13.3.2三角形的外角（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 13.3.2 第十三章 三角形 三角形的外角 情境引入 QING JING YIN RU 假期，果果到爷爷的农田中帮忙，其中有一块田是三角形形状的.果果沿着这块三角形农田周围的小路，按逆时针行走.小明每从AC小路到AB小路时，身体转过的角度是多少？ 1 A B C 40° 70° D 由三角形内角和易得 ∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 70°， 所以∠BAD = 180°－∠BAC= 110°. 像∠BAD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A D ② 角的一边是三角形的一边 ① 角的顶点是三角形的顶点 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 三角形的外角应具备的条件 思考三角形的外角应具备的条件 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 每个顶点处有几个外角？它们有何关系？ 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等. 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形共有几个外角？ A B C 每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角. 每一个三角形都有 6 个外角． 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？ ∠BCD =∠A+∠B . ∠BCD 与∠ACB 互补. 你会证明这个结论吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角 A C B D 不相邻的内角 求证：∠BCD =∠A+∠B . 证法一： 由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠BCD +∠ACB=180° ∴∠BCD =∠A+∠B . 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 求证：∠BCD =∠A+∠B . 证法二： D A B C 1 2 E 过 C 作 CE∥AB， 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 由推论可知 ∠BCD =∠A+∠B 因此 ∠BCD >∠A, ∠BCD >∠B . 三角形的一个外角和它不相邻的一个内角有何数量关系？ 三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角. 即∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 想想三角形的内角和与外角！ 求出下列图形中∠1 的度数. 30° 60° 1 35° 120° 1 45° 50° 1 ∠1= ∠1= ∠1= 90º 85º 95º 180°-30°-60° 120°-35° 45°+50° 能否找出其中的外角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°，20°，30°，求∠1的度数. B 3 2 1 A C D E 解：∵∠2 是△ACD 的一个外角， ∴∠2 =∠3+∠C=110°， ∵∠1 是△BDE 的一个外角， ∴∠1=∠B +∠2=130°. 能否找出其中的外角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列. 解：∵∠2 是△ACD 的一个外角， ∴∠2 =∠3+∠C， 即有∠2 >∠3， ∵∠1 是△BDE 的一个外角， ∴∠1=∠B +∠2， 即有∠1 >∠2，故∠1 >∠2>∠3. 变式1 B 3 2 1 A C D E 利用三角形的外角求解 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 利用三角形的内角和求解 如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°, ∠BAC=70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. 解:（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角， 所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°. 又因为∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°÷2＝40°. （2）在△ABC 中，因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 所以∠C＝180°－∠B－∠BAC ＝180°－40°－70°＝70° 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 在△ADC中利用外角求出∠BDF. 利用外角进行转化 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1 是△FBE 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠E， 同理∠2 = ∠A + ∠D. 在△CFG 中， ∠C +∠1 +∠2 = 180°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考三角形的外角和其不相邻内角的数量关系. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考三角形的外角和其相邻内角的数量关系. 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 能否利用平行线来转化？ 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC， 则易得∠3＝ ∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3 ＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM = 360°. M D E F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的外角和 三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和. 结论：三角形的外角和等于 360°. A B C E F D ( ( ( 2 1 3 和五角星模型一样，利用外角进行转换 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 1 2 3 B A C P N M D E F 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 360° 解：∵∠1 是△ABN 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠A， 同理∠2 = ∠C+ ∠D, ∠3 = ∠E+ ∠F, 根据三角形的外角和为360°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 360°. 课堂小结 QING JING YIN RU 定义 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角于与它不相邻的任意一个内角 三角形的外角 角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线 外角和 三角形的外角和等于 360° 当堂练习 QING JING YIN RU 1.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( ) F A B E C D A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° A 2.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放， 若∠C =∠F=90°，∠A =45°，∠D =30°， 则∠α+∠β等于（ ） A.180° B.210° C.360° D.270° B E B C A F D α β 1 2 3 4 当堂练习 QING JING YIN RU 3.判断下列观点是否正确. （1）三角形的外角都是钝角. （ ） （2）三角形的外角大于任何一个内角. （ ） （3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （ ） （4）三角形的外角和等于360°. （ ） × × × √ 4.(1)如图，∠BDC 是________的外角，也是 的外角； (2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则 ∠AEC 的度数为 . A B C D E △ADE △ADC 101° 当堂练习 QING JING YIN RU 5.求出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° 解：由三角形的内角和为180°， 得∠1 = 180°-60°-80°=40°. ∵∠2 是△ABC 的一个外角， ∴∠2=∠A+∠B=140°. 解：∵∠DAB 是△ABC 的一个外角， ∴∠1+32°=50°，即∠1 = 18°. 由三角形的内角和为180°， 得∠2 = 180°-32°-18°=130°. D 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 当堂练习 QING JING YIN RU 8.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 当堂练习 QING JING YIN RU 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 ) 2 F 8.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. ∵∠A＝70°，∠ACD＝20°， ∴∠BDF＝∠A＋∠ACD＝70°＋20°＝90°. 在△BDF中， ∠BFD＝180°－∠BDF－∠ABE ＝180°－90°－28°＝62°， ∴∠CFE＝∠BFD＝62°. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F， ∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，求∠CFE的度数. $$