精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年（五四制）八年级下学期期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 等于（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，．若，则的对应角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 7. 如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 已知四边形是菱形，其两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. －1 B. C. D. 1 9. 我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程正根的几何解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交边于点，交的延长线于点．若，则的长度为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使有意义，则的取值应满足的条件是_____． 12. 设是方程的两个实数根，则的值是_____． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 14. 如图，在矩形中，．点为对角线上异于一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是_____． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，，分别是边，上的点，将沿翻折，若使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，且，则_____． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19 阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： （1）将分母有理化后的结果为_____； （2）当正整数时，_____； （3）计算的值． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 21. 如图1，在中，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，当为边中点时，连接，． ①求证：四边形是菱形； ②当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由． 22. 下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 23. 【问题情境】 小明学习了正方形的相关知识之后，在一次“综合与实践”课上对正方形进行了更加深入的探究性学习．如图1，是边长为4的正方形的边上的一个动点（点不与顶点重合），连接（设），将线段绕点顺时针旋转角，得到线段，连接并延长交射线于点，连接． 【初步探究】 （1）若，则_____度； （2）在（1）的条件下，连接，请直接写出线段与线段之间的数量关系和位置关系； 深入探究】 （3）如图2，随着点的运动，旋转角度的大小也在发生变化，小明发现：在点运动的过程中，始终存在．请证明； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，取的中点，连接，，小明又发现：在点运动的过程中，存在最小值．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 等于（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，则，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2. 如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则验证算式的正误即可． 【详解】解：A．有理数3与无理数不能直接合并，结果为，而表示3乘以，显然不等，故该选项计算错误，不符合题意； B．二次根式减法需被开方数相同才能合并，与无法相减得到，实际差值为，故该选项计算错误，不符合题意； C．根据二次根式乘法法则：等式成立，故该选项计算正确，符合题意； D．根据二次根式除法法则：结果不等于，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，．若，则的对应角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等． 利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 6. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 7. 如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 8. 已知四边形是菱形，其两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题． 根据题意，令一元二次方程的根的判别式，构建方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∵ ∴ ∴， 即， 解得． 故选：D． 9. 我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程正根的几何解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识，通过图形直观得出面积之间的关系是解题的关键． 仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图． 【详解】解：， ， ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为6， ， ， 故正确构图为：A， 故选：A． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交边于点，交的延长线于点．若，则的长度为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点作于点于点，设，则，证明四边形是正方形得，进而证明和全等得，由勾股定理得，由三角形的面积公式得，继而得，在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点作于点于点，如图所示： ， 设，则， ， ∵四边形是正方形，且边长为4， ， ∴四边形是矩形， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， 由，解得：， 由，解得：， 当时，，不合题意， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使有意义，则的取值应满足的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解不等式，由二次根式有意义，得到求解即可得到答案．熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得， 故答案为：． 12. 设是方程两个实数根，则的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：3． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，，分别是边，上的点，将沿翻折，若使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，且，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，则分两种情况：当点在边上；当点在边上；分别作出图形，利用对称性质及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由，则分两种情况： 当点在边上，如图所示： 在边长为4的菱形中，，则， 将沿翻折，使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，则，且， 在中，，，则， ； 当点在边上，如图所示： 过点作，过点作，如图所示： ， 在边长为4菱形中，，则， 将沿翻折，使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，则，且， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 在菱形中，， 四边形是平行四边形，则，， ， 在中，，则由勾股定理可得， 设，则，，， ，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求线段长，综合性强，难度较大，涉及菱形性质、对称性质、含直角三角形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识．由题意，分类讨论，灵活运用相关几何性质与判定是解决问题的关键． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）直接利用配方法解方程即可； （2）把方程化为，再进一步解方程即可. 【小问1详解】 解： ， 配方得，， 解得，， 解得：， 所以，原方程的解为； 【小问2详解】 解： 因式分解得，， 解得，或， 所以，原方程的解为． 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：中，于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： （1）将分母有理化后的结果为_____； （2）当为正整数时，_____； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （2）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （3）先由分母有理化的方法，再由有理数加减运算化简，最后由平方差公式及二次根式性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查分母有理化，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，理解材料中的分母有理化方法、掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题和营销问题），根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为m，则两次降价后为，然后列方程求解即可； （2）设每千克涨价x元， 根据“每千克盈利每日销量每日盈利”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为m， 根据题意，可得： ， 解得：，（不合题意，故舍去）， 每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克涨价x元， 由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：每千克应涨价5元． 21. 如图1，在中，边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，当为边中点时，连接，． ①求证：四边形是菱形； ②当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）①证明见详解；②当时，四边形是正方形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的判定是解题的关键， （1）根据平行四边形的判定与性质即可证得答案； （2）①根据菱形的判定即可证得四边形是菱形；②根据正方形的判定即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ①证明：∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为边中点， ∴， ∴四边形是菱形． ②当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 22. 下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）由材料中的解法求解即可得到答案； （2）由材料中的解法求解即可得到答案； （3）由材料中的解法，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （2）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （3）将关于的方程（，，是常数）变形为（也是常数）， ，解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查阅读理解，探究一元二次方程的新解法，涉及构造二元一次方程组解决问题、解二元一次方程组、平方差公式、直接开平方法、开方运算等知识，读懂题意，理解阅读材料中的解法是解决问题的关键． 23. 【问题情境】 小明学习了正方形的相关知识之后，在一次“综合与实践”课上对正方形进行了更加深入的探究性学习．如图1，是边长为4的正方形的边上的一个动点（点不与顶点重合），连接（设），将线段绕点顺时针旋转角，得到线段，连接并延长交射线于点，连接． 【初步探究】 （1）若，则_____度； （2）在（1）的条件下，连接，请直接写出线段与线段之间的数量关系和位置关系； 【深入探究】 （3）如图2，随着点的运动，旋转角度的大小也在发生变化，小明发现：在点运动的过程中，始终存在．请证明； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，取的中点，连接，，小明又发现：在点运动的过程中，存在最小值．请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形，旋转的性质得到，，由等边对等角，三角形内角和定理即可求解； （2）连接，证明，得到，再证明，得出，由此即可求解； （3）连接，过点作交于点，先证明，得出，，推出，再证明，得出，，得出是等腰直角三角形，即，再推出，即可证明； （4）连接，，交于点，连接，先求出，，由中位线性质得出，在上取一点，使，得出，可知，，当且仅当、、共线时取最小值，过点作于点，求出和，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，线段绕点顺时针旋转角，得到线段， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示，连接， 由（1）得，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即； （3）如图所示，连接，过点作交于点， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∴， 即， 由旋转知，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴； （4）连接，，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵为的中点，， ∴， 如图，在上取一点，使， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，是定点，点是动点， ∴，当且仅当、、共线时，取最小值， 此时如图，过点作于点， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练根据题意作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$