻找规律，进行了如下探究：设k是正整数，则，因为k是正整数，有且为奇数，所以除1外，所有的奇数_________（填“是”或“不是”）智慧数； （3）请利用小明发现的规律，计算的值． 21. 已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 23. 解决下列问题： （1）操作猜想：如图1，点P是等边的边上一动点（点P不与端点重合），将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点P的对应点为D，连接．则的形状是_________； （2）类比证明：如图2，在中，，，点P是边上一动点（点P不与端点重合），将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点P的对应点为D，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，四边形的四条边相等，且，，点E是线段延长线上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得到．当点F落在四边形的边所在直线上时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期校内学业质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题：（本题共10道小题，每小题3分，满分30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的概念和不等式的符号表示即可． 【详解】解：∵非负数是指大于或等于0的数， ∴用不等式表示是非负数可得， 故选C． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 已知，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，C正确； 当时，， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴不一定成立，故D错误，符合题意． 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N，并测出的长为50步，小明知道自己的一步约为米，则A，B之间的距离约为（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的运用，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可． 【详解】解：由已知，（米）， 、分别是、的中点， 是的中位线， 根据三角形的中位线定理，得：（米）． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，正确； B、 ，故B错误； C、 ，故C错误； D、，故D错误． 6. 如图，在中，平分交于点E，平分交于点F．下列结论不一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，，，，然后结合角平分线得到，即可证明，得到，推出，进而证明四边形是平行四边形，得到，然后根据不一定等于，推出不一定是等边三角形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故D正确； ∴，故C正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是等边三角形，故A错误． 7. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，从而缩短了工期．设原计划每天修建盲道x米，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】D 【解析】 【分析】根据“工期=总长度÷每天修建长度”，分别求出原计划工期和实际工期，再用原计划工期减去实际工期，即可得到缩短的工期． 【详解】∵ 原计划每天修建盲道米，盲道总长为米， ∴ 原计划修建工期为天， ∵ 实际每天修建盲道的长度比原计划增加米， ∴ 实际每天修建长度为 米，实际修建工期为天， ∴ 缩短的工期 = 原计划工期实际工期，即缩短了天． 8. 在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线，高和中线的定义得到，，，然后分别根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①作顶角平分线， ∴， 又∵，， ∴； ②作底边上的高， ∴，即， 又∵，， ∴； ③作底边上的中线， ∴， 结合，，构成，不能证明． 综上所述，能够判定的是①②． 9. 五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，再结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 10. 如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：在平行四边形中， ， 根据点运动，可得 当时，点P在点D处， ∴ 当时，点P在点C处， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得． 二、填空题：（本题共5道小题，每小题3分，满分15分） 11. 分解因式_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 13. 已知一个多边形的内角和是它外角和的3倍，且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的一个内角的度数为_________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题利用多边形外角和为定值，结合已知条件先求出多边形的内角和，再通过多边形内角和公式求出边数，最后计算出一个内角的度数． 【详解】解：设该多边形的边数为. 任意多边形的外角和为，由题意可得该多边形的内角和为， 根据多边形内角和公式，得 ， 解得， 因为该多边形每个内角都相等，因此一个内角的度数为． 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由等边对等角求出，得到，由作图得，垂直平分，求出，然后结合含30度角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图得，垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点．则线段与的数量关系是_________．若把绕点在平面内自由旋转，如图2所示，当，时，则面积的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，再结合三角形中位线等于第三边的一半求解即可；连接、，延长交于点，由勾股定理可得，，证明，进而得出，再结合三角形中位线定理，推出是等腰直角三角形，则，，当点、、三点共线时，为最大值，此时面积有最大值． 【详解】解：，， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，， ； 如图，连接、，延长交于点， ，，， ，，， 点、分别为、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最大值， 面积的最大值为． 三、解答题：（本大题共8道小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 18. 兄弟俩比赛跑步，哥哥先让弟弟跑了a米，然后自己才开始跑．设哥哥跑步的时间为x秒时，哥哥和弟弟离起点的距离分别（米），（米），如图，，分别表示为，与x之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）_________，_________，_________； （2）当_______秒时，哥哥刚好追上弟弟； （3）哥哥出发多少秒后，兄弟俩之间的距离大于10米？请你计算说明． 【答案】（1）9；； （2）9 （3） 由题意得，， ∴或 解得，； 解得，（舍去） ∴哥哥出发秒后，兄弟俩之间的距离大于10米． 【解析】 【分析】（1）由函数图象即可求解a，再由待定系数法求解两条直线的表达式； （2）根据建立方程求解即可； （3）由题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， 设，代入点得， 解得 ∴； 设，代入点， 则 解得 ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得 ∴当时，哥哥刚好追上弟弟； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，点D，E在边上，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出，然后由全等三角形的性质求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 20. 阅读下列材料：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，，则5，16都是智慧数．解决下列问题： （1）判断：10_______智慧数，11_______智慧数；（填“是”或“不是”） （2）小明为了寻找规律，进行了如下探究：设k是正整数，则，因为k是正整数，有且为奇数，所以除1外，所有的奇数_________（填“是”或“不是”）智慧数； （3）请利用小明发现的规律，计算的值． 【答案】（1）不是，是 （2）是 （3）9200 【解析】 【分析】（1）根据“智慧数”的定义判断即可； （2）根据，是正整数即可得到，除1外所有的奇数是智慧数； （3）利用小明发现的规律，将每一项表示为两个正整数的平方差，然后相加求解即可． 【小问1详解】 解：∵10不能表示为两个正整数的平方差， ∴10不是智慧数； ∵， ∴11是智慧数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，，…，，， ∴ ． 21. 已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1）款手表每块进价元，款手表每块进价元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； 【小问2详解】 解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 23. 解决下列问题： （1）操作猜想：如图1，点P是等边的边上一动点（点P不与端点重合），将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点P的对应点为D，连接．则的形状是_________； （2）类比证明：如图2，在中，，，点P是边上一动点（点P不与端点重合），将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点P的对应点为D，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，四边形的四条边相等，且，，点E是线段延长线上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得到．当点F落在四边形的边所在直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形 （2）①等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴ 由旋转可得， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； ②，理由如下： 由旋转可得， ∴ ∴ ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形得到，由旋转得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）①同（1）证明即可；②由旋转的性质证明，再由勾股定理求解即可； （3）先得到四边形是菱形，则，，那么，然后分点落在边上和点落在边延长线上两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形 ∴， ∵旋转， ∴， ∴ ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形的四条边相等， ∴四边形是菱形 ∴， ∴， 当点落在边上时，如图： 由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴，解得（舍负） 当点落在边延长线上时，如图： 由旋转可得， ∴ ∵ ∴ ∴ 综上：线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $