13.3.1三角形的内角(第2课时)课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余）与判定（有两角互余的三角形是直角三角形），通过“老大90°”情境导入引发认知冲突，结合测量、拼合验证，依托三角形内角和定理推导性质，再逆向探究判定，搭建从已知到未知的学习支架。 其特色是融合动手操作与演绎推理，通过共角型等基本模型及例题变式，培养几何直观与推理意识。采用情境导入和探究式教学，性质与判定对比小结，助力学生构建知识体系，提升数学思维，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

第十三章 三角形 13.3.1三角形的内角(第2课时) （人教版）八年级 上 02 新知导入 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的. 在这个家里，我是永远的老大. 探究与应用 已知:如图13-3-10,在△ABC中,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 活动1　会证明直角三角形两锐角互余的性质,并应用其进行简单的证明 问题情境 图13-3-10 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°.   直角三角形两锐角互余的性质使用的前提是在直角三角形中. 防 易错 思考 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 45° 45° 90° 90° 30° 60° 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 是不是所有的直角三角形都是这样呢？ 探究 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理， 得∠A+∠B+∠C=180° 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. A B C 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 03 新知讲解 猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，你发现了什么？ 动手操作：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数. 两锐角的度数之和为 90°. 65° 25° 36° 54° ∠B + ∠C = 90° ∠E + ∠F = 90° 03 新知讲解 拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，你发现了什么？ 演绎推理： 如图，在直角三角形ABC 中， ∠C = 90°， 由 ， 得∠A +∠B + ∠C= ， 即∠A +∠B +90° = ， 所以∠A + ∠B = . 三角形内角和定理 180° 180° 90° A B C 直角三角形的两个锐角　　　　.直角三角形可以用符号 “　　　　”表示,直角三角形ABC可以写成　　　　　.  概括新知 互余 　Rt△ 　Rt△ABC 直角三角形两锐角互余的常用基本模型 (1)共角型:如图①②③,由同角的余角相等,可得∠FAD=∠B. (2)等角型:如图④,由等角的余角相等,可得∠A=∠B. (3)一线三直角型:如图⑤,由同角的余角相等,可得∠A=∠DCE, ∠ACB=∠E. 学 模型 A B C 在Rt△ABC中， ∵∠C =90°， ∴∠A +∠B =90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 直角三角形的两个锐角互余. （直角三角形的性质定理） 例1 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. A B C D E 03 新知讲解 A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 由此，可以得到直角三角形的性质, 03 新知讲解 例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. A B C D E 理解应用 解:在Rt△ACE中,∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠DBE. (教材典题)如图13-3-11,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小 例 1 图13-3-11 例1中,延长AC,BD交于点F,如图13-3-12所示. (1)若∠FAD=20°,∠ABC=30°,求∠ABF的度数; 变式 解:(1)方法一:由例1得∠DBE=∠FAD=20°. 又∵∠ABC=30°, ∴∠ABF=∠DBE+∠ABC=20°+30°=50°. 方法二:在Rt△FAD中,∠FAD=90°-∠F. 在Rt△FBC中,∠FBC=90°-∠F. ∴∠FBC=∠FAD=20°. 又∵∠ABC=30°, ∴∠ABF=∠FBC+∠ABC=20°+30°=50°. 图13-3-12 (2)图中∠F与∠DEB有什么关系?为什么? 解:(2)∠F=∠DEB.理由如下: 在Rt△FCB中,∠F=90°-∠FBC. 在Rt△BED中,∠DEB=90°-∠EBD. ∴∠F=∠DEB. 图13-3-12 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ A B C 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形. A B C 03 新知讲解 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 是直角三角形. 理由如下：如图，在△ABC 中，∠A +∠B = 90°， 根据三角形内角和定理，可知 ∠A +∠B +∠C = 180°， 于是得∠C = 180°－90°=90°， ∴△ABC 是直角三角形. A B C 如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?试说明理由. 活动2　掌握并能运用直角三角形的判定定理 问题情境 已知:如图13-3-13,在△ABC中,∠A与∠B互余,求证:△ABC是直角三角形. 图13-3-13 证明:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°. 又∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=90°.∴△ABC是直角三角形. 故有两个角互余的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. （直角三角形的判定定理） 在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形． A B C 直角三角形的判定方法 (1)证明三角形中有一个内角为90°； (2)证明三角形中有两个内角互余. 03 新知讲解 直角三角形的判定方法 (1)证明三角形中有一个内角为90°； (2)证明三角形中有两个内角互余. (教材补充例题)如图13-3-14,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C. 求证:△ABD是直角三角形. 理解应用 例 2 证明:∵CE⊥AD, ∴∠CED=90°.∴∠C+∠D=90°. 又∵∠A=∠C,∴∠A+∠D=90°. ∴△ABD是直角三角形. 图13-3-14 证明:在Rt△ABC中, ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. 又∵∠CAD=∠CBD,∴∠ABD=∠CAD. ∴∠BAD+∠ABD=90°. ∴△ABD是直角三角形. 如图13-3-15,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,且∠CAD=∠CBD.求证:△ABD是直角三角形. 变式 图13-3-15 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形的性质与判定 性质 判定 06 板书设计 13.3.1三角形的内角(第2课时) 1.直角三角形的性质： 2.直角三角形的判定： $