精品解析：山东省青岛市莱西市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量检测初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 将化简，结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，下列三个矩形相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙 7. 如图，已知，当（ ）时，． A. B. C. D. 1 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 10. 计算的结果是________． 11. 已知，则的值为________． 12. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 13. 如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为_________． 三、解答题（本题满分78分，共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知，，，，，．求线段和的长． 18. 如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） （2）要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求n的值； （2）当时，直接写出x的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 22. 一块梯形木板，，，米，米，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上），若桌面的面积为平方米，且，求桌面的长和宽． 23. 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． （1）【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． （2）【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测初三数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 将化简，结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． 2. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 3. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，开方与乘方的关系，理解“若一个，则称为的立方根，”，开方与乘方互为逆运算，掌握，，是解题的关键． 【详解】A、，结论错误，故不符合题意； B、，结论正确，符合题意； C、，结论错误，故不符合题意； D、，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 6. 如图，下列三个矩形相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 7. 如图，已知，当（ ）时，． A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等的关系． 欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵，， 即， 解得， 故选B． 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得 ∴x的取值范围是． 10. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简和，再利用法则计算即可． 【详解】解：原式=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等． 11. 已知，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 12. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 13. 如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：对于直线，令，则，解得， ∴点的坐标为； 令，则， ∴点的坐标为， ∴，． ∵， ∴． 过点作轴于点，则， ∴， ∴． ∴点的纵坐标为6， 当时，解得， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． 故答案为：． 三、解答题（本题满分78分，共10小题） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式混合运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式及二次根式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： = =． 【小问2详解】 解： = ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程求解即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：； ， ， 即， 或， ∴，． 17. 如图，已知，，，，，．求线段和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据得出，根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴，即． ∴． 18. 如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） （2）要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】（1），其属于反比例函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． 【小问2详解】 ． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求n的值； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 21. 每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】这天售出了64辆轮椅． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解题关键． 设每辆轮椅降价元，利用利润=日销售量×单车利润列方程可求出x的值，根据每辆轮椅利润不低于180元即可得答案． 【详解】解：设每辆轮椅降价元，由题意， 得． 解得，． ， ． （不合题意，舍去）． （辆）． 所以，这天售出了64辆轮椅． 22. 一块梯形木板，，，米，米，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上），若桌面的面积为平方米，且，求桌面的长和宽． 【答案】桌面的长和宽分别为米，米． 【解析】 【分析】过点作，分别交，于，，设桌面的宽米，则米，证明，则，即，所以，，由桌面的面积为平方米，故有，即，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作，分别交，于，， 设桌面的宽米，则米， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵桌面的面积为平方米， ∴，即， 解得，， 又∵，即， ∴， ∴，则， ∴桌面的长和宽分别为米，米． 23. 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． （1）【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． （2）【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【小问1详解】 设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； 【小问2详解】 设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． 25. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； 【小问2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； 【小问3详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $